数学一元函数积分学知识点学习笔记
2022-10-28 17:50:18 0 举报AI智能生成
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数学一元函数积分学知识点学习笔记
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大纲/内容
原函数为F(x) 满足F'(x)=f(x) ∫f(x)dx=F(x)+C
不定积分
存在定理
几何定义
分支主题
精确定义
定义
± 可拆
∫dx=b-a=L 为区间[b-a]长度
若f(x)≤g(x) 则∫f(x)≤∫g(x)
|∫f(x)|=∫|f(x)|
保号
积分中值
基本性质
牛顿-莱布尼兹公式
特殊性质
定积分
积分表达式的x与上下限的x不同
可积→连续→可导
性质
换元法
等价替换
积分函数中不能有上下限x
求解
变限积分
f(x) 无穷小程度越小 反常积分越容易收敛
上下限均∞ → 上述两条件均存在极限 则收敛
反常积分 是一个无界函数也可能存在积分
伽马函数
反常/广义积分
f(x)连续或振荡间断点 必有原函数 F(x)
积分区间有限
连续 or 只有有限个第一列间断点(跳跃 可去)
正常积分
广义积分∫∞ f(x)dx 发散 则不能使用奇偶性
可积 → 有界
sin-cos对换法
常用换元法
n≥(b-a)/x+∞（λ→0）
定积分与自变量无关 故换元法后不代回定积分中
特殊技巧和细节
概念
基本积分公式
拿出一部分放到d后面 f'(x)dx=df(x)
凑微分法
记得结果代回去
含根式、反三角等时，从d后面拿出一部分放在前面 f'(x)dx=df(x)
由(uv)'=u'v+v'u 推导而来
微分简单 u 反 对 幂 指 三 v 积分简单
∫udv=uv-∫vdu
推广技巧
分部积分法
①假分式→R(x)=多项式+真分式
②两个例子
解法
有理函数积分
f'(x)=df(x)/dx →f'(x)dx=df(x)
不定积分易错点
拆成基本公式或者+-式子
二次函数化顶点式
du 可拿出一部分放在前面
cosx+1=2cos²x/2
1+tan²x=sec²x
sin²和cos²x 同时出现 → 同除以cos²x
低次→高次
x×根号* →三角替换
分母拆看成a²+b²
分子+狗-狗 化简按a²+b²约分
不定积分计算技巧
计算方法
图形的面积
旋转体的体积
曲线的弧长
积分中值定理的f(ξ)
函数的平均值
几何应用
章节技巧
加减不能用无穷小，由于剩余o(x)
sin²x 求导=sin(sinx)=sinxcosx
e^(sin²1/x) 求导=e^(sin²1/x)×sin(1/x)×cos(1/x)
易错计算
区分极限、函数值和导数之间的关系
分左右导数
导数
用线性增量A△x代替复杂的增量△y 忽略误差 <br>若f(x)在x=Xo处可微，则 △y-dy=o(△x)
几何意义
微分
四则运算
基本求导公式
分段点
分段函数
df(狗)=f'(狗)d狗
Because of 同阶无穷小△U=O(△x) 可任意替换
复合函数 与微分形式不变性
反函数
d²y/dx²=一阶导数关于t求导/x关于t求导
参数方程
y关于x的隐函数，y求导后保留为dy/dx
隐函数
等式两边取对数 lny=lnf(x)
对数函数
u(x)^v(x)=e^[v(x)ln u(x)]
幂指函数
归纳法
泰勒公式
高阶函数
导数与微分的计算
导数应用——瞬时变化率、割线的极限位置是曲线的切线、切线斜率
可导 ≠ 光滑 如y=x^(1/3)
连续 ←可导 ←→ 可微
周期函数 f'(x+T)=f'(x)
[ln|u(x)|]'=u'(x)/u(x)
导数与微分
有待补充
f(a)×f(b)<0 至少存在一根
证明根的存在
证明根的唯一
f^n阶(x)=0 至多有k个根 则f(x)=0 至多k+n个根
实数 奇次方程 至少有一个实根
小工具
方程的根 交点问题
零点问题
单调性、凹凸性和最值等证明
基本不等式
中值定理
微分不等式
m≤f(x)≤M
有界和最值定理
介值定理
平均值定理
f(a)×f(b)<0 存在f(ξ)=0
零点定理(经过x轴)
有关f(x)
费马定理
几何意义:曲线段至少一条切线
f(a)=f(b) 存在f'(ξ)=0
罗尔定理
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
拉格朗日中值定理
f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(ξ)/g'(ξ)
g'(x)≠0 →g(a)≠g(b)
柯西中值定理
有关f'(x)
有关f(x)dx积分
f(b)-f(a) →L
函数值之和 →介值定理和最值有界
还原法
分组法
微分法
只含ξ
找三点相等 2L
只有f'(ξ)和f'(η)
( )' —L
( )'/( )' —C
含ξ η 中值复杂度不同
中值定理使用习惯
f'(x) 增减
f(x) ≥≤ f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)
f''(x)><0
二阶导数保号性
f'(x)≠0 →f'(x)保号 →f(x)必有反函数 f(x)必单调
f(x)可导 → f'(x) 可以是连续或者振荡间断点
ξ不唯一 且多个ξ区间不一定相同
最值点Xo不是区间的端点，而是区间内部的点，那么Xo必是f(x)的一个极值点
f(x)在x=Xo 可导且Xo处取极大值，则有f'(Xo)=0
必要条件
左f'(x)<0 右f'(x)>0 极小值
左f'(x)>0 右f'(x)<0 极大值
左右不变 无极值
f(x)连续且去心邻域可导
f''(Xo)<0 f(x)极大值
f''(Xo)>0 极小值
f^偶数阶(Xo)<0 极大值
f^奇数阶(Xo)>0 极小值
充分条件
判别
极值
最值
f'(Xo)=0
驻点
f''(x)>0 凹
f''(x)<0 凸
二阶可导
f(x)连续 去心邻域 二阶可导 f''(x)左右变号
拐点
四点
f'(x)>0 增
f'(x)<0 减
单调性
凹凸性
两线
lim(x→Xo)=∞
f(a+0)=∞
f(a-o)=∞
(其一满足即可）
x=Xo且为间断点
铅垂渐近线
lim(x→+∞)=lim(x→-∞)=A
y=A
水平渐近线
左右均等
y=ax+b
斜渐近线
渐近线
一线
作函数图像
基本公式 (ds)²=(dx)²+(dy)²
弧微分
曲率与曲率半径
弧线
f'(x)=0
f'(x) 不存在
端点 或 单侧极限
比较函数值
全局的取值范围
端点无极值概念
间断点可以是极值点 极值间断→双侧有定义
极值点与可导性无关，可以是不可导点
拐点存在，不一定Xo导数存在，如y=x^(-1/3)
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