

首页  思维导图  详情



无穷级数

2022-05-16 16:05:08   0  举报





AI智能生成

浙江省专升本数学-无穷级数

浙江省专升本

高等数学

模版推荐

作者其他创作

大纲/内容

常数项级数的概念和性质

常数项级数的概念

定义1

如果给定一个数列<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="u_1,u_2,u_3,\cdots,u_n,\cdots,则由这数列构成的表达式u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots叫做(常数项)无穷级数，记为\sum _{n=1}^{\propto} u_n,其中第n项u_n叫做级数的一般项。">

定义2

作级数前项的和,称为级数

定义3

两个重要级数

几何级数(等比级数)

讨论

1,\lim_{n\rightarrow \propto} S_n=\propto，级数发散\end{cases}">

0)">

1,级数收敛">

广义P级数

收敛级数的基本性质

性质1

性质2

性质3

性质4

收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于原级数的和，但加括号后所成的级数收敛，去掉括号后原级数未必收敛

性质5

(级数收敛的必要条件)如果级数

注

收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散

常数项级数的审敛法

正项级数及其审敛法

定义1

定理1

正项级数收敛的充要条件是部分和数列

（定理2、3、4）正项级数审敛法()

比较审敛法（大敛则小敛，小散则大散）

注

0时，sinx<x">，

比较审敛法的极限形式

0,同敛散 \\l=0,母收子收 \\l=+\propto,母散子散\end{cases}">

比值审敛法(达朗贝尔判别法，通常用在)

1(包括\lim_{n\rightarrow \propto} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\propto),级数发散">

根值审敛法

1(包括\lim_{n\rightarrow \propto} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\propto),级数发散">

定理5

0(或\lim_{n\rightarrow \propto} n\cdot u_n=+\propto),则级数\sum_{n=1}^{\propto} u_n发散">

1,而\lim_{n\rightarrow \propto} n^p\cdot u_n = l (0\leq l < +\propto),则级数\sum_{n=1}^{\propto} u_n收敛">

交错级数及其审敛法

定义1

所谓交错级数就是这样的级数，它的各项是征服交错的，从而可以写成下面的形式：

定理7（交错级数的莱布尼兹审敛法）

0为交错级数">

满足收敛的两个条件

绝对收敛和条件收敛（通常和比较审敛法一起用）

幂级数

函数项级数的概念

如果一个定义在区间I上的函数数列<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdots,u_n(x),\cdots则由着函数数列构成的表达式u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots称为定义域在区间I上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数">

幂级数及其收敛性

幂级数的概念

阿贝尔定理

R时级数发散。称为R为该幂级数的收敛半径，（-R,R）为收敛区间，当幂级数只在x=0一点收敛时，R=0，当对于一切x幂级数都收敛时R=+\propto">

收敛半径、区间的求法

对于幂级数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\sum _{n=1}^{\propto} u_n(x)，且\rho=\lim_{n\rightarrow \propto } |\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\lambda(x),则\lambda(x)<1的解即为幂级数的收敛区间">,

收敛域=收敛区间+收敛端点

注

R=0时,仅在x=0处收敛；

幂级数性质

运算性质

和函数性质

S(0)可加可不加

记住要加上S(0),计算S(0)时候，先展开在代入值

注

函数展开成幂级数

泰勒级数

麦克劳林级数