CAL-6-多元函数微分学

把其他变量看做常数

二阶偏导数仍然连续

对于二阶连续可偏导的f：

span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

多元显函数求偏导

先辨析：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

一般简记：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

注意亦是以u，v为自变量的复合函数

型要先取对数

技巧

多元复合函数求偏导(3)

确定已知函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

若已知函数是显函数，无需隐函数化

对已知函数（等号两侧）直接求导，整理出目标对象

其余自变量均视为函数，应用求导乘法公式

视目标导数的自变量为全局自变量

将另外的变量视为自变量的函数

直接求导，作为二元方程组求解目标偏导



Jacobi行列式

多元隐函数求偏导(3)

求偏导(3)

基本步骤：

参照：一元

Case1. span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

令（驻点）

应用判别法

设目标函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

令span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

解法一：由消去span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"\\lambda\\Rightarrow y=y(x)\" contenteditable=\"false\

解法二：由(a)(b)得到，代入(c)解得span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"\\lambda\" contenteditable=\"false\

技巧：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"F_x\" contenteditable=\"false\

条件极值(有限制条件)

span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"AC-B^2\\left\\{\\begin{aligned}&0\\Rightarrow是极值点\\left\\{\\begin{aligned}&A0\\Rightarrow极小点\\end{aligned}\ight.\\end{aligned}\ight.\" contenteditable=\"false\"

判别法

取整与否对应了两种不同的极值：取整：条件；不取整：无条件；

最大最小直接代值即可

混合情况

多元函数极值(2)

多元微分学代数应用极值

当自变量正交时，方向余弦的平方和=1

方向余弦

方向导数

梯度

方向导数与梯度(3)

：切平面

：法线

空间曲面

：法平面

：切线

空间曲线(2)

几何应用(2)

注意约分

多元微分学物理与几何应用

多元理论实践(3)

一元：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

二元：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

极限

等价于：左右极限均有，=函数值

一元：

连续

：span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\

偏增量

全增量

偏导数

偏导数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

称函数可微并记为函数的微分

称函数在可微并记为函数的全微分

可微性

有界闭区域上span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\

可微→连续

可微→可偏导

连续可偏导:

可偏导连续：

连续、可偏导、可微之关系

方向余弦即为方向角的余弦

通常利用方向余弦求方向导数

大小

方向

梯度即为点处，取最大值的方向导数

方向导数与梯度

基本概念

多元函数微分学