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常微分方程

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常微分方程

2025-11-06 18:32:38   2  举报

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常微分方程概念及解法

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大纲/内容

基本概念

称含有y及相关导数的方程为微分方程

方程的阶：指方程中最高阶导数

微分方程

一阶微分方程（可分离变量）

形式

dy/dx=f（x）* g（y）

解法

1、通过移项、乘除将方程变量分开为f(x)dx=g(y)dy<br>

2、两边同时积分：∫f(x)dx=∫g(y)dy

3、整理化简

常见化简（积一次分就有一个常数C）

1、C1+C2=C

2、C1*C2=C

3、C1/C2 =C

4、C=ln|C|

5、±e^C=C

二阶微分方程

形式

ay^''+by^'+cy=f(x)

n阶微分方程

形式

y^(n) =Q(x)

解法

直接积分

方程的解：满足方程的函数y

解的类型

通解：满足方程的所有解

特点

含有独立任意常数C

C的个数于阶数相同

特解：满足方程的一个特殊解，特点：不含C

解：满足方程的解

线性微分方程（特殊的形式）

概念：方程中的未知数y，及其各阶导数y^' ,y^''等均是一次方且不为复合函数

一阶线性微分方程

形式（两种）——分离变量后

y^'+𝑃（𝑥）y=Q(x)

解法：y=e^(-∫P(x)dx) [∫〖Q(x) e^∫P(x)dx dx+C〗]

x^'+P（y）x=Q(y)

解法：x=e^(-∫P(y)dy) [∫〖Q(y) e^∫P(y)dy dy+C〗]

ps：题目有初始条件或隐藏初始条件时需要根据条件算出常数C；如如变现积分上下限相同时=0

线性微分方程中的齐次

概念：y及其相关导数在等号左边，全为x的函数在等号右边（也称作自由项——Q（x））

y及其相关导数=Q（x）

Q(x)=0        齐次

Q(x)≠0       非齐次

“齐次”微分方程（特殊的形式）

概念

“齐次”

指x,y各项次数或乘积次数相同

一阶“齐次”微分方程

形式——分离变量后

dy/dx=φ(y/x)

解法

1、令y/x=u

2、换元回带方程

3、分离变量，积分后用u=y/x 回带得通解

二阶“齐次”微分方程

形式

ay^''+by^'+cy=0

解法

1、写出特征方程：ar^2+br+c=0

2、算出特征根r

3、套公式

r1≠r2          y=c1 e^(r1 x)+c2 e^(r2 x) 

r1=r2           y=(c1+c2 x) e^(r1 x)

r1,2=a±bi     y=e^ax·(c1 cosbx+c2 sinbx)

“非齐次”

方程中存在 “次数不匹配” 的项，导致无法通过y/x统一表示

二阶非“齐次”微分方程求解

形式

ay^''+by^'+cy= P(x) e^λx

解法

1、用特征根法求出ay^''+by^'+cy=0的通解

2、设处一个特解y^*的一般形式，求出特解及特解的一、二阶导然后代入原式用待定系数法求出原式的特解

特解的设法

1、看原来式的P(x) e^λx，设特解为Q(x)*e^λx*x^k

子主题

3、将通解和特解相加

n阶常数微分方程

形式

y^n+P1 y^((n-1) )+⋯=0

求解

1、写出对应特征方程

2、求出特征根

3、套公式

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