浙江省专升本考试-常微分方程



概念

一阶微分方程

二阶微分方程

分类

微分方程出现未知函数的最高阶导数的阶数

阶

代入微分方程可以使其两端成为恒等式的函数

解

微分方程中含有独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程的阶数相同

通解

不含任意常数的微分方程的解

特解

确定通解中任意常数的条件

初始条件

求微分方程满足初始条件特解的问题

初值问题

微分方程概念及分类

形如

方程特征

1.分离变量，将方程写成

2.取不定积分，span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

解法

可分离变量方程

1.首先作变换

2.则

3.将方程化为可分分离方程

齐次方程



线性：微分方程中关于和y都是一次的

特征

通解形式

当span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

一阶线性微分方程

当【2】成为对应的齐次方程，切记

二阶线性微分方程一般形式

线性相关，常数

线性无关，不是常数

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

定理1

通=齐通+非奇特

定理2

通-通=特

定理3

齐次线性微分方程的解符合叠加原理，解的线性组合仍为解；非齐次线性微分方程的线性组合未必是解

特+特=特

定理4(解、特解叠加原理)

二阶常线性微分方程解的结构

韦达定理

特征根

特征方程

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

特解形式

求出特解，一定求出来才可以和齐通解组合成为最终的通解

求解的话是指求出非齐特解再和奇特组合成为非齐通，根据隐藏的初始条件求出非齐通解的C，也就是全部都要求出来

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二阶常系数非齐次线性微分方程

形如span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

解法：令

详细解法

欧拉方程

解法：两边同时除span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

伯努利方程

特殊微分方程

方程解的形式

常微分方程