考研高数所有专题解题方法
2021-03-25 21:40:10 0 举报AI智能生成
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考研高数全面知识点规划+复习，各类题型一题多解方法，章节专题难点攻克经典解题步骤方法全解
作者其他创作
大纲/内容
初等数学知识储备
等比等差
x^3的因式分解
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
泰勒展开式(x->0)
求导公式
积分公式
十大中值定理
注意泰勒公式(定理)
麦氏
佩氏余项
拉式余项
零点定理是特殊的介质定理
反三角函数
反三角函数公式
反三角函数图
三角函数
特殊值
角公式
倍角公式
诱导公式
和差公式
sin(a+-b)
cos(a+-b)
tan(a+-b)
基本关系式
1+cot^2x=csc^2x
1+tan^2x=sec^2x
二项式定理
(a+b)^n
因式分解
a^n-b^n
基本不等式
定积分定义
两种标准形式
i=1到n
i=0到n-1
若由∑𝑛+1𝑖=2——>∑n i=1，加i=1项和减i=n+1的项
放缩->夹逼
常见i^2<i^2+1<(i+1)^2
相互转换的时候注意原式作对应改变
1^2+2^2+..+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
柯西不等式
积分
积分的平方大于等于平方的积分
切线法线斜率乘积=-1
绝对值中所以添减负号
定积分定义+放缩
改变求和上下线凑出i/n
从i=0到n-1变i=1到n，则原式i变为i-1
从i=1到n变i=1到n，则原式i变为i+1
不改变求和上下线，直接凑出i/n
对应的加一项改变前原式有的减一项改变前原式无的
洛必达
三个条件
0/0或∞/∞
可导
结果为0，c，∞
复合分段函数
从内到外一步一步确定分段函数对应的自变量区间由x->f(x)-f(f(x))...
求n项之积或和的极限方法
先计算积或和，再计算极限
夹逼
定积分
见limf(x)/x=0(x->0)
f(0)=0
f'(0)=0
定积分求极限
不一定要用常见的不等式来夹逼
夹不出来可以先分部积分再夹逼
目的放缩成好积分的式子
见到ln(e^n+f(x))
如果f(x)小于e^n直接在ln里提出e^n
如果大于则提出f(x)
利用已知不等式进行放缩夹逼
闭关修炼P12
o(x^n)
x^a·o(x^b)=o(x^a+b)
反函数
x=f^-1(y)与y=f(x)互为反函数
令x=g(y)=f^-1(y)
f[g(x)]=g[f(x)]=x
f'(x)·g'(y)=1
令sinx=x，则x=arcsinx
反函数存在要求函数是一一映射的关系，故取sinx的反函数只能取其单调递增的-π/2到π/2区间
f'(x)=f(x)
fx=Ce^x
根据题目具体形式来选择方法，无非二选一
忆
B站
基础知识点（上）
多元微分定义
一阶偏导连续
一阶偏导存在
可微
一元函数
应用
拐点
求二阶导=0并说明该点左右两侧异号
几何公式
形心
面积体积
微分方程
一阶线性型
一阶线性型公式
一阶线性非齐次方程
通解=特解+齐次通解
齐次型
dy/dx=u+xdu/dx
二阶
解的结构
二阶可降阶
二阶常系数
xxx=f(x)
一个特解
xxx=f1(x)+f2(x)
两个特解
通解为C1y1+C2y2
通解（有特征方程求出λ确定）
高阶
解的性质
通解=...
非齐次通解=齐次通解+通解
几何应用公式
弧长
直角坐标
参数方程
极坐标
侧面积
特解
可转化为f1(x)+f2(x)
超越模拟一(3)
极限计算
单独项目>A/B>A-B型
某点处导数存在
左右导数存在且相等
导数定义
参数方程求二重积分
秒点画图
点火公式
极值点拐点
极值点
导函数左右两边异号的点
左右两侧二阶导异号
左右两侧一阶导单调性相反（一侧递增，一侧递减）
关于积分变量取绝对值区间的讨论
2016.16
多元函数极值
求出一阶偏导为0的点根据ABC判别式(求二阶偏导)确定极值
无条件极值
隐函数
显函数
z=x+y
条件极值
隐函数存在定理
极限保号性
判断极值
多元函数
中值定理
泰勒公式
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-xo)...
已知f(0)=0
二重积分中值定理
偏导数是否存在
根据一元函数导数存在一样判断即在某处左右极限相等
Fx为fx的原函数题
第一步可表示Fx
第二部
分部积分
或换序求
已知f‘求积分f
若f'的积分不好求考虑用分部积分
或将fx用积分上限表示出来
几何应用
直线为过曲线上任一点的切线
如何设方程
曲线
y=f(x)
直线
Y-f(x)=f'(x)(X-x)
微分方程应用
定位
一阶微分方程
变量分离型
有理函数积分
极限运算+积分
去积分号
累次积分
换序
二重积分
二重积分的中值定理
通过极坐标系，直角坐标系拆成累次积分把其中一个积分算出来->变限积分
被积函数为抽象类型
结合换序+积分中值定理
注意如果骨肉相连则不能用变上限对其求导
犯错点
求极限e的多少次最后把e忘掉
同样e变ln的时候最后忘记了e
变积分自变量的时候，上下限一定跟着变
根号下-x求导
注意最后要乘一个-1
轮换对称性区间D一定关于y=x对称
根号3次=1/3次方
变现积分求导
注意上限也求导
上下限随着微分变化而变化
令微分等于t即dt，上下限变化
若不令，则不变
求出定积分没加C
运动速率=根号下Vx方+Vy方
二阶可降解后
看是否变成y'+py=q则直接用公式法求出y
证明题
从结论出发
出现二阶导或三阶考虑泰勒公式中值定理
移到一边=0(罗尔定理-找到函数值相等的两个点)相同类型移到一边(证明2等式相等)-拉格朗日或罗尔定义与拉格朗日结合的题-构造多个辅助函数（套娃）
构造辅助函数
出现积分形式
积分中值定理
和差化积
选填技巧
特值法
limf(x)=1
直接取fx=1
把已知条件具体化特殊化
图形法
排除法
将fx变为具体函数算出结果与选项比较
对参数a，b取特质
子主题
查漏补缺
都和1/x^p比较
已知一阶导数正负判断极大值/极小值
判断该点两侧的一阶导数正负
找等价无穷小(x->0)
x^a+x^b=x^b(若a>b>0)
比较积分大小
相减
若区间不同则换元->区间相同
分式相加
化简可以考虑通分(合二为一)
二阶为例
齐通
非齐通
齐通+特解
不等式放缩
xy<=x^2+y^2/2
若先积\b函数中无后积变量则可先\b算出一个容易求的积分
大题必有一个微分方程的应用
两边求导
求f(x)
无穷小比阶
直接相除
f'1=f'xf'2=f'y
复合函数周期性
为内层函数周期性
只有二阶偏导才有f'x和f'y
判敛
无暇点
算无穷极限
有瑕点
算瑕点极限
三角函数周期性
积分题
注意区间取值
arcsin(sinx)=x
高数
极限
求极限(证明存在+计算）
函数极限
具体型
首选洛必达
夹逼准则
抽象型
单调有界
求导
左极限等于右极限
切线与x轴交点
用切线方程表示交点ξn
5个考点
常数
唯一性
局部有界性
默写
局部保号性
默写(P16 27，28)
存在δ>0，当0<|x-|<δ时，根据分母来决定正负情况
脱帽法
limα(x->0)=0
表示出xf(x)即可，不需要单独表示f(x)
在所求式子中上下乘x则可用到x(fx)
压轴
证明极限存在
有界
遇到连续不等式想到拉格朗日中值定理
单调
f'(x)与fx关系
牛顿莱布尼茨公式
计算
∞-∞型
化为分数形式
拉式
arctan(x+1)-arctan(x)
复合泰勒
遵循3个原则：1、根据分子次数展开同理根据分母次数展开分子2、先展开外函数然后展开内函数3、所有能用泰勒展开的项根据分子/分母确定展开到第几项
数列极限
构造|Xn+1-A|<k|Xn-A|
证明单调(后)
作差
作商
见n次方或n的阶乘
拉式关于fx和f'x关系式’
1=e^0
证明有界(先)
数归
1、(常规)n=1，设n=k，证n=k+1
令liman=A，求出A即可
3种方法
数归法
1、x2>x1>02、设xk>xk-1>03、证xk+1>xk>04、故...
不等式
根据提示
若不好求，可以带入特殊值
归结原则
极限数列转换为求极限函数
直接计算
常见形式
an+2-an+1=A(an+1-an)
设bn=an+1-an
定义法（先斩后奏）
放缩法
拉格朗日
无穷项
nmin<-<nmax
有限项
1max<-<nmax
连续
间断点
回答只需指出第二类间断点即可
第一类间断点
跳跃间断点
f(x0+0)≠f(x0-0)
可去间断点
f(x0+0)＝f(x0-0)≠f(x0)
第二类间断点
无穷间断点
震荡间断点
判断函数间断点
若fx表达式为极限且存在n(->∞)
根据极限情况来讨论x范围并写出分段
找无定义点
讨论连续性
当x...，fx连续
当x....，x=..为fx的...间断点
函数在某处连续->极限存在
极限不存在->一定不连续
证明连续
区间连续
某处连续
lim左=lim右=该点处函数值
无穷小比较
导数+微分
可导必连续，连续不一定可导
遵循一静一动原则（若拆开凑成一静一动，可能极限不存在）
已知f(0)=0，f'(0)=a
求f(x)转换为求f'(x)
构造f'(x)导数定义
微分定义
微分中值定理(拉式)
可导、连续
根据题干用保号性得出相应阶数的导数正负
连续不一定可导（y=|x|在x=0处连续，但不可导因为左导数不等于右导数）
在x处不连续则一定不可导
判断可导性前判断是否连续
题目说明可导，则可用洛必达
证明
证明fx为常数：f‘x=0
fx有原函数Fx，则Fx一定可导->Fx必连续
多项式一定连续可导
积分可导条件
高阶导数
归纳法(不必用数归说明）
莱布尼茨
(uv)^(n)
求具体的n
也可求f^n(x0)
展为麦克劳林求和公式
抽象展开
具体展开
泰勒展开式
根据展开式式的唯一性，比较a，b系数
有理函数拆分
算出A，B后如果出现负值把负号提到外面不参与求导计算
各点的区分
二阶导数为0或二阶不可导点
二阶不可导，但两侧二阶导变号
二阶导数为0不一定是拐点，得2边异号二阶导数为0且三阶导数不为0一定是拐点
答案P172 42，标准方法证明三阶导不为0一定为拐点
驻点和不可导点都可以是极值点
y=|x|
与最值区别是局限的和全局
驻点
一阶导为0的点
驻点不一定是极值点
y=x^3
分段函数
在分段点处不能直接求导要判断是否可导（注意不连续一定不可导）
在区间上可以直接对函数求导
若已知在x=0处的函数值，则不能直接对g(x)其求导对g(x)在x=0处求导则是求g'(0)【用定义】
多项相乘
用定义，观察所求点的函数值
渐近线
水平
讨论正无穷和负无穷
铅直渐近线
斜渐近线
曲率和曲率半径
用抛物线近似代替lnx
在lnx曲率最大点处函数值斜率曲率相同
法线
切线
公切线
不定积分
答案多种(C可取不同值)
算出常数+C可以并列为C（两个C不同而已)
对称性
找中间
令x-a=t
奇偶性+对称性计算
重要公式
变上限积分
变上限积分函数性质
反常积分
首先按正常积分化简改泰勒的泰勒该凑微分的凑微分
若能直接计算出结果则默认为收敛
用同敛散来证明
转化为1/x^p
分段
找瑕点
只考虑瑕点的极限
瑕点
不连续，无定义点
奇点
﹢∞、-∞和瑕点
变限积分的定积分计算(1.3.68)
分部积分法
二重积分换序
积分等式与不等式
证明相等
零点定理
移到一边，令gx=
证明不等式
公式
点到直线距离
旋转体体积
绕x轴
绕y轴
面积
曲面面积（侧面积）
弧线弧长
f和f'关系
拉氏
f-f
f-0、f-A
ln(A/B)=f-f
arctan(x+1)-arctanx、f(x)-f(x-1)
牛莱
多元微分
多元极值，最值
有条件
无条件
偏微分方程
判断可微
充分必要
偏导连续
二元函数连续
偏导数存在
定义
是否对x/y偏导
偏导不一定连续
一阶偏导数连续->可微->偏导数存在(可偏导)
偏导数存在可用定义算出来则默认存在
讨论
连续性
可偏导性
极限存在性
可微性
全微分
dz=(az/ax)dx+(az/ay)dy
全增量
z对x求偏导，则把y看作常数(此时y不是关于x的函数）
性质
普通对称性
轮换对称性
D不变
作用：轮换后相加好求
直角坐标系
dxdy
极坐标系
rdθdr
二重积分求导
后积先定限(定限指的是变量范围不是画等线的范围)限内画条线(线是找一个固定的后积变量沿先积变量方向划线)
换元/互换x、y地位
解
一阶
分离变量
y'=f(ax+by+c)
令ax+by+c=u
y'=f(y/x)或f(x/y)
令y/x=u或x/y=u
公式法
变成一阶对应形式
降阶
缺x
缺y
二阶常系数 （1.6.10）
y''+py'+qy=f(x)
y''+py'+qy=f1(x)+f2(x)
1、列特征方程求解λ2、写出对应的齐次方程通解y(一ba)=C1e^λ1+C2e^λ23、求非齐次微分方程的特解->原方程分解2个方程4、设特解Y1、Y2，分别求Y1、Y2的一阶二阶导代入分解的方程5、特解为Y=Y1+Y26、通解为y=y(一ba)+Y
二阶齐次微分方程特解设法
y''+py'+qy=0
通解即为齐次通解
三阶及以上
λ为单实根
λ为k重实根
λ为单复根
极限或导数建立方程
切线斜率
对y求导，代入切点坐标求得
截距(坐标)
体积
变化率建方程
冷却
牛顿
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