首页  思维导图  详情

CAL-6-多元函数微分学

2021-07-30 11:55:17   1  举报





AI智能生成

高等数学微积分第六章多元函数微分学知识点梳理

高等数学

微积分

多元函数微分学

考研

大学教育

作者其他创作

大纲/内容

多元理论实践(3)

求偏导(3)

多元显函数求偏导

把其他变量看做常数

二阶偏导数仍然连续

对于二阶连续可偏导的f：

多元复合函数求偏导(3)

先辨析：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{aligned}\zeta=f(x^2+y^2)\rightarrow\zeta二元,f一元\\\zeta=f(t,e^t)\rightarrow\zeta一元,f二元\\\zeta=f(xy,x+y)\to\zeta二元,f二元\end{aligned}\right." contenteditable="false">

注意回代u(t),v(t)

一般简记：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\frac{\partial\zeta}{\partial u}\to f'_1,\frac{\partial\zeta}{\partial v}\to f'_2,\frac{\partial^2\zeta}{\partial u^2}\to f''_{11},\frac{\partial^2\zeta}{\partial u\partial v}\to f''_{12}" contenteditable="false">

注意亦是以u，v为自变量的复合函数

技巧

型要先取对数

多元隐函数求偏导(3)

确定已知函数<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{aligned}F(x,y)=0&\mathop{\Rightarrow}\limits_{显式化} 一元函数y=f(x)\\F(x,y,z)=0&\mathop{\Rightarrow}\limits_{显式化} 二元函数z=f(x,y)\\ \left\{\begin{aligned}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{aligned}\right.&\mathop{\Rightarrow}\limits_{显式化} {\color{red}2个一元函数\left\{\begin{aligned}y=y(x)\\z=z(x)\end{aligned}\right.}\end{aligned}\right." contenteditable="false">

对已知函数（等号两侧）直接求导，整理出目标对象

若已知函数是显函数，无需隐函数化

其余自变量均视为函数，应用求导乘法公式

解法

视目标导数的自变量为全局自变量

将另外的变量视为自变量的函数

直接求导，作为二元方程组求解目标偏导

Jacobi行列式

多元微分学代数应用 极值

参照：一元

基本步骤：

多元函数极值(2)

无条件极值 Case1. z=f(x,y) Case2. F(x,y,z)=0

Case1. ,D是开区域（不含边界）

令<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}x=?\\y=?\end{aligned}\right. " contenteditable="false">（驻点）

应用判别法

条件极值 (有限制条件)

设目标函数，且满足

令

令<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{aligned}&F_x=f_x+\lambda\varphi_x=0(a)\\&F_y=f_y+\lambda\varphi_y=0(b)\\&F_{\lambda}=\varphi(x,y)=0(c)\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}x=?\\y=?\end{aligned}\right." contenteditable="false">

解法一：由消去，代入(c)解得(x,y)

解法二：由(a)(b)得到，代入(c)解得，从而解出(x,y)

技巧：恰好与y无关时，可以单独分析直到解出对应(x,y)。同理

应用判别法

判别法

令<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{aligned}&A=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\big|_{(x_0,y_0)}\\&B=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}\\&C=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\big|_{(x_0,y_0)}\end{aligned}\right." contenteditable="false">

0\Rightarrow是极值点\left\{\begin{aligned}&A<0\Rightarrow极大点\\&A>0\Rightarrow极小点\end{aligned}\right.\end{aligned}\right." contenteditable="false">

混合情况

取整与否对应了两种不同的极值：取整：条件；不取整：无条件；

最大最小直接代值即可

多元微分学物理 与几何应用

方向导数与梯度(3)

方向余弦

当自变量正交时，方向余弦的平方和=1

方向导数

梯度

几何应用(2)

空间曲面

：切平面

：法向量

：法线

空间曲线(2)

：法平面

：切向量

：切线

：切向量

基本概念

极限

一元：0,\exist\delta>0,当x\in\mathring{U}(a,\delta),|f(x)-a|<\varepsilon" contenteditable="false">

二元：0,\exist\delta>0,当0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta时,|f(x,y)-a|<\varepsilon" contenteditable="false">

连续

一元：

等价于：左右极限均有，=函数值

二元：

偏导数

偏增量

：

：

全增量

：

偏导数

<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="if\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta\zeta}{\Delta x}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\exist" contenteditable="false">，则称f(x,y)在处对x可偏导。 极限值A称该点处函数对x的偏导数，即为

可微性

一元：

称函数可微 并记为函数的微分

二元：

称函数在可微 并记为函数的全微分

有界闭区域上连续的性质（3）

最值定理：若f(x,y)在有界闭区域D连续→

有界定理：若f(x,y)在有界闭区域D连续→0" contenteditable="false">使

介值定理：设f(x,y)在有界闭区域D连续，

连续、可偏导、可微之关系

可微→连续

可微→可偏导