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CAL-7-微分方程

2021-07-28 10:41:38   1  举报

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高等数学微积分第七章微分方程知识点梳理总结

高等数学

微积分

微分方程

考研

大学教育

作者其他创作

大纲/内容

基本概念

微分方程：含导数或微分的方程

常微分方程

偏微分方程

阶数：微分方程中所含导数、微分的最高阶数

解：使微分方程成立的函数称微分方程的解。不含任意常数的称为特解 若解中含的相互独立的任意常数的个数与阶数相等，则称此解为通解

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

注意讨论：h(y)取0的可能性

注意讨论：C的取值范围

注意：不同情况下的解有时可以合并

注意：对数项的正负号

对形如  的微分方程，可以通过变对数为指数， 同时改变常数的取值范围来去掉绝对值。 对一阶线性微分方程通解同时，可以对 e 的右上角的指数同时去绝对值。

齐次微分方程

令，故，

一阶齐次线性微分方程

讨论y的取0可能性

dy/y=-P(x)dx

ln|y|=-∫P(x)dx+C

结论：

一阶非齐次线性微分方程

对比

考虑令c为c(x)（常数变易为函数），有

代入原方程，得，积分得

于是有

结论：

注意指数部分互为相反数，外负内正

*伯努利方程

令 便有

结论：

可降阶高阶微分方程(3)

注意观察

0，\\其上有一点P，过P分别做垂线和切线，\\与X轴围成的三角形面积为S_1，\\垂线、y(x)，x/y轴围成的曲边梯形面积为S_2，\\满足2S_1-S_2=1；求y(x)" contenteditable="false">

若换元后的方程非线性， 先将元换回去整理， 再尝可分离变量积分

例：求满足的特解

例：求满足的特解

二阶线性微分方程 (高阶LDE)

二阶齐次线性微分方程

二阶非齐次线性微分方程

if ，则可拆解为两个子方程：

解的结构(4)

1.

若

2.

3.

特例：

4.

线性微分方程解的叠加原理

特例：

二阶常系数齐次线性微分方程

特征方程：0\Rightarrow\left\{\begin{aligned} y_1=e^{\lambda_1 x}\\y_2=e^{\lambda_2 x}\end{aligned}\right.\\&=0\Rightarrow\left\{\begin{aligned} y_1&=e^{\lambda x}\\y_2&=xe^{\lambda x}\end{aligned}\right.\\&<0\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&\lambda=\alpha\pm i\beta\\& y_1=e^{\alpha x}\cos\beta x\\&y_2=e^{\alpha x}\sin\beta x\end{aligned}\right.\end{aligned}\right.\Rightarrow y=C_1y_1+C_2y_2" contenteditable="false">

拓展：三阶线性微分方程 特征方程： 根据特征方程根的情况(4)

二阶常系数非齐次线性微分方程

考虑解的结构：y=(*)通解+(**)特解

特征方程：求出齐次部分通解

求特解

Case1. (一般n≤2，可能k=0)

令特解 若k是特征方程的i重根，则额外再乘 代入原方程，待定系数法求a, b...

Case2. *二次用半角公式降次

令特解 若是特征方程的重根，则额外再乘 代入原方程，待定系数法求a, b...

两部分相加得到非齐次通解

根据解的组成可以判断根的情况

指数部分的系数是特征值或其整体 是非齐部分特解的一部分，如果代入 原方程不能恒成立，则必是特征值