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考研线性代数行列式详细脑图

2019-09-01 16:23:31   0  举报

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AI智能生成

考研数学《线性代数》第一章行列式详细知识脑图

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大纲/内容

行列式

基本概念

行列式

实数

逆序/逆序数

逆序

正：小→大/逆：大→小

0 or 1

逆序数

一组值，逆序求和

上（下）三角行列式【主对角线行列式】

由最上/下只有一个非零——每行的选择唯一

副对角线行列式

（-1）^n(n-1)/2

基本性质

行列式的几何意义（理解）

测度

性质

转置后不变

s=ab=ba

两行/列互换，行列式变号(-)

顺时针与逆时针

某行/列扩大K倍，行列式扩大K倍

s=(ka)b=kab=ks1

两行/列成比例，行列式为0

平行，s=absinα（α=0）=0

某行/列可拆成两个行/列向量之和，行列式可以拆成对应两个行列式之和

s=ab=a1b+a2b

将某行/列的K倍加到另一行/列，行列式值不变

消元

特殊行列式（化简）

拉普拉斯展开式

更猛烈、降阶

主对角/副对角（-1）^(mn

范德蒙行列式

幂次排列

右-左（1次）

行列展开定理

余子式Mij/代数余子式Aij

与aij无关

行列展开定理

作用：n阶→n个（n-1）阶

使用：某行/列有大量0

克拉默法则

n个方程，n未知量

|An|≠0

作用：精确求xi

矩阵

基本概念

定义

行列式是用来刻画矩阵的

行列式

实数

矩阵

数组

子主题

m=n时，A为方阵

可求行列式|A|

唯一性

只与自己相等

分块（简化）

多样

按行

按列

特殊矩阵

单位矩阵E

n×n，|En|=1

对角矩阵Diag

n×n

对称矩阵

零矩阵

m×n，|E|=?，数组

矩阵的一般运算

加减法

同型矩阵

结合律、交换律、消去律

数乘

|kA|=k^n|A|

kA与A同型，0A=0

矩阵乘法

定义

Am×nBn×s=Cm×s

本质：将A按列分块，用B的方式组合相加

性质

满足

结合律

分配律

不满足

交换律

消去律

特殊：r(Am×n)=n

计算A^n

A=αβ^T

A=tE+B

A=主对角分块矩阵B0C0

矩阵的特殊运算

转置

定义

行列互换

性质

|A^T|=|A|

(kA^T)=kA^T

(AB)^T=B^TB^T

逆

定义

可逆条件（充要）

|A|≠0

性质

|A-1|=1/|A|

(A-1)-1=A

(kA-1)=1/k·A-1

(AB)-1=B-1A-1

(A^n)-1=(A-1)^n

求逆矩阵

构造法

多项式除法

伴随阵法

初等变换法

分块法

伴随矩阵

定义

先取Aij，再转置

功能（与A-1）

A*=|A|A-1

性质

|A*|=|A|^n-1

A*A=|A|E

(AB)*=B*A*；(A^n)*=(A*)^n

(kA*)=k^n-1A*；（A*）*=|A|^n-2·A

矩阵的初等变换

三种初等变换

对换

数乘

倍加

实现——三个初等矩阵

均可逆

Eij

Eij(k)

Ei(c)

”左行右列“

秩

定义

|A|≠0 ⬅➡r(A)=n

求秩

逼近

初等变换保秩

性质

r(A)=0⬅➡A=0；r(A)>=1⬅➡A≠0

r(kA)=r(A)

r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)

r(A+B)<=r(A)+r(B)

r(Am×nBn×s)<=r(A)&r(B)<=min{m,n,s}

r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)，P、Q可逆

AB=0➡r(A)+r(B)<=n

r(A*)

等价

定义

A经过有限次初等变换

B=PAQ

n维向量

概念与基本运算

基本概念

默认：列向量

基本运算

数乘

内积

取模长

向量的线性表示

概念

判断方法

r(A的增广)=r(A)

r(A的增广)=r(A)+1

线性相关与线性无关

线性相关

概念

判断

性质

线性无关

概念

性质

推论

向量组的秩

极大无关组

向量组的秩

秩的求法

极大无关组的求法

极大无关组的性质

向量组的等价

r(Ⅰ|Ⅱ)=r(Ⅰ)=r(Ⅱ)

线性方程组

基本概念

齐次方程组

向量表示

矩阵表示

非齐次方程组

向量表示

矩阵表示

齐次方程组的理论

齐次的解必不唯一

基础解系

三要素

推导

基础解系不唯一

求基础解系的方法

具体方程——初等变化

抽象方程——从解的结构推导

通解

非齐次方程组的解

解的判定

r(A的增广)=r(A)+1

无解

r(A的增广)=r(A)

有解

r(A)<n

无穷多解

r(A)=n

唯一解

解的结构

非齐=齐+非齐

线性无关的解

n-r(A)+1个

求解方法

具体方程

初等变换

抽象方程

构造

矩阵方程的解

特征值与特征向量

定义

Aα=λα

（A-λE）α=0

计算

特征值

数字型

|A-λE|=0

抽象型

观察法

利用特征值性质

特征向量

数字型矩阵

（A-λiE）x=0

抽象矩阵

观察法

利用特征值性质

性质

特征值

∏λi=|A|

∑λi=tr(A)

特征向量

不同λi，αi线性无关

λ的线性组合仍是特征向量

k重λ最多有k个α线性无关

传递原理

Aα=λα

f(A)α=f(λ)α

A^nα=λ^nα

(A+kE)α=(λ+k)α

(Pˉ¹AP)(Pˉ¹α)=λ(Pˉ¹α)

ATβ=λβ

相似矩阵

概念

Pˉ¹AP=B ⬅➡A~B

性质

多项式性质

A~B➡f(A)~f(B)

(Pˉ¹AP)^n=B^n

Pˉ¹(A+kE)P=B+kE

传递性

A~B,B~C ➡A~C

保秩性

A~B➡r(A)=r(B)

相似矩阵➡相同特征值、行列式、迹

必要不充分

矩阵的相似对角化

意义

A~Diag

条件

n个线性无关的特征向量

判断

λ1≠λ2≠λ3

λ1=λ2≠λ3

r(λ1E-A)<1

步骤

作用

求A^n

判断A~B

二次型——化成标准型

实对称矩阵

二次型

性质

必可对角化

不同λ对应的α相互正交

特技

存在正交矩阵Q使得QTAQ=∧

λ1≠λ2≠λ3

λ1≠λ2=λ3

核心α1

二次型

基本概念

最高次是二次的多项式

A^T=A

标准型和规范型

定义

没有交叉，只有平方

计算方法

配方法

有xi^2

无xi^2

正交变换法

惯性定理

正定二次型

概念

判断

p=n,q=0

λi>0

顺序主子式>0

aii>0,|A|>0

A与E合同

合同

概念

判断

A、B具有相同的p、q

λi符号相同

C^TAC=B，其中C可逆

相似➡合同➡等价

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