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高等数学线性代数知识点课堂笔记

2022-11-01 11:41:15   0  举报

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高等数学线性代数知识点课堂笔记

高等数学

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高等数学线性代数

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大纲/内容

行列式

二三阶行列式

一般阶行列式的定义

行列式的性质

转置行列式与原来相等

行列式可按任意行展开

按行提取公因子

拆行相加性

两行相等值为零

两行对应成比例值为零

克罗内尔符号（对应行展开和为值，非对应行展开值为零）

行列式某行若干倍加与另一行值不变

两行互换值相反

Laplace展开定理（多行展开）

行列式的计算

范德蒙德行列式

Cramer法则

行列式应用法则

矩阵

矩阵的概念及其基本运算

概念

实矩阵，复矩阵，行矩阵（行向量），列矩阵（列向量），同型矩阵，零矩阵单位矩阵

性质

相等

加法

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

A+0=A

A+(-A)=0

数乘法

1A=A

(kl）A=k（lA）

（k+l）A=kA+lA

k（A+B)=kA+kB

乘法

(AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC

k（AB)=(kA)B=A(kB)

AE=A,EA-A

A^kA^l=A^(k+l)

(A^k)^l=A^kl

若AB=BA,(AB)^k=B^kA^k

转置

转置的转置为原矩阵

和的转置等于转置和

数乘的转置等于转置再数乘

积的转置等于反序转置的积

行列式

转置行列式与原行列式相等

数乘后行列式等于行列式数乘n次

积的行列式等于行列式积

逆矩阵

性质P39

分块矩阵

矩阵的初等变换

系数矩阵，增广矩阵，初等变换，

等价矩阵（反身性，对称性，传递性）

行阶梯矩阵

行最简矩阵

等价标准型

初等矩阵

A,B等价的充要条件为存在P,Q使得PAQ=B

分块矩阵同理

矩阵应用实例

向量组的线性相关性

n维向量及其运算

行向量，列向量，向量的分量，

内积，施瓦兹不等式，长度（范数），夹角

向量组的线性相关性

行向量组，列向量组

线性相关，线性无关的充要条件

一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关

正交向量组（线性无关），规范正交向量组

部分相关则整体相关

含零必相关

整体无关则部分无关

线性相关的充要条件为至少有一个可由其余表示

无关向量组加一向量后相关，则该向量可由其余表示

无关向量组的加长向量组也无关

向量组的秩

向量组等价，系数矩阵

施密特正交化过程

正交矩阵（充要条件：行或列向量组是一组规范正交向量组）

极大线性无关组（不唯一）

极大无关组与原向量组等价

任意两个极大无关组等价（且有相同且唯一个数的向量）

秩

A被B表示，则R(A)&lt;=R(B)

等价向量组秩相等

A无关且可被B表示，则A向量个数小于等于B

A被B表示，且A的数量大于B，则A相关

任意n+1个n维向量线性相关

矩阵的秩

k阶子式

最高阶非零子式

转置的秩不变

满秩矩阵

降秩矩阵

初等变换不改变秩

矩阵的秩等于对应向量组的秩

向量应用实例

线性方程组

线性方程组解的判定

有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等

R=n唯一解，R&lt;n无穷解（解向量个数n-r）

线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构

k1a1+k2a2+......+ksas

非齐次线性方程组解的结构

b+c1a1+c2a2+......+csas

向量空间

对加法和数乘封闭

子空间

维数

基

过渡矩阵C，基变换公式b=aC，坐标关系x=Cy（a-x，b-y）

线性方程组应用实例

矩阵相似对角化

矩阵的特征值与特征向量

概念

特征值

特征向量

特征多项式

特征方程

性质

所有特征值的和等于矩阵的迹（对角线元素和）

矩阵可逆的充分必要条件为n个特征值均不为零

a为矩阵A的一个特征值，r为对应特征向量，p（a）是多项式则p（a）是p（A）的特征值，r为对应特征向量（p（A）=A^k，k是正整数成立， A可逆时，k取负整数也成立）

互异特征值对应特征向量间线性无关（每个特征值的多个特征向量要线性无关）

矩阵相似对角化

P^-1AP=B，相似矩阵，相似变换，相似变换矩阵

相似矩阵具有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

有n个互异特征值必与对角矩阵相似

设a是n阶矩阵A的k重特征值，则属于a的线性无关的特征向量的个数不大于k

单根特征值有且仅有一个线性无关的特征向量

实对称矩阵的相似对角化

复矩阵

实对称矩阵的特征值都是实数

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交

必有正交矩阵Q使实对称矩阵A经过Q^-1AQ为对角矩阵

实对称矩阵的k重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k个

矩阵相似对角化应用实例

二次型

二次型的基本概念

二次型，标准型，规范型

f（x）=xTAx

对二次型做线性变换仍为二次型，如果线性变换可逆，则二次型的秩不变

B=CTAC，同阶方阵，合同，合同矩阵，合同变换，合同变换矩阵

合同必等价，等价不一定合同

用正交变换化二次型行为标准型

任意n元二次型都可经正交变换x=Qy化为标准型

x=Qy具有保范性

相似的实对称矩阵合同

任意实二次型都可经过可逆变换x=Cz化为规范型

用配方法化二次型为标准型

正定二次型

惯性定律：实二次型在不同的可逆变换后系数中正数个数相同（惯性指数不变）

正惯性指数，负惯性指数

实对称矩阵合同的充分必要条件是两者大于0和小于0的特征值个数相同

正定二次型，正定矩阵，负定二次型，负定矩阵

半正定二次型，半正定矩阵，半负定二次型，半负定矩阵

二次型正定的充要条件为正惯性指数等于n

半正定二次型的充要条件为负惯性指数为0

赫尔维兹定理：正定的充要条件为各阶顺序主子式都大于0，负定的充要条件是奇数阶小于0偶数阶大于0

二次型应用实例

线性空间与线性变换

线性空间的概念和性质

加法和数乘运算，八条规则，线性空间（向量空间）

性质

零向量唯一

负向量唯一

0a=0，（-1）a=-a，k0=0，任意k属于R

若ka=0，则k=0或a=0

线性子空间

平凡子空间（零子空间，自身）

非平凡子空间

U为V的子空间的充要条件是对V的加法和数乘运算封闭

维数，基与坐标

基

维数

含有非零向量的有限线性空间一定存在基

U为V的子空间，U的维数与V的维数相等时，U=V

坐标

同构（反身性，对称性，传递性）

有限线性空间同构当且仅当维数相等

基变换与坐标变换

可逆矩阵C为过渡矩阵

b=aC（基变换）

x=Cy（坐标变换）

线性变换及其矩阵表示

T（a+b）=T（a）+T（b），T（ka）=kT（a）

恒等变换和零变换

性质

T(0)=0

T(-a）=-T（a）

T（k1a1+k2a2+......+kmam)=k1T(a1)+k2T(a2)+......+kmT(am）

线性变换在基下的矩阵

T在两个基a，b下的矩阵A，B满足B=C^-1AC,其中b=aC

欧几里得空间

定义了内积的实线性空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间

[a,b]=[b,a]（对称性）

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[ka,b]=k[a,b]（线性性）

[a,a]&gt;=0,且仅当a=0时，[a,a]=0（正定性）

内积定义不唯一

长（范数）

夹角

正交向量组，规范正交向量组

正交向量组必线性无关

欧式空间中，无关向量组必有规范正交向量组与之等价

任意非零欧式空间都存在规范正交基

线性空间应用实例

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