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考研高等_一元函数微分学

2020-03-16 18:00:34   0  举报

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考研高等数学_一元函数微分学

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更新记录

2020.3.3 开坑

几何应用

作函数图像

四点

极值

定义

最值点Xo不是区间的端点，而是区间内部的点，那么Xo必是f(x)的一个极值点

判别

必要条件

f(x)在x=Xo 可导且Xo处取极大值，则有f'(Xo)=0

充分条件

f(x)连续且去心邻域可导

左f'(x)<0  右f'(x)>0  极小值

左f'(x)>0  右f'(x)<0  极大值

左右不变   无极值

f(x)在x=Xo二阶可导 且f'(Xo)=0,f''(Xo)≠0

f''(Xo)<0   f(x)极大值

f''(Xo)>0   极小值

f(x)在Xo处n阶可导 且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0<br>m=1,2,3, …  n≥2

f^偶数阶(Xo)<0   极大值

f^奇数阶(Xo)>0   极小值

最值

驻点

f'(Xo)=0 

拐点

(Xo,f(Xo)) 凹凸弧交界点

二阶可导

f''(x)>0   凹

f''(x)<0   凸

判别

必要条件

f''(Xo)存在且(Xo,f(Xo))为拐点，则f''(Xo)=0

充分条件

存在拐点(Xo,f(Xo))

f(x)在x=Xo三阶可导且f''(Xo)=0,f'''(Xo)≠0

f(x)连续 去心邻域 二阶可导  f''(x)左右变号 

f(x)在Xo处n阶可导且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0<br>m=2,3, …    n≥3

n为奇数 存在拐点(Xo,f(Xo))

两线

单调性

判别

f'(x)>0 增

f'(x)<0 减

凹凸性

一线

渐近线

铅垂渐近线

x=Xo且为间断点

lim(x→Xo)=∞ 

f(a+0)=∞

f(a-o)=∞

(其一满足即可）

水平渐近线

y=A

lim(x→+∞)=lim(x→-∞)=A

斜渐近线

y=ax+b

左右均等

弧线

弧微分

基本公式 (ds)²=(dx)²+(dy)²

曲率与曲率半径

全局的取值范围

比较函数值

f'(x)=0

f'(x) 不存在

端点 或 单侧极限

特殊技巧和细节

端点无极值概念 

间断点可以是极值点    极值间断→双侧有定义

极值点与可导性无关，可以是不可导点

拐点存在，不一定Xo导数存在，如y=x^(-1/3)

中值定理

有关f(x)

有界和最值定理

m≤f(x)≤M 

介值定理

m≤μ≤M, 存在f(ξ)=μ

平均值定理

零点定理(经过x轴)

f(a)×f(b)<0  存在f(ξ)=0

有关f'(x)

费马定理

Xo处可导且可取极值(区间内部) ,则f'(Xo)=0

f(x)在[a,b]连续可导(ξ不唯一)

罗尔定理

f(a)=f(b) 存在f'(ξ)=0

几何意义:曲线段至少一条切线

拉格朗日中值定理

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a) 

f(b)-f(a)=f'[a+(b-a)Θ](b-a) Θ∈(0,1)

柯西中值定理

f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(ξ)/g'(ξ)

g'(x)≠0 →g(a)≠g(b) 

泰勒公式

有关f(x)dx积分

特殊技巧和细节

中值定理使用习惯

f(b)-f(a) →L

f(a),f(b),f(c) →2L

函数值之和 →介值定理和最值有界

只含ξ

还原法

有待补充

分组法

微分法

把ξ=x,去分母整理成g(x)=0,找出φ'(x)=g(x)，φ(x)为辅助函数

含ξ,a和b

只有f'(ξ)和f'(η)

找三点相等 2L

含ξ η 中值复杂度不同

(  )' —L  

(   )'/(   )'  —C

二阶导数保号性

f''(x)><0  

f'(x) 增减

f(x) ≥≤ f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)

f'(x)≠0 →f'(x)保号 →f(x)必有反函数 f(x)必单调

f(x)可导 → f'(x) 可以是连续或者振荡间断点

ξ不唯一 且多个ξ区间不一定相同

微分不等式

零点问题

方程的根 交点问题

证明根的存在

f(a)×f(b)<0  至少存在一根

limf(x)=α  limf(x)=β  α×β<0 f(x)=0在(a,b)内至少一个根

证明根的唯一

f(x) 在(a,b)单调【f'(x)存在≠0】 f(x)=0在(a,b)内至多一个根

小工具

f^n阶(x)=0 至多有k个根 则f(x)=0 至多k+n个根

实数奇次方程 至少有一个实根

微分不等式

单调性、凹凸性和最值等证明

f''(x)>0 ,a<x<b，f(a)=f(b)=0 则f(x)<0

基本不等式

中值定理

章节技巧

有待补充

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