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线性系统的状态空间的

2025-06-20 16:10:55   3  举报

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大纲/内容

状态空间描述

基本概念

状态、状态变量、状态向量

状态

系统在时域中的行为或运动信息的集合。

状态变量

确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量。

状态向量

以系统 n个状态变量作为基底所组成的 n维空间。

状态方程、输出方程、动态方程（状态空间表达式）

状态方程

描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分（差分）方程组。

输出方程

描述系统输出变量和输入变量之间函数关系的代数方程组。

动态方程（状态空间表达式）

状态方程和输出方程的组合。

线性（定常）系统

线性系统

状态空间表达式为线性函数的关系；
x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

线性（定常）系统

状态空间表达式中的系数矩阵都是常数的线性系统。

由基理、微分方程、差分方程、（脉冲）传递函数建立动态方程

状态变量图及绘制

传递函数矩阵及实现

传递函数矩阵的解耦设计

线性定常连续系统动态方程的求解

由幂级数和拉氏变换求状态转移矩阵

状态矩阵的性质

齐次、非齐次状态方程和输出响应的求解（积分法、拉氏变换法）

线性定常离散系统动态方程的求解

递推法

z变换法

线性定常离散系统的离散化

可控性、可观性

传递函数的规范实现

可控标准型

可观标准型

约当标准型

系统状态可控性概念及其判据

概念

对于x(t）=Ax(t）+Bu(t)形式的线性系统，如果状态空间中的所有非雯状态x(t）≠0都可在u(t）作用下在有限时间T内转移到x(T)=0，则称系统状态完全可控，简称系统可控。

判据

秩判据：rank[B AB … AB^n-1]=n

输出可控性概念及其判据

概念

系统输出可控性若在有限时间间隔[to,ti]内，存在无约束分段连续控制函数u(t)，使任意初始输出y(to)转移到任意最终输出y(t1)，则称系统是输出完全可控的，简称为输出可控.

判据

rank[CB CAB ... CA^n-1BD]=q

系统状态可观性概念及其判据

概念

对系统（t)=A(t)x(t)+Bu(t)，y(t)=C(t)x(t)存在一个有限时间t，对于所有t属于[t0,t1]，在给定t下，可由输出y(t)唯一确定状态向量的初值x(to)，则称系统是完全可观测的，简称系统可观。

判据

秩判据：rank=[C CA......CA^n-1]^T=n

规范性判据

可控、可观测与传递函数（矩阵）的关系

系统离散化的影响

线性定常系统的线性变换

状态空间的线性变换

对偶原理

非奇异线性变换的不变性

动态方程按可控性和可观性结构分解

反馈结构及状态观测器

反馈结构

状态反馈、输出反馈

反馈至参考输入、反馈至状态微分

反馈对系统性能的影响

极点配置步骤

1、列写系统状态方程，及状态反馈控制。2、检验系统可控性。3、求特征多项式.4、计算特征多项式。5、确定状态反馈增益

单输入、单输出系统的极点配置

全维、降维状态观测器概念及其设计

1、检验系统可控性。2、确定输出返回向量的维数。3、求特征方程。4、特征多项式。5、求解h。

分离定理

李雅普诺夫稳定性分析

李雅普诺夫稳定性概念

1、平衡状态2、李雅普诺夫意义下的稳定性3、渐进稳定性4、大范围渐进稳定性5、不稳定性

第一法判据

系统的每一个平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充要条件是：A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。系统的唯一平衡状态x。是渐进稳定的充要条件是 A的所有特征值均有负实部。

标量函数定号性与李雅普诺夫函数

稳定性定理与第二法判据

对于定常系统x=f(x,t)，t≥0，f(0,t)=0.如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，若满足：(a)V(x)为正定（b)V(x)为负定（c）当|x|→∞时V(x)→∞则系统在原点是大范围渐进稳定的。
满足：（a）V(x)为正定；（b)V(x)为负半定（c)V[x(t,xo;to)，为正定在非零状态杰恒为零；（d)当川→∞时V(x)→∞。则系统在原点是大范围渐进稳定的。
满足：（a）V(x)为正定；（b)V(x)为负半定；(c)i[x(t;xo;t)，1为正定在
非零状态存在恒为零。则系统在原点是李雅普诺夫稳定的，但不是渐进稳定的。
满足：（c)V(x)为正定；（b)V(x)为正定（有界)。则系统不稳定。

第二法在线性定常系统稳定性分析中的应用

BIBS、BIBO稳定性及其判据