考研高数所有专题解题方法思维导图模板

初等数学知识储备

等比等差

x^3的因式分解

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

泰勒展开式(x->0)

求导公式

积分公式

十大中值定理

注意泰勒公式(定理)

麦氏

佩氏余项

拉式余项

零点定理是特殊的介质定理

反三角函数

反三角函数公式

反三角函数图

三角函数

特殊值

角公式

倍角公式

诱导公式

和差公式

sin(a+-b)

cos(a+-b)

tan(a+-b)

基本关系式

1+cot^2x=csc^2x

1+tan^2x=sec^2x

二项式定理

(a+b)^n

因式分解

a^n-b^n

基本不等式

max{a,b}>=(a+b)/2>=

定积分定义

两种标准形式

i=1到n

i=0到n-1

若由∑𝑛+1𝑖=2——>∑n i=1，加i=1项和减i=n+1的项

放缩->夹逼

常见i^2<i^2+1<(i+1)^2

1^2+2^2+..+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

柯西不等式

积分

积分的平方大于等于平方的积分

切线法线斜率乘积=-1

绝对值中所以添减负号

定积分定义+放缩

改变求和上下线凑出i/n

从i=0到n-1变i=1到n，则原式i变为i-1

从i=1到n变i=1到n，则原式i变为i+1

不改变求和上下线，直接凑出i/n

对应的加一项改变前原式有的 减一项改变前原式无的

洛必达

三个条件

0/0或∞/∞

可导

结果为0，c，∞

复合分段函数

从内到外一步一步确定分段函数 对应的自变量区间由x->f(x)-f(f(x))...

求n项之积或和的极限方法

先计算积或和，再计算极限

夹逼

定积分

见limf(x)/x=0(x->0)

f(0)=0

f'(0)=0

定积分求极限

夹逼

不一定要用常见的不等式来夹逼

夹不出来可以先分部积分再夹逼

目的放缩成好积分的式子

见到ln(e^n+f(x))

如果f(x)小于e^n直接在ln里提出e^n

如果大于则提出f(x)

利用已知不等式进行放缩夹逼

闭关修炼P12

o(x^n)

x^a·o(x^b)=o(x^a+b)

反函数

x=f^-1(y)与y=f(x)互为反函数

令x=g(y)=f^-1(y)

f[g(x)]=g[f(x)]=x

f(3)=5,g(5)=3

f'(x)·g'(y)=1

令sinx=x，则x=arcsinx

反三角函数

反函数存在要求函数是一一映射的关系，故取sinx的反函数只能取其单调递增的-π/2到π/2区间

f'(x)=f(x)

fx=Ce^x

忆

基础知识点（上）

多元微分定义

二元函数在(x0,y0)处连续

二元函数在(x0,y0)偏导存在

一阶偏导连续

一阶偏导存在

可微

一元函数

应用

拐点

求二阶导=0并说明 该点左右两侧异号

几何公式

形心

面积体积

微分方程

一阶线性型

一阶线性型公式

一阶线性非齐次方程

通解=特解+齐次通解

齐次型

dy/dx=u+xdu/dx

二阶

二阶可降阶

二阶常系数

xxx=f(x)

一个特解

xxx=f1(x)+f2(x)

两个特解

y1,y2为齐次方程2个解(y1/y2≠C)

y1,y2为两个线性无关的解

通解为C1y1+C2y2

通解（有特征方程求出λ确定）

高阶

解的性质

y1-y3,y2-y3为齐次的两个无关的解

通解=...

非齐次通解=齐次通解+通解

几何应用公式

弧长

直角坐标

参数方程

极坐标

侧面积

特解

可转化为f1(x)+f2(x)

超越模拟一(3)

极限计算

单独项目>A/B>A-B型

某点处导数存在

左右导数存在且相等

导数定义

参数方程求二重积分

秒点画图

点火公式

极值点拐点

极值点

导函数左右两边异号的点

拐点

左右两侧二阶导异号

左右两侧一阶导单调性相反 （一侧递增，一侧递减）

关于积分变量取绝对值区间的讨论

2016.16

多元函数极值

无条件极值

隐函数

z=(x,y)

显函数

z=x+y

条件极值

显函数

隐函数存在定理

极限保号性

判断极值

多元函数

中值定理

泰勒公式

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-xo)...

已知f(0)=0

二重积分中值定理

偏导数是否存在

根据一元函数导数存在一样判断 即在某处左右极限相等

Fx为fx的原函数题

第一步可表示Fx

第二部

分部积分

或换序求

已知f‘求积分f

若f'的积分不好求 考虑用分部积分

或将fx用积分上限表示出来

几何应用

如何设方程

曲线

y=f(x)

直线

Y-f(x)=f'(x)(X-x)

微分方程应用

定位

一阶微分方程

齐次型

变量分离型

有理函数积分

极限运算+积分

累次积分

换序

二重积分

二重积分的中值定理

通过极坐标系，直角坐标系 拆成累次积分把其中一个积分算出来 ->变限积分

被积函数为抽象类型

结合换序+积分中值定理

注意如果骨肉相连则不能用变上限对其求导

犯错点

求极限e的多少次 最后把e忘掉

同样e变ln的时候最后忘记了e

变积分自变量的时候，上下限一定跟着变

根号下-x求导

注意最后要乘一个-1

轮换对称性区间D一定关于y=x对称

根号3次=1/3次方

变现积分求导

注意上限也求导

上下限随着微分变化而变化

令微分等于t即dt，上下限变化

若不令，则不变

求出定积分没加C

运动速率=根号下Vx方+Vy方

二阶可降解后

看是否变成y'+py=q 则直接用公式法求出y

证明题

从结论出发

出现二阶导或三阶考虑泰勒公式中值定理

移到一边=0(罗尔定理-找到函数值相等的两个点) 相同类型移到一边(证明2等式相等)-拉格朗日 或罗尔定义与拉格朗日结合的题-构造多个辅助函数（套娃）

构造辅助函数

出现积分形式

积分中值定理

和差化积

已知a,b关系求sina,sinb

选填技巧

特值法

limf(x)=1

直接取fx=1

把已知条件具体化特殊化

图形法

排除法

将fx变为具体函数算出 结果与选项比较

对参数a，b取特质

子主题

查漏补缺

已知一阶导数正负 判断极大值/极小值

判断该点两侧的一阶导数正负

找等价无穷小(x->0)

x^a+x^b=x^b(若a>b>0)

比较积分大小

相减

若区间不同则换元->区间相同

分式相加

化简可以考虑通分(合二为一)

解的性质

二阶为例

齐通

非齐通

齐通+特解

不等式放缩

xy<=x^2+y^2/2

二重积分

若先积函数中无后积变量则可先算出一个容易求的积分

大题必有一个微分方程的应用

两边求导

求f(x)

无穷小比阶

直接相除

f'1=f'x f'2=f'y

复合函数周期性

为内层函数周期性

只有二阶偏导才有f'x和f'y

判敛

无暇点

算无穷极限

有瑕点

算瑕点极限

三角函数周期性

积分题

反三角函数

注意区间取值

arcsin(sinx)=x

极限

求极限(证明存在+计算）

函数极限

具体型

首选洛必达

夹逼准则

抽象型

单调有界

求导

左极限等于右极限

切线与x轴交点

5个考点

常数

唯一性

局部有界性

默写

局部保号性

默写(P16 27，28)

存在δ>0，当0<|x-|<δ时，根据分母来决定正负情况

脱帽法

limα(x->0)=0

表示出xf(x)即可，不需要单独表示f(x)

在所求式子中上下乘x则可用到x(fx)

压轴

证明极限存在

单调有界

有界

遇到连续不等式想到拉格朗日中值定理

单调

f'(x)与fx关系

牛顿莱布尼茨公式

计算

∞-∞型

化为分数形式

拉式

arctan(x+1)-arctan(x)

复合泰勒

遵循3个原则： 1、根据分子次数展开同理根据分母次数展开分子 2、先展开外函数然后展开内函数 3、所有能用泰勒展开的项根据分子/分母确定展开到第几项

数列极限

单调有界

证明单调(后)

作差

(转化成函数),令fx=an+1-an

作商

见n次方或n的阶乘

子主题

中值定理

拉式关于fx和f'x关系式’

1=e^0

证明有界(先)

数归

1、(常规)n=1，设n=k，证n=k+1

2、n=1,n=2成立，设n<k,证n=k

夹逼准则

令liman=A，求出A即可

归结原则

极限数列转换为求极限函数

直接计算

等比等差

常见形式

an+2-an+1=A(an+1-an)

定义法（先斩后奏）

放缩法

拉格朗日

夹逼准则

无穷项

nmin<-<nmax

有限项

1max<-<nmax

定积分定义

连续

间断点

第一类间断点

跳跃间断点

f(x0+0)≠f(x0-0)

可去间断点

f(x0+0)＝f(x0-0)≠f(x0)

第二类间断点

无穷间断点

震荡间断点

判断函数间断点

若fx表达式为极限且存在n(->∞)

根据极限情况来讨论x范围并写出分段

找无定义点

讨论连续性

当x...，fx连续

当x....，x=..为fx的...间断点

函数在某处连续->极限存在

极限不存在->一定不连续

证明连续

区间连续

某处连续

lim左=lim右=该点处函数值

无穷小比较

导数+微分

导数定义

可导必连续，连续不一定可导

遵循一静一动原则（若拆开凑成一静一动，可能极限不存在）

已知f(0)=0，f'(0)=a

求f(x)转换为求f'(x)

构造f'(x)导数定义

微分定义

告诉f''(x),f'(x)以及△x的正负

微分中值定理(拉式)

可导、连续

根据题干用保号性得出相应阶数的导数正负

lim(x->a)f(x)/x=1，根据极限保号性，存在δ>0，当0<|x-a|<δ时,有f(x)/x>.

连续不一定可导（y=|x|在x=0处连续，但不可导因为左导数不等于右导数）

在x处不连续则一定不可导

判断可导性前判断是否连续

题目说明可导，则可用洛必达

证明

证明在[a,b]连续：任取x0，limx->x0

证明fx为常数：f‘x=0

fx有原函数Fx，则Fx一定可导->Fx必连续

多项式一定连续可导

积分可导条件

当f(x)连续,其积分上限函数可导; 若f(x)仅是可积,则只能保证积分上限函数连续,而不能说变上限积分函数一定可导

高阶导数

归纳法(不必用数归说明）

莱布尼茨

(uv)^(n)

求具体的n

也可求f^n(x0)

展为麦克劳林求和公式

抽象展开

具体展开

泰勒展开式

根据展开式式的唯一性，比较a，b系数

有理函数拆分

算出A，B后如果出现负值把负号提到外面不参与求导计算

各点的区分

拐点

二阶导数为0或二阶不可导点

二阶不可导，但两侧二阶导变号

二阶导数为0不一定是拐点，得2边异号 二阶导数为0且三阶导数不为0一定是拐点

答案P172 42，标准方法证明三阶导不为0一定为拐点

极值点

驻点和不可导点都可以是极值点

y=|x|

与最值区别是局限的和全局

驻点

一阶导为0的点

驻点不一定是极值点

y=x^3

求导

分段函数

在分段点处不能直接求导要判断是否可导（注意不连续一定不可导）

在区间上可以直接对函数求导

若已知在x=0处的函数值，则不能直接对g(x)其求导 对g(x)在x=0处求导则是求g'(0)【用定义】

多项相乘

用定义，观察所求点的函数值

应用

渐近线

水平

讨论正无穷和负无穷

铅直渐近线

斜渐近线

曲率和曲率半径

用抛物线近似代替lnx

在lnx曲率最大点处 函数值斜率曲率相同

法线

切线

公切线

积分

计算

不定积分

答案多种(C可取不同值)

算出常数+C可以并列为C（两个C不同而已)

定积分

对称性

找中间

令x-a=t

奇偶性+对称性计算

重要公式

变上限积分

变上限积分函数性质

反常积分

计算

首先按正常积分化简 改泰勒的泰勒该凑微分的凑微分

判敛

若能直接计算出结果则默认为收敛

用同敛散来证明

转化为1/x^p

分段

找瑕点

只考虑瑕点的极限

瑕点

不连续，无定义点

奇点

﹢∞、-∞和瑕点

变限积分的定积分计算(1.3.68)

分部积分法

二重积分换序

积分等式与不等式

证明相等

零点定理

移到一边，令gx=

证明不等式

应用

公式

点到直线距离

旋转体体积

绕x轴

绕y轴

面积

曲面面积（侧面积）

弧线弧长

中值定理

f和f'关系

拉氏

f-f

f-0、f-A

ln(A/B)=f-f

arctan(x+1)-arctanx、f(x)-f(x-1)

牛莱

多元微分

应用

多元极值，最值

有条件

无条件

偏微分方程

判断可微

充分必要

例子中：(x0,y0)为(0,0)且△x,△y为x,y

偏导连续

二元函数连续

二元函数f(x,y)在点(x0,y0)连续

偏导数存在

定义

是否对x/y偏导

偏导不一定连续

一阶偏导数连续->可微->偏导数存在(可偏导)

偏导数存在可用定义算出来则默认存在

讨论

连续性

可偏导性

极限存在性

可微性

全微分

dz=(az/ax)dx+(az/ay)dy

全增量

计算

若f(1,1)=2是f(u,v)的极值

则有f'1(1,1)=f'2(1.1)=0

z对x求偏导，则把y看作常数(此时y不是关于x的函数）

二重积分

性质

普通对称性

轮换对称性

D不变

作用：轮换后相加好求

计算

直角坐标系

dxdy

极坐标系

rdθdr

换序

直角坐标系

极坐标系

二重积分求导

二重积分中值定理

微分方程

解

一阶

分离变量

y'=f(ax+by+c)

令ax+by+c=u

齐次型

y'=f(y/x)或f(x/y)

令y/x=u或x/y=u

一阶线性型

公式法

二阶可降阶

降阶

缺x

缺y

高阶

二阶常系数（1.6.10）

y''+py'+qy=f(x)

y''+py'+qy=f1(x)+f2(x)

1、列特征方程求解λ 2、写出对应的齐次方程通解y(一ba)=C1e^λ1+C2e^λ2 3、求非齐次微分方程的特解->原方程分解2个方程 4、设特解Y1、Y2，分别求Y1、Y2的一阶二阶导代入分解的方程 5、特解为Y=Y1+Y2 6、通解为y=y(一ba)+Y

二阶齐次微分方程特解设法

y''+py'+qy=0

通解即为齐次通解

三阶及以上

λ为单实根

λ为k重实根

λ为单复根

应用

极限或导数建立方程

几何应用

切线斜率

对y求导，代入切点坐标求得

公切线

截距(坐标)

面积

体积

变化率建方程

冷却

牛顿

一阶微分方程