一元函数积分学

如果在区间上，可导函数的导函数为span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\"f(x)\



由于如果有一个原函数，则有无穷多个原函数

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"f(x)的全体原函数所组成的集合，就是函数族\\{F(x)+C|-\\proptoC

一个函数的两个不同的原函数之间只差一个常数

注

原函数定义

不等积分的定义

不定积分和原函数是两个不同的概念，不定积分是个集合，原函数是该集合中的一个元素，即

原函数与不定积分的关系

不定积分的运算性质

原函数与不定积分的概念

基本积分公式

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

不定积分的基本运算法则

不定积分的基本概念与性质

注：常用的凑微元公式

定理1

第一类换元积分法（又称“凑微元”法）

第二换元法主要是针对包含有根式的被积函数，其左右是让根式有理化

注意：这种方式是利用了三角等式，称为三角代换，目的是将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式

如果分母中有形如

到代换span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

当被积函数中含有无理式span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

一般采取以下几种代换

定理2

第二类换元积分法（也称为变量代换法，t换元、三角换元）

不定积分的换元积分法

定义

常用分部积分法计算的不定积分类型

反对幂三指

选得规律

不定积分的分布积分法

解决形如span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

可以利用两角和两角差公式、当发现失衡了要及时换方法

改造分子法

不定积分的计算方法

m时，称为真分式，否则为假分\"

最简真分式

没有括号次方凑全

有括号次方凑括号里的

显然最简真分式1、2恒容易求出，3、4需要凑一下如

如果式子式假分式，则可以表示成一个整式和一个真分式之和，然后分别求其原函数

如果式子为真分式，则可以将其分解成称为若干个最简分式之和，分别求出其原函数

对于有理函数，通过以下程序求出原函数

之后交叉相乘，通过比较系数的出系数，最后的出最简真分式

举个例子(重根例子)

关于将一个真分式分解成若干个最简分式之和，有如下定理

有理函数的积分

三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限四则运算构成的函数。由于各种三角函数都可以用sinx以及cosx的有理式表示，故三角函数有理式也就是sinx，cosx的有理式，记作span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

因此有span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

有三角函数中的万能公式，有

对于三角函数有理函数的积分span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

形如span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

三角函数有理式的积分

简单有理函数积分

不定积分

考点：

由定义知道是一个具体的数，与函数以及区间span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\

定义中的

定积分的定义

定积分的几何含义

充分条件

必要条件

定积分存在的充分条件与必要条件

定积分的概念

和差的定积分等于它的定积分的和差，即

性质1

性质2

性质3

性质4

推论1.span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

若，则span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\

性质5

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"|\\int _a^bf(x)dx| \\leq \\int _a^b |f(x)|dx(a

性质6

性质7(积分估值定理)

若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

积分中值定理b，还是a

几何含义

性质8(积分中值定理)

由积分定义知，span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\int _a^b f(x)dx是当ab时无意义，规定\"

规定

定积分的性质

定理3(微积分基本定理)

如果函数在区间上连续，那么在上存在可导函数span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"3\" data-equation=\"F(x)\

某区间上的连续函数在该区间上存在原函数

既然变上限定积分是被积函数的原函数，这就为计算定积分开辟了新途径

定理4

微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式把定积分的计算问题归结为被积函数的原函数在上、下限出函数值之差的问题

牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本公式）

微积分基本公式

则有

从左往右看，是不定积分的第二换元法。从右往左看，可以认为是第一换元法

定积分的换元法

定积分的分部积分法

定积分的换元法和分部积分法

证明的时候要么从第二式子出发令span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

区间再现公式

函数对称性

当偶倍奇零、换元、凑微分、分部积分都无法使用，可以考虑再现公式

当遇到形如

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\

广义奇偶性：被积函数的对称中心横坐标恰好为区间中点

常函数(通过一阶导为0证明)

黎曼积分

经典题型1

经典题型2

形如

经典题型3

解法一：区间再现

令

解法二：广义奇偶性

经典题型4

定积分计算中的常用公式

极限存在：收敛，极限不存在：发散

无穷限广义积分

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"当c(cc

瑕积分

定积分的计算方法

定积分应用的微元法

平面图形的面积

柱壳法

特殊的情况

旋转体的体积

V=π*r²* h

圆柱体积

V=1/3Sh

圆锥体积

V=1/3πh（r²＋R²＋rR）

圆台体积公式

立体图形体积

定积分的应用

定积分

一元函数积分学