高等数学线性代数知识点课堂笔记
2022-11-01 11:41:15 0 举报AI智能生成
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高等数学线性代数知识点课堂笔记
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大纲/内容
二三阶行列式
一般阶行列式的定义
转置行列式与原来相等
行列式可按任意行展开
按行提取公因子
拆行相加性
两行对应成比例值为零
克罗内尔符号（对应行展开和为值，非对应行展开值为零）
两行相等值为零
行列式某行若干倍加与另一行值不变
两行互换值相反
Laplace展开定理（多行展开）
行列式的性质
范德蒙德行列式
行列式的计算
Cramer法则
行列式应用法则
行列式
实矩阵，复矩阵，行矩阵（行向量），列矩阵（列向量），同型矩阵，零矩阵单位矩阵
概念
相等
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
A+0=A
A+(-A)=0
加法
1A=A
(kl）A=k（lA）
（k+l）A=kA+lA
k（A+B)=kA+kB
数乘法
(AB)C=A(BC)
k（AB)=(kA)B=A(kB)
A^kA^l=A^(k+l)
(A^k)^l=A^kl
乘法
转置的转置为原矩阵
和的转置等于转置和
数乘的转置等于转置再数乘
积的转置等于反序转置的积
转置
转置行列式与原行列式相等
数乘后行列式等于行列式数乘n次
积的行列式等于行列式积
性质
矩阵的概念及其基本运算
性质P39
逆矩阵
分块矩阵
系数矩阵，增广矩阵，初等变换，
等价矩阵（反身性，对称性，传递性）
行阶梯矩阵
行最简矩阵
等价标准型
矩阵的初等变换
分块矩阵同理
初等矩阵
矩阵应用实例
矩阵
行向量，列向量，向量的分量，
内积，施瓦兹不等式，长度（范数），夹角
n维向量及其运算
行向量组，列向量组
线性相关，线性无关的充要条件
一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关
正交向量组（线性无关），规范正交向量组
部分相关则整体相关
含零必相关
整体无关则部分无关
线性相关的充要条件为至少有一个可由其余表示
无关向量组加一向量后相关，则该向量可由其余表示
无关向量组的加长向量组也无关
向量组的线性相关性
向量组等价，系数矩阵
施密特正交化过程
正交矩阵（充要条件：行或列向量组是一组规范正交向量组）
极大线性无关组（不唯一）
极大无关组与原向量组等价
任意两个极大无关组等价（且有相同且唯一个数的向量）
秩
A被B表示，则R(A)<=R(B)
等价向量组秩相等
A无关且可被B表示，则A向量个数小于等于B
A被B表示，且A的数量大于B，则A相关
任意n+1个n维向量线性相关
向量组的秩
k阶子式
最高阶非零子式
转置的秩不变
满秩矩阵
降秩矩阵
初等变换不改变秩
矩阵的秩等于对应向量组的秩
矩阵的秩
向量应用实例
有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等
R=n唯一解，R<n无穷解（解向量个数n-r）
线性方程组解的判定
k1a1+k2a2+......+ksas
齐次线性方程组解的结构
b+c1a1+c2a2+......+csas
非齐次线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
对加法和数乘封闭
子空间
维数
基
过渡矩阵C，基变换公式b=aC，坐标关系x=Cy（a-x，b-y）
向量空间
线性方程组应用实例
线性方程组
特征值
特征向量
特征多项式
特征方程
所有特征值的和等于矩阵的迹（对角线元素和）
矩阵可逆的充分必要条件为n个特征值均不为零
a为矩阵A的一个特征值，r为对应特征向量，p（a）是多项式则p（a）是p（A）的特征值，r为对应特征向量 （p（A）=A^k，k是正整数成立， A可逆时，k取负整数也成立）
互异特征值对应特征向量间线性无关（每个特征值的多个特征向量要线性无关）
矩阵的特征值与特征向量
P^-1AP=B，相似矩阵，相似变换，相似变换矩阵
相似矩阵具有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
有n个互异特征值必与对角矩阵相似
设a是n阶矩阵A的k重特征值，则属于a的线性无关的特征向量的个数不大于k
单根特征值有且仅有一个线性无关的特征向量
矩阵相似对角化
复矩阵
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
必有正交矩阵Q使实对称矩阵A经过Q^-1AQ为对角矩阵
实对称矩阵的k重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k个
实对称矩阵的相似对角化
矩阵相似对角化应用实例
二次型，标准型，规范型
f（x）=xTAx
对二次型做线性变换仍为二次型，如果线性变换可逆，则二次型的秩不变
B=CTAC，同阶方阵，合同，合同矩阵，合同变换，合同变换矩阵
合同必等价，等价不一定合同
二次型的基本概念
任意n元二次型都可经正交变换x=Qy化为标准型
x=Qy具有保范性
相似的实对称矩阵合同
任意实二次型都可经过可逆变换x=Cz化为规范型
用正交变换化二次型行为标准型
用配方法化二次型为标准型
惯性定律：实二次型在不同的可逆变换后系数中正数个数相同（惯性指数不变）
正惯性指数，负惯性指数
实对称矩阵合同的充分必要条件是两者大于0和小于0的特征值个数相同
正定二次型，正定矩阵，负定二次型，负定矩阵
半正定二次型，半正定矩阵，半负定二次型，半负定矩阵
二次型正定的充要条件为正惯性指数等于n
半正定二次型的充要条件为负惯性指数为0
赫尔维兹定理：正定的充要条件为各阶顺序主子式都大于0，负定的充要条件是奇数阶小于0偶数阶大于0
正定二次型
二次型应用实例
二次型
加法和数乘运算，八条规则，线性空间（向量空间）
零向量唯一
负向量唯一
0a=0，（-1）a=-a，k0=0，任意k属于R
若ka=0，则k=0或a=0
平凡子空间（零子空间，自身）
非平凡子空间
U为V的子空间的充要条件是对V的加法和数乘运算封闭
线性子空间
线性空间的概念和性质
含有非零向量的有限线性空间一定存在基
U为V的子空间，U的维数与V的维数相等时，U=V
坐标
同构（反身性，对称性，传递性）
有限线性空间同构当且仅当维数相等
维数，基与坐标
可逆矩阵C为过渡矩阵
b=aC（基变换）
x=Cy（坐标变换）
基变换与坐标变换
T（a+b）=T（a）+T（b），T（ka）=kT（a）
恒等变换和零变换
T(0)=0
T(-a）=-T（a）
T（k1a1+k2a2+......+kmam)=k1T(a1)+k2T(a2)+......+kmT(am）
线性变换在基下的矩阵
线性变换及其矩阵表示
定义了内积的实线性空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间
内积定义不唯一
长（范数）
夹角
正交向量组，规范正交向量组
正交向量组必线性无关
欧式空间中，无关向量组必有规范正交向量组与之等价
任意非零欧式空间都存在规范正交基
欧几里得空间
线性空间应用实例
线性空间与线性变换
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