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数学一元函数积分学知识点学习笔记

2022-10-28 17:50:18   0  举报

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数学一元函数积分学知识点学习笔记

数学一元函数积分

数学

一元函数积分学

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大纲/内容

概念

不定积分

原函数为F(x)&nbsp;满足F&apos;(x)=f(x)&nbsp; &nbsp; ∫f(x)dx=F(x)+C

定积分

存在定理

f(x)在[a,b] 连续&nbsp;or&nbsp;单调&nbsp;or&nbsp;有界且只有有限个间断点&nbsp;→ 积分存在

f(x)在[a,b]&nbsp;可积&nbsp;→&nbsp;f(x)有界

定义

几何定义

①与区间[a,b]和ξi无关&nbsp; &nbsp;②λ→0,则n→∞

精确定义

分支主题

基本性质

±&nbsp;可拆&nbsp;&nbsp;

∫dx=b-a=L&nbsp;为区间[b-a]长度

保号

若f(x)≤g(x) 则∫f(x)≤∫g(x)

|∫f(x)|=∫|f(x)|

x∈(a,b) 若 m≤f(x)≤M&nbsp; 则m(b-a)≤f(x)≤M(b-a)

积分中值

分支主题

牛顿-莱布尼兹公式

分支主题

特殊性质

分支主题

变限积分

积分表达式的x与上下限的x不同

性质

可积→连续→可导

分支主题

求解

积分函数中不能有上下限x

换元法

等价替换

反常/广义积分

f(x)&nbsp;无穷小程度越小反常积分越容易收敛

上下限均∞&nbsp;→&nbsp;上述两条件均存在极限&nbsp;则收敛

反常积分&nbsp;是一个无界函数也可能存在积分

伽马函数

特殊技巧和细节

f(x)连续或振荡间断点必有原函数 F(x)

正常积分

积分区间有限

连续&nbsp;or&nbsp;只有有限个第一列间断点(跳跃&nbsp;可去)

广义积分∫∞ f(x)dx 发散则不能使用奇偶性

可积&nbsp;→&nbsp; 有界

sin-cos对换法

常用换元法

n≥(b-a)/x+∞（λ→0）

定积分与自变量无关&nbsp;故换元法后不代回定积分中

计算方法

基本积分公式

分支主题

凑微分法

分支主题

拿出一部分放到d后面&nbsp; f&apos;(x)dx=df(x)

换元法

记得结果代回去

含根式、反三角等时，从d后面拿出一部分放在前面&nbsp; f&apos;(x)dx=df(x)

分部积分法

由(uv)&apos;=u&apos;v+v&apos;u&nbsp;推导而来

∫udv=uv-∫vdu

微分简单 u 反对幂指三 v 积分简单

推广技巧

分支主题

有理函数积分

解法

①假分式→R(x)=多项式+真分式&nbsp;

②两个例子

分支主题

特殊技巧和细节

f&apos;(x)=df(x)/dx&nbsp;→f&apos;(x)dx=df(x)

不定积分易错点

分支主题

不定积分计算技巧

拆成基本公式或者+-式子

二次函数化顶点式

du&nbsp;可拿出一部分放在前面

低次→高次&nbsp;

cosx+1=2cos²x/2

1+tan²x=sec²x

sin²和cos²x&nbsp;同时出现&nbsp;→&nbsp;同除以cos²x

x×根号*&nbsp; →三角替换

分母拆看成a²+b²

分子+狗-狗&nbsp;化简按a²+b²约分

几何应用

图形的面积

分支主题

旋转体的体积

分支主题

曲线的弧长

分支主题

函数的平均值

积分中值定理的f(ξ)

特殊技巧和细节

章节技巧

加减不能用无穷小，由于剩余o(x)

若y=f(x)可导,且f&apos;(x)≠0&nbsp; →存在反函数 f&apos;(x)保号,f(x)单调

易错计算

sin²x&nbsp;求导=sin(sinx)=sinxcosx

e^(sin²1/x)&nbsp;求导=e^(sin²1/x)×sin(1/x)×cos(1/x)

欲求dy/dx|x=Xo&nbsp; 先x=Xo代入F(x,y)求y=？

区分极限、函数值和导数之间的关系

导数与微分

概念

导数

分左右导数

微分

用线性增量A△x代替复杂的增量△y&nbsp; 忽略误差&nbsp;&lt;br&gt;若f(x)在x=Xo处可微，则 △y-dy=o(△x)

几何意义

f(Xo)在Xo处可微，则点(Xo,Yo)附近用切线段≈曲线段

导数与微分的计算

四则运算

基本求导公式

分段函数

分段点

复合函数&nbsp;与微分形式不变性

df(狗)=f&apos;(狗)d狗

Because of 同阶无穷小△U=O(△x) 可任意替换

反函数

分支主题

参数方程

d²y/dx²=一阶导数关于t求导/x关于t求导

隐函数

y关于x的隐函数，y求导后保留为dy/dx

对数函数

等式两边取对数&nbsp; lny=lnf(x)

幂指函数

u(x)^v(x)=e^[v(x)ln u(x)]

高阶函数

归纳法

泰勒公式

分支主题

变限积分

分支主题

特殊技巧和细节

导数应用——瞬时变化率、割线的极限位置是曲线的切线、切线斜率

可导 ≠ 光滑&nbsp; &nbsp;如y=x^(1/3)

连续&nbsp;←可导 ←→ 可微

周期函数 f&apos;(x+T)=f&apos;(x)

[ln|u(x)|]&apos;=u&apos;(x)/u(x)

分支主题

章节技巧

有待补充

微分不等式

零点问题

方程的根&nbsp;交点问题

证明根的存在

f(a)×f(b)&lt;0&nbsp; 至少存在一根

limf(x)=α&nbsp; limf(x)=β&nbsp; α×β&lt;0 f(x)=0在(a,b)内至少一个根

证明根的唯一

f(x)&nbsp;在(a,b)单调【f&apos;(x)存在≠0】 f(x)=0在(a,b)内至多一个根

小工具

f^n阶(x)=0&nbsp;至多有k个根&nbsp;则f(x)=0&nbsp;至多k+n个根

实数奇次方程&nbsp;至少有一个实根

微分不等式

单调性、凹凸性和最值等证明

f&apos;&apos;(x)&gt;0 ,a&lt;x&lt;b，f(a)=f(b)=0&nbsp;则f(x)&lt;0

基本不等式

中值定理

有关f(x)

有界和最值定理

m≤f(x)≤M&nbsp;

介值定理

m≤μ≤M, 存在f(ξ)=μ

平均值定理

分支主题

零点定理(经过x轴)

f(a)×f(b)&lt;0&nbsp; 存在f(ξ)=0

有关f&apos;(x)

费马定理

Xo处可导且可取极值(区间内部) ,则f&apos;(Xo)=0

f(x)在[a,b]连续可导(ξ不唯一)

罗尔定理

f(a)=f(b)&nbsp;存在f&apos;(ξ)=0

几何意义:曲线段至少一条切线

拉格朗日中值定理

f(b)-f(a)=f&apos;(ξ)(b-a)&nbsp;

f(b)-f(a)=f&apos;[a+(b-a)Θ](b-a)&nbsp;Θ∈(0,1)

柯西中值定理

f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f&apos;(ξ)/g&apos;(ξ)

g&apos;(x)≠0&nbsp;→g(a)≠g(b)&nbsp;

泰勒公式

分支主题

有关f(x)dx积分

分支主题

特殊技巧和细节

中值定理使用习惯

f(b)-f(a)&nbsp;→L

f(a),f(b),f(c) →2L

函数值之和 →介值定理和最值有界

只含ξ

还原法

有待补充

分组法

分支主题

微分法

把ξ=x,去分母整理成g(x)=0,找出φ&apos;(x)=g(x)，φ(x)为辅助函数

含ξ,a和b

分支主题

只有f&apos;(ξ)和f&apos;(η)

找三点相等 2L

含ξ&nbsp;η&nbsp;中值复杂度不同

(&nbsp; )&apos; —L&nbsp;&nbsp;

(&nbsp; &nbsp;)&apos;/(&nbsp; &nbsp;)&apos;&nbsp; —C

二阶导数保号性

f&apos;&apos;(x)&gt;&lt;0&nbsp;&nbsp;

f&apos;(x) 增减

f(x) ≥≤ f(Xo)+f&apos;(Xo)(x-Xo)

f&apos;(x)≠0&nbsp;→f&apos;(x)保号&nbsp;→f(x)必有反函数 f(x)必单调

f(x)可导&nbsp;→ f&apos;(x)&nbsp;可以是连续或者振荡间断点

ξ不唯一&nbsp;且多个ξ区间不一定相同

分支主题

几何应用

作函数图像

四点

极值

定义

最值点Xo不是区间的端点，而是区间内部的点，那么Xo必是f(x)的一个极值点

判别

必要条件

f(x)在x=Xo&nbsp;可导且Xo处取极大值，则有f&apos;(Xo)=0

充分条件

f(x)连续且去心邻域可导

左f&apos;(x)&lt;0&nbsp; 右f&apos;(x)&gt;0&nbsp; 极小值

左f&apos;(x)&gt;0&nbsp; 右f&apos;(x)&lt;0 &nbsp;极大值

左右不变&nbsp; &nbsp;无极值

f(x)在x=Xo二阶可导&nbsp;且f&apos;(Xo)=0,f&apos;&apos;(Xo)≠0

f&apos;&apos;(Xo)&lt;0&nbsp; &nbsp;f(x)极大值

f&apos;&apos;(Xo)&gt;0&nbsp; &nbsp;极小值

f(x)在Xo处n阶可导&nbsp;且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0&lt;br&gt;m=1,2,3, …&nbsp; n≥2

f^偶数阶(Xo)&lt;0&nbsp; &nbsp;极大值

f^奇数阶(Xo)&gt;0&nbsp; &nbsp;极小值

最值

驻点

f&apos;(Xo)=0&nbsp;

拐点

(Xo,f(Xo))&nbsp;凹凸弧交界点

二阶可导

f&apos;&apos;(x)&gt;0&nbsp; &nbsp;凹

f&apos;&apos;(x)&lt;0&nbsp; &nbsp;凸

判别

必要条件

f&apos;&apos;(Xo)存在且(Xo,f(Xo))为拐点，则f&apos;&apos;(Xo)=0

充分条件

存在拐点(Xo,f(Xo))

f(x)在x=Xo三阶可导且f&apos;&apos;(Xo)=0,f&apos;&apos;&apos;(Xo)≠0

f(x)连续&nbsp;去心邻域&nbsp;二阶可导&nbsp; f&apos;&apos;(x)左右变号&nbsp;

f(x)在Xo处n阶可导且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0&lt;br&gt;m=2,3, …&nbsp; &nbsp; n≥3

n为奇数&nbsp;存在拐点(Xo,f(Xo))

两线

单调性

判别

f&apos;(x)&gt;0&nbsp;增

f&apos;(x)&lt;0&nbsp;减

凹凸性

分支主题

一线

渐近线

铅垂渐近线

x=Xo且为间断点

lim(x→Xo)=∞&nbsp;

f(a+0)=∞

f(a-o)=∞

(其一满足即可）

水平渐近线

y=A

lim(x→+∞)=lim(x→-∞)=A

斜渐近线

y=ax+b

左右均等

弧线

弧微分

基本公式 (ds)²=(dx)²+(dy)²

分支主题

曲率与曲率半径

分支主题

全局的取值范围

比较函数值

f&apos;(x)=0

f&apos;(x)&nbsp;不存在

端点&nbsp;或&nbsp;单侧极限

特殊技巧和细节

端点无极值概念&nbsp;

间断点可以是极值点&nbsp; &nbsp; 极值间断→双侧有定义

极值点与可导性无关，可以是不可导点

拐点存在，不一定Xo导数存在，如y=x^(-1/3)

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