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考研高等_极限与连续

2020-03-16 18:00:18   2  举报

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考研高等数学_极限与连续

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大纲/内容

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更新记录

2020.2.24 开坑

数列极限

求极限、证明极限存在

用定义

ε-N 语言 

无限趋近的过程

数列与子数列

对于数列，若一个子列发散，则原数列发散

偶与奇极限相等

用性质

唯一性

极限值a是唯一的

有界性

若极限值a存在，则有界

保号性

用运算规则

+-×/

用夹逼准则

不验证等号 也可一边等一边不等

动分母放缩

用单调有界性准则

单调且有界，则极限存在

特殊技巧和细节

递推迭代式证明极限

要证 lim a=0 转化为证 lim|a|=0

由于|a|>0，则使用夹逼证明|a|≤0即可

函数极限

计算函数极限

领域

一个局部位置  点x附近

定义

ε-δ语言 

分Xo左右  左- (<Xo）  右 +

ε-X语言 

无穷极限   ① -∞ 当x<-X ②+∞ 当x>X

极限脱帽法

左右极限相等 <==> 极限存在

性质

唯一性

极限值a是唯一的 分左右极限存在

局部有界性

若极限值a存在，当0<|X-Xo|<δ,有|f(x)|≤M，反之不一定

局部保号性(导数几何的应用)

X->Xo时，极限＞b，则函数＞b

X->Xo时，极限存在，函数≥b，则极限≥b

运算规则

+-×/

lim x^n=(lim x)^n  n∈Z+

夹逼准则

不验证等号 也可一边等一边不等

不可用lim[h(x)-f(x)]=A代替

动分母放缩

A=+∞  A= -∞  可以

洛必达法则

必须是∞/∞  0/0  型，且使用后极限不一定存在

分母更复杂次数高  分子简单次数低 不适用

泰勒公式

公式

A/B 和 A×B=A/(1/B) 型

上下同次方

A-B 和 A+B=A-(-B) 型

系数不相等的x的最低次幂

海涅/归结定理

联系数列极限与函数极限

无穷量

趋向过程 0（无穷小量）

无穷大与无穷小关系

倒数转换

无穷小运算法则

有限个+× 仍是无穷小

×有界函数 仍是无穷小

无穷小运算(抽象符号运算）  ——①加减=高阶 ② 乘法=阶数累加 ③非零×不影响阶数

无穷小比阶

=0  则α是β的高阶 记为α(x)=o(β(x))

α趋向速度比β慢

=∞  低阶

=c≠0 同阶

=1  等价  

α~β 充分必要条件β=α+o(α）

α是β的k阶无穷小

特殊技巧和细节

极限是过程，点无定义也可

七种未定式计算

分子分母各齐，相互之间不齐 用定积分定理 求极限

单调有界 证明极限存在

连续与间断

极限应用

连续点(逐点）

函数值=极限值

间断点

前提

f(X)在Xo的某个去心领域内有定义  即Xo左右领域有定义

分段点和无定义点

分类

第一类间断点

可去间断点

函数值≠极限值 or  f(Xo)处没定义

跳跃间断点

左极限≠右极限

第二类间断点

无穷间断点

极限值=∞

振荡间断点

极限值不存在

特殊技巧和细节

绝对值运算  对连续行无影响

章节技巧

加减不能用无穷小，由于剩余o(x)

左极限- (<Xo）右极限 +  当x趋向-∞时，分子分母除以x需要添加负号

有定义 → 可导 → 连续 → 有界 存在极限 → 有界

局部保号性 → 导数几何应用

lnx<sinx<x<tanx

极限计算过程中的化简之道

根号有理化

a²-b²公式

同型换元

次方拆开凑同型

可代值 直接代值算数

分子分母同除公因式 代值

sin■ 偶数次变为 -+cos■  可代值

arctan0=0

arctan∞=π/2

tan0=0

sec0=0

恒等补充

1×■=■  0×■=0 +1-1=0 ★×1/★=1 +▲-▲=0 代换变量 ▲改为▼  三角函数(●▲) = 三角函数[●+●(▲-1)] sin▲/▲=1

常用等价无穷小总汇

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