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考研高等_一元函数积分学

考研高等_一元函数积分学

2020-03-17 18:00:55   2  举报

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考研高数_一元函数积分学

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更新记录

2020.3.10 开坑

概念

不定积分

原函数为F(x) 满足F'(x)=f(x)    ∫f(x)dx=F(x)+C

定积分

存在定理

f(x)在[a,b] 连续 or 单调 or 有界且只有有限个间断点 → 积分存在

f(x)在[a,b] 可积 → f(x)有界

定义

几何定义

①与区间[a,b]和ξi无关   ②λ→0,则n→∞

精确定义

基本性质

± 可拆  

∫dx=b-a=L 为区间[b-a]长度

保号

若f(x)≤g(x) 则∫f(x)≤∫g(x)

|∫f(x)|=∫|f(x)|

x∈(a,b) 若 m≤f(x)≤M  则m(b-a)≤f(x)≤M(b-a)

积分中值

牛顿-莱布尼兹公式

特殊性质

变限积分

积分表达式的x与上下限的x不同

性质

可积→连续→可导

求解

积分函数中不能有上下限x

换元法

等价替换

反常/广义积分

f(x) 无穷小程度越小反常积分越容易收敛

上下限均∞ → 上述两条件均存在极限 则收敛

反常积分 是一个无界函数也可能存在积分

伽马函数

特殊技巧和细节

f(x)连续或振荡间断点必有原函数 F(x)

正常积分

积分区间有限

连续 or 只有有限个第一列间断点(跳跃 可去)

广义积分∫∞ f(x)dx 发散则不能使用奇偶性

可积 →  有界

sin-cos对换法

常用换元法

n≥(b-a)/x+∞（λ→0）

定积分与自变量无关 故换元法后不代回定积分中

计算方法

基本积分公式

凑微分法

拿出一部分放到d后面  f'(x)dx=df(x)

换元法

记得结果代回去

含根式、反三角等时，从d后面拿出一部分放在前面  f'(x)dx=df(x)

分部积分法

由(uv)'=u'v+v'u 推导而来

∫udv=uv-∫vdu

微分简单 u 反对幂指三 v 积分简单

推广技巧

有理函数积分

解法

①假分式→R(x)=多项式+真分式 

②两个例子

特殊技巧和细节

f'(x)=df(x)/dx →f'(x)dx=df(x)

不定积分易错点

不定积分计算技巧

拆成基本公式或者+-式子

二次函数化顶点式

du 可拿出一部分放在前面

低次→高次 

cosx+1=2cos²x/2

1+tan²x=sec²x

sin²和cos²x 同时出现 → 同除以cos²x

x×根号*  →三角替换

分母拆看成a²+b²

分子+狗-狗 化简按a²+b²约分

几何应用

图形的面积

旋转体的体积

曲线的弧长

函数的平均值

积分中值定理的f(ξ)

特殊技巧和细节

章节技巧

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