常微分方程
2025-11-06 18:32:38 0 举报
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常微分方程概念及解法
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大纲/内容
基本概念
称含有y及相关导数的方程为微分方程
方程的阶:指方程中最高阶导数
微分方程
一阶微分方程(可分离变量)
形式
dy/dx=f(x)* g(y)
解法
1、通过移项、乘除将方程变量分开为f(x)dx=g(y)dy
2、两边同时积分:∫f(x)dx=∫g(y)dy
3、整理化简
常见化简(积一次分就有一个常数C)
1、C1+C2=C
2、C1*C2=C
3、C1/C2 =C
4、C=ln|C|
5、±e^C=C
二阶微分方程
形式
ay^''+by^'+cy=f(x)
n阶微分方程
形式
y^(n) =Q(x)
解法
直接积分
方程的解:满足方程的函数y
解的类型
通解:满足方程的所有解
特点
含有独立任意常数C
C的个数于阶数相同
特解:满足方程的一个特殊解,特点:不含C
解:满足方程的解
线性微分方程(特殊的形式)
概念:方程中的未知数y,及其各阶导数y^' ,y^''等均是一次方且不为复合函数
一阶线性微分方程
形式(两种)——分离变量后
y^'+𝑃(𝑥)y=Q(x)
解法:y=e^(-∫P(x)dx) [∫〖Q(x) e^∫P(x)dx dx+C〗]
x^'+P(y)x=Q(y)
解法:x=e^(-∫P(y)dy) [∫〖Q(y) e^∫P(y)dy dy+C〗]
ps:题目有初始条件或隐藏初始条件时需要根据条件算出常数C;如如变现积分上下限相同时=0
线性微分方程中的齐次
概念:y及其相关导数在等号左边,全为x的函数在等号右边(也称作自由项——Q(x))
y及其相关导数=Q(x)
Q(x)=0 齐次
Q(x)≠0 非齐次
“齐次”微分方程(特殊的形式)
概念
“齐次”
指x,y各项次数或乘积次数相同
一阶“齐次”微分方程
形式——分离变量后
dy/dx=φ(y/x)
解法
1、令y/x=u
2、换元回带方程
3、分离变量,积分后用u=y/x 回带得通解
二阶“齐次”微分方程
形式
ay^''+by^'+cy=0
解法
1、写出特征方程:ar^2+br+c=0
2、算出特征根r
3、套公式
r1≠r2 y=c1 e^(r1 x)+c2 e^(r2 x)
r1=r2 y=(c1+c2 x) e^(r1 x)
r1,2=a±bi y=e^ax·(c1 cosbx+c2 sinbx)
“非齐次”
方程中存在 “次数不匹配” 的项,导致无法通过y/x统一表示
二阶非“齐次”微分方程求解
形式
ay^''+by^'+cy= P(x) e^λx
解法
1、用特征根法求出ay^''+by^'+cy=0的通解
2、设处一个特解y^*的一般形式,求出特解及特解的一、二阶导然后代入原式用待定系数法求出原式的特解
特解的设法
1、看原来式的P(x) e^λx,设特解为Q(x)*e^λx*x^k
子主题
3、将通解和特解相加
n阶常数微分方程
形式
y^n+P1 y^((n-1) )+⋯=0
求解
1、写出对应特征方程
2、求出特征根
3、套公式
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