常微分方程
2025-11-06 18:32:38 0 举报AI智能生成
常微分方程概念及解法
作者其他创作
大纲/内容
基本概念
称含有y及相关导数的方程为微分方程
方程的阶：指方程中最高阶导数
微分方程
一阶微分方程（可分离变量）
形式
dy/dx=f（x）* g（y）
解法
1、通过移项、乘除将方程变量分开为f(x)dx=g(y)dy
2、两边同时积分：∫f(x)dx=∫g(y)dy
3、整理化简
常见化简（积一次分就有一个常数C）
1、C1+C2=C
2、C1*C2=C
3、C1/C2 =C
4、C=ln|C|
5、±e^C=C
二阶微分方程
形式
ay^''+by^'+cy=f(x)
n阶微分方程
形式
y^(n) =Q(x)
解法
直接积分
方程的解：满足方程的函数y
解的类型
通解：满足方程的所有解
特点
含有独立任意常数C
C的个数于阶数相同
特解：满足方程的一个特殊解，特点：不含C
解：满足方程的解
线性微分方程（特殊的形式）
概念：方程中的未知数y，及其各阶导数y^' ,y^''等均是一次方且不为复合函数
一阶线性微分方程
形式（两种）——分离变量后
y^'+𝑃（𝑥）y=Q(x)
解法：y=e^(-∫P(x)dx) [∫〖Q(x) e^∫P(x)dx dx+C〗]
x^'+P（y）x=Q(y)
解法：x=e^(-∫P(y)dy) [∫〖Q(y) e^∫P(y)dy dy+C〗]
ps：题目有初始条件或隐藏初始条件时需要根据条件算出常数C；如如变现积分上下限相同时=0
线性微分方程中的齐次
概念：y及其相关导数在等号左边，全为x的函数在等号右边（也称作自由项——Q（x））
y及其相关导数=Q（x）
Q(x)=0 齐次
Q(x)≠0 非齐次
“齐次”微分方程（特殊的形式）
概念
“齐次”
指x,y各项次数或乘积次数相同
一阶“齐次”微分方程
形式——分离变量后
dy/dx=φ(y/x)
解法
1、令y/x=u
2、换元回带方程
3、分离变量，积分后用u=y/x 回带得通解
二阶“齐次”微分方程
形式
ay^''+by^'+cy=0
解法
1、写出特征方程：ar^2+br+c=0
2、算出特征根r
3、套公式
r1≠r2 y=c1 e^(r1 x)+c2 e^(r2 x)
r1=r2 y=(c1+c2 x) e^(r1 x)
r1,2=a±bi y=e^ax·(c1 cosbx+c2 sinbx)
“非齐次”
方程中存在 “次数不匹配” 的项，导致无法通过y/x统一表示
二阶非“齐次”微分方程求解
形式
ay^''+by^'+cy= P(x) e^λx
解法
1、用特征根法求出ay^''+by^'+cy=0的通解
2、设处一个特解y^*的一般形式，求出特解及特解的一、二阶导然后代入原式用待定系数法求出原式的特解
特解的设法
1、看原来式的P(x) e^λx，设特解为Q(x)*e^λx*x^k
子主题
3、将通解和特解相加
n阶常数微分方程
形式
y^n+P1 y^((n-1) )+⋯=0
求解
1、写出对应特征方程
2、求出特征根
3、套公式
0 条评论
下一页
