数学线性代数相关知识点教学方案
2022-10-28 17:35:06 1 举报
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数学线性代数相关知识点教学方案
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大纲/内容
实数
n!
行列式
正:小→大/逆:大→小
0 or 1
逆序
一组值,逆序求和
逆序数
逆序/逆序数
由最上/下只有一个非零——每行的选择唯一
上(下)三角行列式【主对角线行列式】
(-1)^n(n-1)/2
副对角线行列式
基本概念
测度
行列式的几何意义(理解)
s=ab=ba
转置后不变
顺时针与逆时针
两行/列互换,行列式变号(-)
s=(ka)b=kab=ks1
某行/列扩大K倍,行列式扩大K倍
平行,s=absinα(α=0)=0
两行/列成比例,行列式为0
s=ab=a1b+a2b
某行/列可拆成两个行/列向量之和,行列式可以拆成对应两个行列式之和
消元
将某行/列的K倍加到另一行/列,行列式值不变
性质
基本性质
更猛烈、降阶
主对角/副对角(-1)^(mn
拉普拉斯展开式
幂次排列
右-左(1次)
范德蒙行列式
特殊行列式(化简)
与aij无关
余子式Mij/代数余子式Aij
作用:n阶→n个(n-1)阶
使用:某行/列有大量0
行列展开定理
n个方程,n未知量
|An|≠0
作用:精确求xi
克拉默法则
数组
子主题
矩阵
行列式是用来刻画矩阵的
可求行列式|A|
m=n时,A为方阵
只与自己相等
唯一性
定义
按行
按列
多样
分块(简化)
n×n,|En|=1
单位矩阵E
n×n
对角矩阵Diag
对称矩阵
m×n,|E|=?,数组
零矩阵
特殊矩阵
结合律、交换律、消去律
同型矩阵
加减法
|kA|=k^n|A|
kA与A同型,0A=0
数乘
本质:将A按列分块,用B的方式组合相加
Am×nBn×s=Cm×s
结合律
分配律
满足
交换律
特殊:r(Am×n)=n
消去律
不满足
A=αβ^T
A=tE+B
A=主对角分块矩阵B0C0
计算A^n
矩阵乘法
矩阵的一般运算
行列互换
|A^T|=|A|
<p>(A^T)^T=A</p>
(kA^T)=kA^T
(AB)^T=B^TB^T
转置
|A|≠0
可逆条件(充要)
|A-1|=1/|A|
(A-1)-1=A
(kA-1)=1/k·A-1
(AB)-1=B-1A-1
(A^n)-1=(A-1)^n
多项式除法
构造法
伴随阵法
初等变换法
分块法
求逆矩阵
逆
先取Aij,再转置
A*=|A|A-1
功能(与A-1)
|A*|=|A|^n-1
A*A=|A|E
(AB)*=B*A*;(A^n)*=(A*)^n
(kA*)=k^n-1A*;(A*)*=|A|^n-2·A
伴随矩阵
矩阵的特殊运算
对换
倍加
三种初等变换
Eij
Eij(k)
Ei(c)
均可逆
实现——三个初等矩阵
”左行右列“
矩阵的初等变换
|A|≠0 ⬅➡r(A)=n
逼近
初等变换保秩
求秩
r(A)=0⬅➡A=0;r(A)>=1⬅➡A≠0
r(kA)=r(A)
r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)
r(A+B)<=r(A)+r(B)
r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A),P、Q可逆
AB=0➡r(A)+r(B)<=n
r(A*)
A经过有限次初等变换
B=PAQ
等价
秩
默认:列向量
内积
取模长
基本运算
概念与基本运算
概念
r(A的增广)=r(A)
r(A的增广)=r(A)+1
判断方法
向量的线性表示
判断
线性相关
推论
线性无关
线性相关与线性无关
极大无关组
向量组的秩
秩的求法
极大无关组的求法
极大无关组的性质
r(Ⅰ|Ⅱ)=r(Ⅰ)=r(Ⅱ)
向量组的等价
n维向量
向量表示
矩阵表示
齐次方程组
非齐次方程组
齐次的解必不唯一
三要素
推导
基础解系不唯一
基础解系
具体方程——初等变化
抽象方程——从解的结构推导
求基础解系的方法
通解
齐次方程组的理论
无解
无穷多解
r(A)<n
唯一解
r(A)=n
有解
解的判定
非齐=齐+非齐
解的结构
n-r(A)+1个
线性无关的解
初等变换
具体方程
构造
抽象方程
求解方法
非齐次方程组的解
矩阵方程的解
线性方程组
Aα=λα
(A-λE)α=0
|A-λE|=0
数字型
观察法
利用特征值性质
抽象型
特征值
(A-λiE)x=0
数字型矩阵
抽象矩阵
特征向量
计算
∏λi=|A|
∑λi=tr(A)
不同λi,αi线性无关
λ的线性组合仍是特征向量
k重λ最多有k个α线性无关
A^nα=λ^nα
(A+kE)α=(λ+k)α
f(A)α=f(λ)α
(Pˉ¹AP)(Pˉ¹α)=λ(Pˉ¹α)
ATβ=λβ
传递原理
特征值与特征向量
Pˉ¹AP=B ⬅➡A~B
(Pˉ¹AP)^n=B^n
Pˉ¹(A+kE)P=B+kE
A~B➡f(A)~f(B)
多项式性质
传递性
A~B➡r(A)=r(B)
保秩性
必要不充分
相似矩阵➡相同特征值、行列式、迹
相似矩阵
A~Diag
意义
n个线性无关的特征向量
λ1≠λ2≠λ3
r(λ1E-A)<1
λ1=λ2≠λ3
条件
步骤
求A^n
判断A~B
二次型——化成标准型
作用
矩阵的相似对角化
二次型
必可对角化
不同λ对应的α相互正交
核心α1
λ1≠λ2=λ3
存在正交矩阵Q使得QTAQ=∧
特技
实对称矩阵
最高次是二次的多项式
A^T=A
没有交叉,只有平方
有xi^2
无xi^2
配方法
正交变换法
计算方法
惯性定理
标准型和规范型
λi>0
顺序主子式>0
A与E合同
正定二次型
A、B具有相同的p、q
λi符号相同
C^TAC=B,其中C可逆
相似➡合同➡等价
合同
数学线性代数相关知识点教学方案
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