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考研高数_常微分方程

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考研高数_常微分方程

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考研高数_常微分方程

方程

常微分方程

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2020.4.28 开坑

微分方程的概念

微分方程

含未知函数及其导数y' 或微分dy=···dx 的方程

常微分方程

未知函数是一元的微分方程

微分方程的阶

未知函数导数的最高阶

解

不是数  是一个函数

通解

含有独立常数的个数等于阶数

ex 三阶方程有三个独立常数

特解

通解+初始条件

初始条件

确定常数的条件

微分方程的求解

一阶微分方程

变量可分离

换元转变量可分离

一阶线性方程y'+py=q

伯努利方程

齐次型微分方程

整理dy/dx=n(y/x) → y/x=u 换元

二阶可降阶微分方程

不显未知函数y 化一阶

不显自变量x

高阶线性微分方程

二阶变系数 线性微分方程

y''+py'+qy=f(x)

齐次方程 f(x)自由项为0

非齐次方程 f(x)≠0

p,q为系数函数

二阶常系数 线性微分方程

y''+py'+qy=f(x)

齐次方程 f(x)自由项为0

非齐次方程 f(x)≠0

p,q为常数

解的结构

若 两个解y1/y2≠常数 → 两个线性无关的解且y=C1y1+C2y2 为通解

非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解

二阶常系数 齐次线性微分方程 通解

二阶常系数 非齐次 线性微分方程 特解

n阶 常系数 齐次 线性微分方程 解

特殊技巧和细节

一阶线性微分方程 y'+py=q 中，lnu可不加绝对值

 +C的C 要写成同个形式 

同乘同除 凑 已知微分方程类型

特解可代入求未知数

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4专升本高等数学第四章常微分方程考点

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