激光原理（下）
2021-06-22 10:31:13 0 举报AI智能生成
激光原理与应用课程的思维导图
作者其他创作
大纲/内容
第四章：激光与增益介质的相互作用
非加宽体系的光学增益
定义光学（指数）增益，并从从速率方程中给出其表达式<br>
<font color="#ff0000">腔内光强or光子数密度的速率方程不需要考虑能级系统，可以很容易的用反转粒子数<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\Delta N" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>和总损耗<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\alpha_{total}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>表达出来；而反转粒子数则不行，它需要严格考虑能级体系和各物理参数，</font><br>所以暂时只考虑较简单的稳态情况。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="G \equiv \sigma \Delta N,其中\sigma 一定是面积的量纲，所以\sigma =\frac{B_{21}h\nu}{c}g(\nu,\nu_0)"><span></span><span></span></span>
推导稳态时反转粒子数与光强的关系
这里先论证了一个事情，激光光强增加的过程中，反转粒子数消耗的速率增加，<br>所以不可能无限增大。
有两种情况可以达到稳态，1、增益等于损耗，光强为一个非零稳定值；<br>2、增益小于损耗，光强始终为零。
我们是通过建立约化的四能级体系（直接泵浦到1、2能级），解稳态的粒子数速率方程，<br>进行有效系统近似，再通过定义有效泵浦速率给出了简洁的公式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta N=\frac{\Delta N^0}{1+I/I_s}\\\Delta N^0=\tau_{sp}R\\I_s\equiv\frac{c}{B\tau_{sp}}是一个和增益介质无关的量\\G=\frac{G^0}{1+I/I_s}\\G^0=\sigma \Delta N^0"><span></span><span></span></span>
得到稳态时的光学增益与光强的关系
需要再一次指出的是，右上方第一个公式中<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="I_s，I"><span></span><span></span></span>均后面带了一个单位频率间隔（s）的尾巴<br>，而截面恰恰相反，这是爱因斯坦AB系数中B与W必须通过黑体辐射谱密度ρ(ν)来建立联系所<br>决定的,为了自洽，我们不得不在单色的理想情况下引入δ函数<br>但我认为只要给出了合理的数值，可以不用管这些
线宽与加宽
通过线型函数描述线宽
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="定义为：g(\nu,\nu_0)=\frac{I(\nu,\nu_0)}{I}"><span></span><span></span></span>
考虑线宽后对爱因斯坦系数理论的修正<br>
1、对 AB系数应用的修正，<font color="#ff0000">整体而言要考虑光束与多个能级的作用<br>，即ρ与g要对dν积分</font>
系数A仍然照旧
系数B分两种情况
2、对AB系数之间的联系的修正，这是因为Ab系数之间的关系<br>其实也是AB系数的应用，只是在热平衡场景下的应用
结论是不造成影响
子主题
自然加宽<br>
定义均匀加宽与非均匀加宽：<br> 参与受激辐射的原子是否全同<br>
自然加宽的逻辑or物理本质
用经典的辐射阻尼模型导出自然加宽线型函数
关键一步：给出辐射阻尼系数γ与上能级寿命τs的关系
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\gamma=A_{21}=\frac{1}{\tau_{s}}"><span></span><span></span></span>
数学形式上的简化，定义特征参数半高全宽
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="g\left(v, v_{0}\right)=\frac{\Delta v_{h}}{2 \pi} \cdot \frac{1}{\left(v-v_{0}\right)^{2}+\left(\Delta v_{h} / 2\right)^{2}}\\g\left(v, v_{0}\right)=\frac{\frac{2}{\pi \Delta v_{h}}}{1+\frac{\left(v-v_{0}\right)^{2}}{\left(\Delta v_{h} / 2\right)^{2}}}\\ \Delta v_{h}=\frac{1}{2 \pi \tau_{s}}\\ g_{N}\left(v_{0}, v_{0}\right)=4 \tau_{s}=\frac{2}{\pi\Delta \nu_h}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
多普勒加宽
多普勒效应导致外界看起来<b><font color="#ff0000">增益原子的中心频率发生了变化</font></b>，<br>但变化的类型属于接收端具有一定的速度
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\nu'=\sqrt{\frac{c+v_z}{c-v_z}}\nu"><span></span><span></span></span>
麦氏分布律与自然加宽叠加，<br>将自然加宽的洛伦兹函数近似为δ函数
做数学形式上的简化，同样定义特征参量
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="g_{D}\left(v, v_{0}\right)=\frac{2}{\Delta v_D} \sqrt{\frac{\ln 2}{\pi}} e^{ -\left(2\left(v-v_{0}\right) / \Delta v_D\right)^{2} \ln 2}\\\Delta v_D=2 v_{0} \sqrt{\frac{2 k T \ln 2}{M c^{2}}},M是原子的质量\\g\left(v_{0}, v_{0}\right)=2 \sqrt{\frac{\ln 2}{\pi}}\left(\frac{1}{\Delta v_D}\right)=0.939\left(\frac{1}{\Delta v_D}\right)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta v_{D}=7.16 \times 10^{-7} v_{0}\left(\frac{T}{M}\right)^{\frac{1}{2}}，其中T取K，M取相对原子质量"><span></span><span></span></span><br>
加宽体系的光学增益<br>更准确的理解是：<b><font color="#ff0000">加宽体系中的增益（指数）系数G在稳态时<br>与腔内光强的对应关系</font></b>
均匀加宽
最关键的是W的变化，在此之前的推导和不加宽体系完全相同
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="W_{21}(v)=B_{21} \rho_{\nu} g(v)这里必须要强调\rho_\nu是真正的能量密度\\这里是通过g(\nu,\nu_0)相较\rho(\nu)非常宽，将后者取为δ函数近似而来"><span></span><span></span></span>
之后就是将自然加宽的线型函数代入
做数学上的简化，定义特征参量
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta N=\frac{\Delta N^{0}}{1+\left[\phi c^{2} g(v) / 8 \pi h v_{0}^{3}\right] I(v)}=\Delta N^{0} \frac{\left(v-v_{0}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta v_{h}}{2}\right)^{2}}{\left(v-v_{0}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta v_{h}}{2}\right)^{2}\left(1+\frac{I(v)}{I_s}\right)}=\frac{\Delta N^0}{1+g(\nu)\frac{\pi\Delta \nu_h}{2}\frac{I(\nu)}{I_s(\nu)}}\\I_{s}=\frac{4 \pi^{2} h v^{3} \Delta v_{h}}{\varphi c^{2}}=\frac{h v}{\varphi \sigma\left(v_{0},v_{0}\right) \tau_{s p}}\\\sigma\left(v_{0}, v_{0}\right)=\frac{\lambda^{2}}{8 \pi \tau_{s p}} g\left(v_{0}, v_{0}\right)\\ "><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}\mathrm{G}(v) &=\sigma(\nu)\Delta N =& \frac{\mathrm{G}^{0}(v)}{1+\frac{\pi \Delta v}{2} \mathrm{~g}(v_1)\left(\frac{\mathrm{I}(v_1)}{\mathrm{I}_{\mathrm{s}}(\nu_1)}\right)}\end{aligned} \\G^{0}(v)=\sigma g(\nu,\nu_0)\Delta N^0=\frac{\lambda^{2}}{8 \pi} A_{21} g\left(v, v_{0}\right)\Delta N^{0} \\其中\nu是频率变量，而\nu_1是已经存在的激光光强的频率"><span></span><span></span></span>
这个式子有三种理解方式
1、将ν1视为常数，ν视为变量，体现的是所有频率的增益系数均匀下降
2、将ν与ν1视为同一变量，体现的是增益系数随光强增大而减小的现象（增益饱和），<br>更重要的是体现入射光频率偏离中心频率越远则增益系数下降（饱和）的效应越弱
（不确定）3、将ν视为常数，将ν1视为变量，体现的是当给定光强I_ν1的频率ν1发生改变时，<br>对中心频率或者任意其他频率ν的增益系数下降幅度的影响不同，以及给定光强I_ν1<br>对下降后曲线的半高宽的影响。
均匀加宽中“<b>均匀</b>”的含义：随着受激辐射光强I(ν)的增加<br>，增益曲线在所有频率都下降。例如，<b><font color="#ff0000">Iν1的激光光强的存在<br>会使得Iν2处增益系数降低（仅管ν2处可能激光强度非常弱）<br>该现象称为“交叉饱和”</font></b>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathrm{G}(v_2)=\frac{\mathrm{G}^{0}(v_2)}{1+\frac{\pi \Delta v \mathrm{~g}\left(v_{1}\right)}{2}\left(\frac{\mathrm{I}\left(v_{1}\right)}{\mathrm{I}_{\mathrm{s}}}\right)}=\frac{\mathrm{N}^{0}\sigma(\nu_{2})}{1+\frac{\pi \Delta v \mathrm{~g}\left(v_{1}\right)}{2}\left(\frac{\mathrm{I}\left(v_{1}\right)}{\mathrm{I}_{\mathrm{s}}}\right)}"><span></span><span></span></span>
非均匀加宽
定义了总线型函数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathrm{g}(v) \mathrm{d} v=\left[\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{p}(\xi) \mathrm{g}^{\xi}(v) \mathrm{d} \xi\right] \mathrm{d} v"><span></span><span></span></span>
各子群拥有独立的增益物理参数，如W
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="W_{21}^{\xi}(v)=\frac{c^{2} g^{\xi}(v)}{8 \pi h v^{3} \tau_{s p}} I(v)"><span></span><span></span></span><br>
迂回战术：定义总功率并蛮不讲理的用总功率推出光强
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}\mathrm{G}(v) &=\frac{\mathrm{dI}(v) / \mathrm{d} \mathrm{z}}{\mathrm{I}(v)}=\frac{\mathrm{dP}(v) / \mathrm{dV}}{\mathrm{I}(v)} \\&=\frac{\Delta \mathrm{N}^{0} \mathrm{c}^{2}}{8 \pi \tau_{\mathrm{sp}} v^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{p}\left(v_{\xi}\right) \mathrm{d} v_{\xi}}{\left[1 / \mathrm{g}^{\xi}(v)\right]+\left[\varphi \mathrm{c}^{2} \mathrm{I}(v) / 8 \pi \mathrm{h} v^{3}\right]}\end{aligned}"><span></span><span></span></span><br>
在极不均匀的前提下（即子群引起的加宽远大于自然加宽），<br>给出增益饱和公式和烧孔线宽
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathrm{G}(v)=\frac{G^{0}(v)}{\sqrt{1+\frac{I(v)}{I_{s}}}}\\G^{0}(v)=\Delta N^{0}\sigma_{21} g_D\left(v, v_{0}\right)\\\Delta v_{H}^{2}=\Delta v_{h}^{2}\left(1+\frac{I(v)}{I_{s}}\right)"><span></span><span></span></span>
非均匀的含义：受激辐射光强I(ν1)的增加只会导致ν1附近<br>Δνh量级的增益曲线下降。<br><font color="#ff0000"><b>“烧孔”效应：I(ν)越大，G(ν)越低，ΔνH越宽，烧孔面积<br>将与光强正相关</b></font>
面对量纲问题
要么该爱因斯坦B系数的定义
要么假定单色激光光强为δ函数
要么装瞎直接篡改量纲
第五章：激光器的工作特性
稳态激光器
第一节：增益系数与输出激光功率及其最优化
泵浦速率对激光输出的影响
关键理解：泵浦速率增加尽管稳态时N依然等于Nth，但它<br>增加的结果是使腔内辐射场的能量增加，而不是增加激光介质<br>的储能。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathrm{P}_{\mathrm{s}}=\left(\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \mathrm{V}\right) \mathrm{h} v \frac{1}{\tau_{\mathrm{sp}}}\\\mathrm{P}_{\mathrm{e}}=\left(\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \mathrm{V}\right) W_{21}(v) \mathrm{h} v\\\mathrm{P}_e=\mathrm{P}_{\mathrm{s}}\left(\frac{R}{\mathrm{R}_{\mathrm{th}}}-1\right) \quad \mathrm{R}_{\mathrm{th}}=\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \tau_{\mathrm{sp}}^{-1}"><span></span><span></span></span><br>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="一些阈值公式\\R_{th}=\frac{N_{th}}{\tau_{sp}}\\N_{th}(\nu)=\frac{\alpha}{\sigma(\nu)}=\frac{\Delta \mathrm{N}^{0}}{1+\mathrm{P}_{\mathrm{e}} / \mathrm{P}_{\mathrm{s}}}\\\mathrm{N}_{\mathrm{th}}(\nu_0)=\frac{4 \pi v^{2} \tau_{\mathrm{sp}} \Delta v_{h}}{c^{3} \tau_{\mathrm{cav}}}"><span></span><span></span></span>
结论
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{\mathrm{P}_{0}}{\mathrm{P}_{\mathrm{e}}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}+\mathrm{L}_{\mathrm{r}}}\\\mathrm{L}_{\mathrm{r}}=2 \alpha_{\mathrm{i}} \mathrm{d}+\delta_{s 1}+\delta_{s 2}+\delta_{d 1}+\delta_{d 2} 指出了透射之外的其他损耗\\\mathrm{P}_{0}=\frac{1}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{s}} \mathrm{AT}\left(\frac{\mathrm{g}_{0}}{\mathrm{~L}_{\mathrm{r}}+\mathrm{T}}-1\right)\\\mathrm{T}_{\mathrm{opt}}=-\mathrm{L}_{\mathrm{r}}+\sqrt{\mathrm{g}_{0} \mathrm{~L}_{\mathrm{r}}}\\\left(\mathrm{P}_{0}\right)_{\max }=\frac{1}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{s}} \mathrm{A}\left(\sqrt{\mathrm{g}_{0}}-\sqrt{\mathrm{L}_{\mathrm{r}}}\right)^{2}"><span></span><span></span></span>
第二节：激光器模式与选模、选线
只要镜子有损耗，品质因子不是无穷大，里面的模式就有展宽。<br>因为有损耗的话，相干相消的力度就不是特别大，就会允许稍许<br>偏离相干相长的频率存在
选线
三棱镜选线
基本原理：不同波长的光经过三棱镜后会被色散，<br>我们调整三棱镜是的选定的波长的光路可以在两<br>面腔镜之间形成回路，其他的波长会因角度的原因<br>在镜面的损耗奇大。
闪耀光栅选线
原理：给定入射角度α后，第m级衍射角β_m由右1式给出<br>而我们想要①选的线原路返回，②选最大的一级衍射峰，所以要求<br>α=β（只能=θ，θ是闪耀光栅的光栅角度），m=1，如右2式给出
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathrm{m} \lambda=\mathrm{d}(\sin \alpha+\sin \beta_m)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lambda=2 \mathrm{dsin} \theta"><span></span><span></span></span>
选模
选模的原理
单模原理
①要求谐振腔的模式间隔FSR至少大于起振线宽
②要求起振线宽中心附近存在一个谐振模式
加F-P腔
标准具的光谱自由程应当与激光器的增益系数谱宽度（即上一节<br>的oscillation spectrum）相当<br>我觉得公式是有错的：标准具的角度相当于改变标准具的长度，<br>从而改变标准具中的模式间隔（FSR），应该cosθ放在分子位置
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="v_{\mathrm{m}}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{c}_{0}}{2 \mathrm{n}_{\mathrm{F}} \mathrm{d}_{\mathrm{F}} \cos \theta}"><span></span><span></span></span>
加一面半透半反镜和对应的反射镜构成<br>Fox-Smith干涉仪
通过调节新加镜子的位置可以调节纵模间距从而选模，<br>原理推导抓住两个谐振腔同时谐振，即频率相等，模<br>式数相差为整数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta v=\frac{c}{2\left(d_{1}+d_{2}\right)}"><span></span><span></span></span>
有另一种更符合物理直觉的推导方式，即要想在腔中形成谐振，<br>反射镜B上侧出射光应当相干相消。
加一面跟上述镜子方向相反的镜子，<br>构成MM干涉仪
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta v=\frac{c}{2\left(d_{2}-d_{1}\right)}"><span></span><span></span></span>
第三节：兰姆凹陷与频率牵引
引起频率变动的原因
兰姆凹陷
兰姆凹陷指的是气体激光器（本质上是非均匀加宽介质）的输出功率<br>并非在输出的激光频率等于中心频率时最高，相反，在中心频率附近<br>达到最高，画成一条曲线后，中间有一个凹陷
稳频操作的组成：检测+伺服
<font color="#ff0000">检测原理：给激光的频率加上一个对频率的调谐，这个调谐是一个振幅很小，频率为f的<br>谐波信号；之后检测输出激光的功率变化，假定输出的功率是一个2f的信号，则说明处于<br>增益曲线的极值点；若输出功率是一个f的信号，且反向，在兰姆凹陷极值点的左侧</font>
频率牵引
定义：有源谐振腔中的谐振频率会比原本更加接近增益介质的中心频率
频率牵引的实验事实：在介质吸收谱线中心频率附近一个小范围内，会出现<br>反常色散——折射率随波长增大而增大，这是由于原子与电磁场的共振作用<br>产生的
推导
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="n_{r}-1=\frac{\lambda_{0}}{2 \pi}\left\{\left(\frac{v_{0}-v}{\Delta v}\right)[-G(v)]\right\}\\v'_{m}=v_{\mathrm{m}}+\frac{\mathrm{c}}{2 \pi} \frac{v_{0}-v'_{m}}{\Delta v} \mathrm{G}(v'_m)\\其中\nu_m=m\frac{c}{2d}是空腔中的谐振频率，而\nu'_m是有源谐振腔中的谐振频率\\\sigma=\frac{v-v_{m}}{v_{0}-v}=\frac{\mathrm{c}}{2 \pi} \frac{\mathrm{G}(v)}{\Delta v}=\frac{\mathrm{c}}{2 \pi} \frac{\alpha}{\Delta v}=\frac{\Delta v_{c}}{\Delta v}"><span></span><span></span></span>
我的理解是，只有当G(ν)为负值（注意是本身为负值）是才有反常色散<br>而只有G(ν)为正值时才有频率牵引
第四节：极限展宽
由来：对于腔体而言，若总损耗为零，则寿命无限长，则展宽为0，<br>但实际上总会有一个不为零的展宽，是由于自发辐射引起的，称之<br>为极限展宽
推导：核心思想——极限寿命等于总功率除以自发辐射功率，<br>受激辐射功率比自发辐射功率等于相干光子比向非相干光子 等<br>于 平均一个模式中的光子数。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta v_{\mathrm{s}}=\frac{2 \pi \mathrm{h} v\left(\Delta v_{\mathrm{c}}\right)^{2}}{\mathrm{P}_{\mathrm{o}}}\\\tau_c\approx\frac{2d}{c}\frac{1}{1-R_1R_2}\\\bar{n}=\frac{W}{h v}\\\tau_{\mathrm{s}}=\mathrm{W} / P_{s}"><span></span><span></span></span>
暂态激光器
单模激光器
尖峰现象与驰豫振荡
尖峰现象的本质是光子数无法处于一个平台，而是在N=Nth两侧单调增和减，<br>为了简化，此时泵浦速率R可以视为常数
<font color="#ff0000">尖峰现象在激光器未达平衡之前无处不在，弛豫振荡以及调Q中，只要<br>N在R和q(光子数)的作用下有先大于Nth后小于Nth的现象，就会有尖峰<br>出现，尽管不一定是单峰——单峰还是多缝取决于光子数是否冲到了一个<br>相对很高的值，使得N能消耗的很厉害，以至于光子数在降到0之前N还未<br>再次提高到Nth，当然这取决于调Q的快慢以及调Q的幅度</font>
单模激光的瞬态特性可以用两个耦合的动力学方程来描述
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}&\frac{\mathrm{dN}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}=\mathrm{R}_{\mathrm{p}}-\mathrm{B} \phi(\mathrm{t}) \mathrm{N}(\mathrm{t})-\frac{\mathrm{N}(\mathrm{t})}{\tau} \\&\frac{\mathrm{d} \phi(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}=\left(\mathrm{BN}(\mathrm{t})-\frac{1}{\tau_{\mathrm{c}}}\right) \phi(\mathrm{t})\end{aligned}\\其中B=\mathrm{B}_{21} \mathrm{~h} v"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="对比推导增益曲线里的微分方程：\\\begin{aligned}&\frac{d N_{2}}{d t}=R_{2}-\frac{N_{2}}{\tau_{2}}-\left(N_{2}-N_{1}\right) W_{21} \\&\frac{d N_{1}}{d t}=R_{1}-\frac{N_{1}}{\tau_{1}}+\frac{N_{2}}{\tau_{s p o n t}}+\left(N_{2}-N_{1}\right) W_{21}\end{aligned}"><span></span><span></span></span>
弛豫振荡描述的是单模激光器进入稳态工作前光子数/光强<br>在稳态光子数/光强附近不断振荡的过程
稳态的光子数以及反转粒子数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi_{0}=\mathrm{R}_{\mathrm{p}} \tau_{\mathrm{c}}-\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \tau_{\mathrm{c}}}{\tau_{\mathrm{cn}}}\\\mathrm{N}_{0}=\mathrm{N}_{\mathrm{th}}\\N_{th}=\frac{1}{B\tau_c}"><span></span><span></span></span><br>
采用微扰法分析驰豫振荡过程
简化的微扰微分方程
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}&\frac{d N^{\prime}(t)}{d t}=-N^{\prime}(t) \frac{\mathrm{R}_{\mathrm{p}}}{N_{t h}}-\frac{\phi^{\prime}}{\tau_{c}} \\&\frac{d \phi^{\prime}}{d t}=\left(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{p}}}{N_{t h}}-\frac{1}{\tau_{\mathrm{sp}}}\right) N^{\prime}(t)\end{aligned}"><span></span><span></span></span>
去耦合，设综量，再化简
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="设\frac{1}{\mathrm{t}_{0}}=\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{p}}}{2 \mathrm{~N}_{\mathrm{th}}} \quad \omega=\sqrt{\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \tau_{c}}-\frac{1}{\tau_{\mathrm{sp}} \tau_{c}}}\\\begin{aligned}<br>&\frac{d^{2} N^{\prime}}{d t^{2}}+\frac{2}{\mathrm{t}_{0}} \frac{\mathrm{d} N^{\prime}}{\mathrm{dt}}+\omega^{2} N^{\prime}=0 \\<br>&\frac{d^{2} \phi^{\prime}}{d t^{2}}+\frac{2}{\mathrm{t}_{0}} \frac{d \phi^{\prime}}{d t}+\omega^{2} \phi^{\prime}=0<br>\end{aligned}"><span></span><span></span></span>
解方程，分情况讨论
弱阻尼（上能级寿命τsp较长）
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi^{\prime}=C \exp \left(-\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}_{0}}\right) \sin \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right)"><span></span><span></span></span><br>
过阻尼（上能级寿命较短）
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi^{\prime}=\phi^{\prime}(0)\left[\exp \left(-\frac{1}{\mathrm{t}_{0}}-\sqrt{\frac{1}{t_{0}^{2}}-\omega^{2}}\right) t+\exp \left(-\frac{1}{\mathrm{t}_{0}}+\sqrt{\frac{1}{t_{0}^{2}}-\omega^{2}}\right) t\right]"><span></span><span></span></span>
调Q
调Q原理
巨脉冲的产生/Q-switch pulse
以该场景为例说明调Q对峰值功率的放大以及对脉宽的缩短
场景与假定：1、是在N处于很高的时刻，调高Q值，且切断泵浦<br>2、自发辐射可以忽略<br>3、因为调Q/巨脉冲形成的时间很短，下能级粒子数无法排空，<br>所以此时每产生一个光子会消耗两个反转粒子数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="方程变为：\begin{aligned}&\frac{d \phi}{d t}=\left(\frac{N}{N_{t h}}-1\right)\left(\frac{\phi}{\tau_{c}}\right) \\&\frac{d N}{d t}=-2 \frac{N}{N_{t h}}\left(\frac{\phi}{\tau_{c}}\right)\end{aligned}"><span></span><span></span></span>
采用“变换自变量”的方法得到部分性质
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{d \phi}{d \mathrm{~N}}=\frac{1}{2}\left(\frac{N_{\mathrm{th}}}{N}-1\right)"><span></span><span></span></span>
1、峰值功率与光子数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\int_{0}^{\phi_{\mathrm{m}}} d \phi=\int_{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}}^{\mathrm{N}_{\mathfrak{t h}}} \frac{1}{2}\left(\frac{N_{\mathrm{th}}}{N}-1\right) \mathrm{d} \mathrm{N}\\\mathrm{P}_{\mathrm{m}}=\frac{\phi_{\mathrm{M}}}{\tau_{\mathrm{C}}} \mathrm{h} v=\frac{\mathrm{h} v}{2 \tau_{\mathrm{C}}}\left[\left(\mathrm{N}_{\mathrm{i}}-N_{\mathrm{th}}\right)-\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \ln \frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{th}}}\right]"><span></span><span></span></span>
2、总脉冲能量和脉冲时长
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\int_{\phi_{1} \approx 0}^{\phi_{\mathrm{i}} \approx 0} d \phi=\int_{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}}^{\mathrm{N}_{\mathrm{f}}} \frac{1}{2}\left(\frac{N_{\mathrm{th}}}{N}-1\right) \mathrm{d} \mathrm{N}\\\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}}=\exp \left(-\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}-\mathrm{N}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{th}}}\right)\\设x=\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{th}}} \quad \mathrm{a}=\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{th}}}(\text { 反转比 })\quad\eta_{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}-\mathrm{N}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{i}}}(\text { 能量因子 })"><span></span><span></span></span><br>
<font color="#ff0000">在进行了数值计算后，可以发现反转比越高，能量因子就越高，<br>这说明N的积累越大，反转粒子数的利用率越高</font>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}&结果为：总能量\mathrm{W}_{\mathrm{q}}=\eta_{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}} \mathrm{h} v}{2} \\&脉冲时间\Delta \mathrm{t} \approx \frac{\mathrm{W}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{P}_{\mathrm{m}}}=（仅当反转比很大时）\frac{\eta_{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}} \mathrm{h} v}{2}}{\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{i}} \mathrm{h} v}{2 \tau_{\mathrm{C}}}}=\tau_c\end{aligned}"><span></span><span></span></span>
巨脉冲的积蓄阶段
很简单视为指数衰减即可
调Q方法
转镜调Q
要注意损耗减小（又称开关打开）的时机，太早，则粒子数未充分积累，<br>可以参照反转比来理解，这时能量利用率低；太晚，则粒子数会白白自<br>发辐射损耗。
缺点：开关时间一长就可能出现多脉冲，开关时间是机械转速控制的
电光调Q
原理很简单，通过电压的有无调控晶体对光波的吸收率。<br>以KDP晶体加偏振片为例，当加上四分之一波电压时，光波偏振方向转90°，<br>无法通过偏振片；不加电压时，光波能完全通过。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{1}{n_{x^{\prime}}^{2}}-\frac{1}{n_{o}^{2}}=\gamma_{63} E\\\delta=\frac{\omega d}{c}\left(n_{y^{\prime}}-n_{x^{\prime}}\right)=\frac{\omega d}{c}\left(n_{o}^{3} \gamma_{63} E\right)=\frac{\omega n_{o}^{3} \gamma_{63}}{c} V\\V_{1 / 4}=\frac{\pi c}{2 \omega n_{o}^{3} \gamma_{63}}"><span></span><span></span></span>
声光调Q
原理，通过换能器将外加信号转成超声波，超声波改变晶体的晶格结构，<br>形成体光栅，体光栅具有“声波的布拉格衍射”现象：只有在光波按右式<br>描述的角度（满足光栅条件）入射，才能在除了沿原方向传播的零级衍射<br>光外，只有较强的一级衍射光，且θd=θi（前提条件是L>2L0），这样一<br>来原光束能量被一级衍射峰分去，相当于大损耗
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2 \Lambda \sin \theta_{i}=\lambda,\Lambda \text { 是声波波长 }\\T是开关时间，T=\frac{d}{v_{a}}，v_a是声波波速\\\mathrm{L} \geq 2 \mathrm{~L}_{0} \text { 。 而 } \mathrm{L}_{0}=\lambda_{\mathrm{s}}^{2} / \lambda=\mathrm{v}_{\mathrm{s}}^{2} /\left(\mathrm{f}_{\mathrm{s}}{ }^{2} \lambda\right)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="比较\lambda=2 \mathrm{dsin} \theta"><span></span><span></span></span>
声波波长是给定的，我们要做的是让入射方向等于算得的θi
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="P_{m}=\frac{h v}{2 t_{c}}\left[\left(n_{i}-n_{t h}\right)-n_{t h} \ln \left(\frac{n_{i}}{n_{t h}}\right)\right]\\n_{i}越大，即增益越大， P_{m} 越大, \Delta t越小。\\为了不出多脉冲, n_{i} 不能太大。声光调Q适用于低功率激光器。"><span></span><span></span></span>
（被动）染料调Q
原理：用一个两个能级的能级差恰好等于激光能量的介质<br>放在激光器中，当染料中的能级未反转之前，吸收率很高，<br>此时激光器的反转粒子数积累；当染料被漂白之后，吸收率<br>降低，激光器输出，当激光器中总反转粒子数降下来后，<br>染料反转粒子数也开始减小，最后恢复到未漂白状态。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha \propto\left(N_{1}-N_{2}\right)=\Delta N\\\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+I / I_{s}}\\I_{s}=h v / 2 \sigma \tau"><span></span><span></span></span>
染料不是激光器的增益介质，只是在激光波长处有一个吸收峰罢了<br>，他并不是和固体激光器、气体激光器平行的概念
多模激光器
锁模
原理：使用特殊的方法使得各个模式之间的相对位相保持固定，相干叠加后形成超短脉冲
锁模的结论
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="锁模的电场：E(t)=E_{0} \exp \left[i 2 \pi v_{1} t\right] \times \frac{\sin (N 2 \pi \delta v t / 2)}{\sin (2 \pi \delta v t / 2)}\\\delta \tau_p=\frac{2L}{c}=\frac{1}{\nu_c}是峰间距 ,\\\Delta \tau_p=\frac{1}{\Delta \nu_{osc}}=\tau_p/N_l是脉宽\\I=N_l^2I_0是锁模后的峰值光强，是不锁模的N_l倍"><span></span><span></span></span>
锁模的方法
主动锁模
通过引入一个吸收系数按照FSR对应的频率谐变的调制信号，1生3的产生锁模模式
从时域上来说，调制信号使得Q值的变化时间周期等于光走一个<br>roundtrip的时间，故有一部分的光子完全不被吸收，而其他部<br>分的光子都将被吸收，所以将产生2d/c的光脉冲
<font color="#ff0000">增益饱和是由全部的模式光强决定的</font>
被动锁模
引入吸收体，要求其恢复时间短于2L/c，则吸收体也会产生角频率为OMEGA的调制信号
从时域来看，总存在一个最大的脉冲，它经过吸收体时，吸收体产生的损耗最小<br>经过吸收体，脉冲的前侧会被变瘦，经过增益介质，前侧又会变高
物理参量汇总
线宽们
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1、均匀加宽或自然加宽\Delta \nu_h 或\Delta \nu_N=\frac{1}{2\pi \tau_{21}}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2、多普勒加宽\Delta \nu_D"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="3、自由频谱空间 \Delta \nu_q"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="4、增益系数谱宽度：G>α的区域\Delta \nu_{osc}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="5、谐振请的线宽\Delta v_{cav}=\frac{c \alpha}{2 \pi}=\frac{1}{2\pi\tau_c}=\frac{\mathbf{P}_{0}}{2 \pi \mathbf{W}}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="6、腔长、折射率的波动引起的频率的不确定性|\Delta v / \bar{v}|"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="7、极限线宽\Delta \nu_s=\frac{1}{2\pi \tau_s}"><span></span><span></span></span>
寿命与脉宽们
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1、空腔中的光强寿命：\tau_{\mathrm{cav}}=\frac{1}{\mathrm{c} \alpha}=\frac{W}{P_o}W为总能量，P_o为输出功率"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2、能级的寿命\tau_{21}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="3、极限寿命 \tau_s=\frac{W}{P_s}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="4、调Q脉宽 \tau_q=\frac{W_q}{P_m}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="5、锁模脉宽：\Delta \tau_{\mathrm{p}} \approx \frac{1}{\text { gain bandwidth }}"><span></span><span></span></span>
饱和光强们
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1、非加宽体系的饱和光强I_s=\frac{c}{B_{21}\tau_{sp}}=\frac{8\pi h\nu^3}{c^2}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2、均匀加宽体系的饱和光强I_s=\frac{4\pi^2h\nu^3\Delta \nu_h}{c^2\phi}"><span></span><span></span></span>
这个定义是严格的，<font color="#ff0000"><b>但无论如何都与频率有关</b></font>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="3、非均匀加宽体系的饱和光强I_s=\frac{4\pi^2h\nu^3\Delta \nu_h}{c^2\phi}"><span></span><span></span></span>
截面的N种写法(省略线型函数，<br>即带一个Hz的尾巴)
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1、\sigma_{21}=\frac{B_{21}h\nu}{c}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2、\sigma_{21}=\frac{c^2}{8\pi \nu^2 \tau_{sp}}=\frac{\lambda^{2}}{8 \pi} A_{21}"><span></span><span></span></span>
功率们
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1、腔内功率or受激辐射功率：\mathrm{P}_{\mathrm{e}}=\left(\mathrm{N}_{\mathrm{th}} \mathrm{V}\right) W_{21}(v) \mathrm{h} v"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2、自发辐射功率or内部饱和功率：P_{s}=\left(N_{t h} V\right) h v \frac{1}{\tau_{s p}}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="3、输出功率or有用功率\frac{\mathrm{P}_{0}}{\mathrm{P}_{\mathrm{e}}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}+\mathrm{L}_{\mathrm{r}}}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="4、单脉冲峰值功率P_{m}=\frac{\Phi_m}{\tau_c}h\nu"><span></span><span></span></span>
其他
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="FSR=\frac{c}{2nd}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="腔体的核心理解：①W=P_o\cdot \tau\\②"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="当我们知道R=5R_{th}时，等价于我们知道G^{0}(\nu_0)=5\alpha，\\中间经历了N^0=5N^{th}的过程"><span></span><span></span></span>
作业部分有问题的：
9.1 怎样将能级的分布转化为能量差的分布没搞明白
10.1 普通光源也有多普勒加宽，相干时间等于线宽分之一、
10.2 3）证明反转粒子数的公式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="一个可以死记的证明过程公式：N \equiv N_{2}-N_{1}=\frac{R_{2} \tau_{2}-\left(R_{1}+\delta R_{2}\right) \tau_{1}}{1+\left[\tau_{2}+(1-\delta) \tau_{1}\right] W_{21}}\left(\delta=\frac{\tau_{2}}{\tau_{21}}\right)"><span></span><span></span></span>
10.3 说明为什么自发辐射可以忽略<br>以及比较三能级四能级的效率
10.5 我的做法不规范，应按照均匀加宽的体系来做，并假设截面为中心频率的截面<br>可为什么不能用τs计算Δνh呢
10.6 同样，第一遍的做法是不规范的，要注意它是在中心频率处工作
10.7 这题我有巨大的理解问题，不过为了做对这道题，我先按均匀加宽增益曲线中所有的频率全是一个频率<br>来理解，这样的话可以很容易证明出来半宽高会随光强增大而增大
诶，我突然理解了，这道题的意思可能是想问，当固定光强I_ν1的频率ν1<br>发生改变时，对中心频率或者任意其他频率的增益系数下降幅度的影响不同在哪？
<b style=""><font color="#ffffff">13.2</font><font color="#ff0000"> 告诫我们，中心频率处的线型函数值只能用线宽算，不能用寿命算</font><br><font color="#ff0000">还告诫我们，计算谐振频率时，要注意光程分段计算</font></b>
13.3 要小心算<br>
14.3 一定记住傅里叶变换是对光场做变换
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="对腔长多模起振的估计是FSR<\nu_{osc}"><span></span><span></span></span>
16.4 声光调制的电压频率只要为FSR的一半就可以了，注意乘以2π<br>光脉冲的峰值功率是平均功率的N倍
问答题
1、什么是谱线加宽，有哪些加宽类型，加宽机制是什么？如何理解均匀加宽和均匀加宽？<br>
2、如何定义激光增益？什么小信号增益，大信号增益，增益饱和？<br>
3、说明均匀加宽和非均匀加宽工作物质中的增益饱和的机理，<b><font color="#ff0000">并写出激光增益的表达<br>式</font></b><br>
4、饱和光强的含义？怎样定义的？
5、描述非均匀加宽工作物质中增益饱和的烧孔效应并说明原理
6、在均匀加宽和非均匀加宽激光器中，模式竞争有什么不同？
7、什么是兰姆凹陷，定性解释其成因
8、什么是频率牵引？<br>
9、为什么存在线宽极限，它取决于什么？
10、调Q激光器工作原理？<br>
11、锁模的工作原理
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