考研线代_综合秘籍
2020-08-04 13:56:27 3 举报AI智能生成
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考研线性代数_综合题型秘籍
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2020.7.31 开坑2020.8.03 第一版完成
考研线代_综合题型秘籍
行列式
行列式计算
具体型行列式计算
常规变形法
每一列/行 ±到 第一行/列
第一行/列 k倍 ±到 其他行/列
逐行/列 相± k倍
提公因式 or k倍±
0很多 → 展开公式
拆开法
n阶行列式 拆开有 2^n个 n阶子行列式
加边升阶法
不等价加边 → 局部系数次数使用
等价加边
固定公式法
范德蒙 = 每行/列 -其他行/列 的乘积 ex.(X2-X1)(X3-X1)(X3-X2) 副对角线=（-1)^(n的求和）× 对角线乘积上下三角 =对角线乘积
范德蒙德 & 主副对角线 & 拉普拉斯展开
特殊结构法
三对角行列式
三条平行对角线
逐行/列 ±k倍 → 三角形行列式
爪形行列式
两顶边+主对角线
各行/列 - 第一行/列 → 三角形行列式
异抓型行列式
高阶递推低阶法
① 找出递推公式 即Dn与Dn-1的关系【通常用余子式】② Dn-1与Dn要有完全相同的元素分布规律，只是Dn-1比Dn少了一阶
数学归纳法
①n=1成立 ② 假设n=k成立 ③ 验证n=k+1 成立
① n=1 or n=2 成立 ② 假设n=k-1 成立 ③ 验证n=k 成立
① n=1和n=2 成立 ②假设n<k成立 ③ 验证 n=k成立
抽象行列式计算
行列式性质
恒等
|A|^T=|A| 行列转置
单列/行 可拆
k 倍 列/行 ± 另一列/行
相反数
行列互换位置
|▲|=k |♦|
单行/列 公因式
|A|=0
两行/列 相同
两行/列 成比例
行/列元素全为0
单位矩阵E恒等变形
矩阵法则
均同阶方阵
C=AB → |C|=|AB|=|A||B|
C=A+B → |C|=|A+B| 恒等变形→化(λ-a)乘积或方程组
相似矩阵法则
|A|=λ1λ2···λn【特征值之积】
λ1+λ2+···+λn=∑tr(A) 特征值之和=迹之和
若A~B → |A|=|B|
方程分块拆分 → 行列式相等
Mij 与 Aij
行列式法则
Mij 为余子式 Aij代数余子式
第i行/列元素 × 对应代数余子式 = |A|
行列元素 × 另一行列代数余子式 =0
特征值法则
证明 |A| = 0
基本性质
相关证明
r(A)<n
|A| = -|A|
0是特征值 因为|A|=特征值之积
奇数阶的反对称矩阵 (aii=0 aij=-aij) → |A|=0
Ax=0 为非零解 【克拉默法则】
D为系数行列式 Dn为第n列元素换成等式右边b
齐次线性方程组的系数行列式 |A| ≠0 → 方程组有唯一零解
非齐次线性方程组有 非零解 → 系数行列式 |A|=0
反证法 用A逆找矛盾
矩阵
矩阵概念
常见类型
相等矩阵
阶与对应元素完全相同
同型矩阵
行数与列数分别 相等
零矩阵
元素全为0
方阵
行列阶相等
单位阵
主对角线为1，其余为0
数量阵
数k × 单位矩阵E
上/下三角阵
aij=0
对称阵
满足A^T=A 即 aij=aji
对角阵
非对角元素都是0 恒有aij=0 对角阵相乘即为主对角线相乘
反对称阵
等价矩阵
A经过有限次初等变换到B
正交矩阵
满足AA^T=A^A=E
常规计算
加法
仅同型矩阵
数乘
每个元素都乘
幂乘
k个A相乘=A^k
转置
乘法
分块矩阵
初等矩阵
转置or逆后仍是初等矩阵
经初等变换 秩不变
A等价B ←→ 存在可逆矩阵P与Q 使PAQ=B
初等n阶
矩阵运算
求A^n
A为方阵且r(A)=1
tr(A)=迹之积
借助低阶矩阵
其余阶级同理
拆分A为B+C
形如对角线及其一侧全为0的n阶矩阵 其第n次平方=0
初等矩阵相乘
对角矩阵是A的特征值 相似P矩阵是A的特征向量借助另外的B矩阵求A矩阵
求 A*
A为n≥2的可逆矩阵 公式推导法
2阶矩阵 主对角线元素对换 副对角线元素变号
求A逆
公式推导法
二阶矩阵 主对角线对换 副变号 除以行|A| → 可逆矩阵
方阵 可逆矩阵唯一 若AB=E 则 BA=E
基本四大方法
A可表示为若干个初等矩阵的乘积
求A正交
求矩阵方程
矩阵的秩
向量组
向量组计算
內积
向量长度
||α||=α^Tα的根号
线性组合
k1a1+···+knan 称为a1···an的线性组合
线性相关
向量组β=k1a1+···+knan=0 (k不全为0)
向量组β=k1a1+···+knan=0 (k全为0)
线性表出/线性表示
向量组β=k1a1+···+knan
证明线性相关
充分条件
向量组 相关 → 缩短组 向量组 相关
部分向量组 相关 → 全部向量组 相关
多数向量可由少数向量 线性表出 → 多数向量 线性相关
高维度 相关 → 低维度 相关
充要条件
n个n维向量组相关 ←→ |向量组|=0
一个向量 可由其余的向量线性表出 ←→ 向量组 相关
证明线性无关
一个向量 不可由其余的向量线性表出 ←→ 向量组 无关
全部向量组 无关 → 部分向量组 无关
系数全为0 也可能有一组系数使得β≠0 → 线性无关
低维度无关 → 延伸组 高维度 无关
基础性质
n维空间中 线性无关的向量组最多只有n个向量
r(A)=A的列秩=A的行秩=r 【A有r个线性无关行/列向量】
思路方法
证明线性表示(出)
单个向量β
向量组abc 无关，向量组abcd 相关 → d可由abc 线性表出且唯一
s个向量组 无关，前者可由t个向量组 线性表出 → s≤t
a1···an可由b1···bn线性表出 则 r(a组)≤r(b组)
等价关系
向量组α和β互为线性表出且r(α)=r(β)
判断向量关系
具体向量关系
β与α向量组
α向量组
求极大无关组【不唯一】
抽象向量关系
求向量空间
线性方程组
证明齐次方程组Ax=0
证明非齐次方程组Ax=b
证明基础解系
求公共解方程组
求同解方程组
运用解向量及其性质
系数矩阵A的行向量与Ax=0的解向量正交 两向量互为转置
特征值 & 特征向量
运用特征值
运用特征向量
运用矩阵方程
相似理论
A ~ B
一般相似基础
A ~ ∧ 对角化
相似对角化求可逆矩阵P【相似标准形】
特殊矩阵相似理论
实对角矩阵
实对称矩阵 A ~ B 则λa=λb
二次型
标准形 & 规范形
基础运用
线性变换性质
化标准形
配方法
正交变换法
实对称矩阵的合同
等价 VS 相似 VS 合同
判断正定二次型
正定二次型概念
证明正定性
综合细节
矩阵A=0 不等同 |A|=0
矩阵等价不等同向量组等价
A²=A 矩阵A不唯一
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