量子力学（part1）

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\langle\beta&nbsp;\mid&nbsp;\alpha\rangle=\langle\alpha&nbsp;\mid&nbsp;\beta\rangle^{\star}"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\langle\alpha&nbsp;\mid&nbsp;\alpha\rangle&nbsp;\geqslant&nbsp;0"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{gathered}|\bar{\alpha}\rangle=\left(\frac{1}{\sqrt{\langle\alpha&nbsp;\mid&nbsp;\alpha\rangle}}\right)|\alpha\rangle&nbsp;\\\langle\bar{\alpha}&nbsp;\mid&nbsp;\tilde{\alpha}\rangle=1&nbsp;.\end{gathered}"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="X\left(c_a|\alpha\rangle+c_\beta|\beta\rangle\right)=c_q&nbsp;X|\alpha\rangle+c_\beta&nbsp;X|\beta\rangle"><span></span><span></span></span>

&nbsp;我们把符<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="X^{\dagger}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>号定义为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="|X|&nbsp;\alpha\rangle&nbsp;\stackrel{对偶}{\leftrightarrow}\langle\alpha|&nbsp;X^{\dagger}"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="X=X^{\dagger}"><span></span><span></span></span>

厄米算符定义为<font color="#ff0000">自己等于自己的厄米共轭</font>（在矩阵层面上为共轭转置），<br>

幺正算符是指和自己的厄米共轭算符相乘为1的算符，它对应数学的幺正矩阵，<br>即一个矩阵的<font color="#ff0000">逆等于它自己的共轭转置</font>

厄米算符的积是厄米算符吗？

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\\X&nbsp;Y&nbsp;\neq&nbsp;Y&nbsp;X\\X(Y&nbsp;Z)=(X&nbsp;Y)&nbsp;Z=X&nbsp;Y&nbsp;Z&nbsp;.\\X(Y|\alpha\rangle)=(X&nbsp;Y)|\alpha\rangle=X&nbsp;Y|\alpha\rangle,&nbsp;\quad(\langle\beta|&nbsp;X)&nbsp;Y=\langle\beta|(X&nbsp;Y)=\langle\beta|&nbsp;X&nbsp;Y&nbsp;.\\(X&nbsp;Y)^{\dagger}=Y^{\dagger}&nbsp;X^{\dagger}\\"><span></span><span></span></span>

若A的本征态已知，且对应本征值无简并，则这个本征态就是B的本征态

若A的本征态已知，但对应本征值简并，则简并本征态的某种线性组合一定是A、B的<br>共同本征态，且有简并度个

是指在一个系统中，我们通过一个或少数几个力学量的去测量，<br>获得一个或一系列本征值时，还是无法确定这个量子态的，因为可能存在<br>简并。如果我们通过一组相互对易的力学量，它们的共同测量下<br>，可以完全的确定一个量子状态，即简并完全解除，则称这一组<br>力学量是这个力学系统的一组对易力学量完全集

更进一步，如果这些力学量中含有不显含时间的哈密顿量，（分析<br>力学告诉我们这意味着系统广义能量守恒），则各力学量都是守恒量<br>，它们称为对易守恒量完全集。

定义为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(\Delta&nbsp;A)^2"><span></span><span></span></span>的期望值,一个可观测量的弥散度表征着“模糊性”

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Delta&nbsp;A&nbsp;\equiv&nbsp;A-\langle&nbsp;A\rangle"><span></span><span></span></span>

1、需要Schwartz不等式<br>2、需要构造\Delta&nbsp;A 和\Delta&nbsp;B作用在任意右矢上得到的两个右矢，用他们去做Schwartz不等式<br>3、需要利用\Delta&nbsp;A和\Delta B的对易和反对易算符来表示二者的乘积<br>4、需要利用对易算符的化简和对易与反对易算符的反厄米、厄米性质<br>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\boldsymbol{U}\left(t, t_0\right)=\exp \left[\frac{-i H\left(t-t_0\right)}{\hbar}\right]"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathcal{U}\left(t, t_0\right)=\exp \left[-\left(\frac{i}{\hbar}\right) \int_{t_0}^t d t^{\prime} H\left(t^{\prime}\right)\right]"><span></span><span></span></span><br>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mathcal{U}\left(t, t_0\right)=1+\sum_{n=1}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n \int_{t_0}^{t} d t_1 \int_{t_0}^{t_1} d t_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} d t_n H\left(t_1\right) H\left(t_2\right) \cdots H\left(t_n\right)"><span></span><span></span></span>

定态是指能量本征态

在定态下，一切力学量（无论是否为守恒量）的期待值和测量概率分布都不随时间改变，（相比之下，守恒量达到这个目的不需要体系处于定态）。所以，只有量子态初始时刻不处于定态，并且力学量又不是守恒量时，我们才要研究力学量<br>的平均值和测量值的概率分布如何随时间改变

任意力学量的期望值由一些振荡项组成

对于不显含时间t的力学量：<br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{d}{dt} A(t) = \frac{1}{i\hbar}{[A(t),H]}"><span></span><span></span></span>

要对<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a|n>" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>和<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="a^+|n>"><span></span><span></span></span>求模方

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}\left(a+a^{+}\right), \quad p=i \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}}\left(-a+a^{+}\right)"><span></span><span></span></span>

其中<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x_i \equiv \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}"><span></span><span></span></span>给出了谐振子的长度标度

这个定义在散射中用的很多

是一种近似求解一维定态薛定谔方程的方法。<br>它通过在能量远离与势场交点的地方假定波函数具有一个缓变函数乘以<br>一个快速振荡项或衰减项的形式，在与势场的交点通过特殊函数近似的<br>将两侧波函数连接起来，从而求出整个体系的波函数。

动量（E-V(x)）视为一个整体<br>连接处近似为线性势、艾里函数<br>量子化条件

齐次方程很关键，这才能给出接下来的久期方程。<br>齐次方程的个数总能等于待定系数的个数

一般情况给出<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="E_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>or<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="E_k"><span></span><span></span></span>的离散谱；<br>

特殊情况可以给出<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E(k)"><span></span><span></span></span>的某种意义上的连续谱（如晶体中的布洛赫波）

也可不列久期方程而另辟蹊径，只要消去所有待定系数也可直接解能量本征方程；比如有限高势阱就常常这样处理

前提，H'是分块对角矩阵<br><br>核心思想，在<b>简并态中</b>进行线性组合作为H+H'的本征态，将其称为0级本征态。<br>有如右两种等价的做法，数学上是在求本征值和本征函数，或者在求解久期方程<br>

是氢原子在外电场中，n=2的四重简并能级根据角动量的z分量分裂为三条

是一个求系统基态能量的方法。<br>本着任何量子态的能量平均值都高于基态，我们凭借经验选取一个含参波函数，<br>求出对应的能量期望，然后对参数求导使得能量最低即可。

氦原子基态、氢分子离子基态、

我记得应该在OneNote的某个角落<br>——找不到了，焯！

oh~~，想起来了：<br>以一维有限高势垒为例：<br>在这里有3个（n个）区域，因为薛定谔方程是二阶微分方程，所以每个区域的解有两个待定系数，所以一共有6（2n）个待定系数。<br>我们有两个连接点和两个边界，对应4（2n-2）个连续方程和两个边界条件方程，得到一个6×6（2n×2n）线性方程组。<br>注意到这是一个齐次的方程组，所以要通过久期方程来求出本征能量，再代回去求解系数间的比例关系。<br>最后通过归一化条件给出最终的解。

1、波函数可以取为实函数；2、对称势场的解有着确定的宇称；3、束缚态无简并；<br>4、第n个能级的本征波函数只有n-1个节点（不包括两端）

无限深势阱

谐振子势阱

有限高势垒

δ势阱

束缚态一定对应离散谱

对称势场的波函数一定是奇宇称或者偶宇称的

因为中心力场球对称，运动粒子的能量跟z轴的选取显然无关，<br>但因为角动量对于能量是有贡献的，所以角量子数是能区分<br>能级的，而磁量子数m无法区分，故中心力场一般都为2l+1重

而库仑势具有更高的对称性，具体来说因为主量子数并不取决于角量子数l，而<br>是取决于l和径向量子数的特殊组合，所以不同的l会因为nr的取值不同而具有<br>相同的能量，最终简并度为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="n^2"><span></span><span></span></span>

在量子理论中，只有角动量的平方以及角动量的一个分量，比如<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="L^2, L_z"><span></span><span></span></span>，是守恒量，而在经典力学<br>里，角动量的三个分量都是守恒量。

通过能量的本征值来求各力学量的平均值随参数的变化

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=<\frac{\partial H}{\partial \lambda}>_n"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="H=\frac{1}{2 m}\left(\vec{P}-q \vec{A}\right)^{2}+q \phi=\frac{1}{2 m}\left(-i \hbar \nabla-{q} \vec{A}\right)^{2}+q \phi "><span></span><span></span></span>

因为这样定义的哈密顿量代入哈密顿正则方程才能推出洛伦兹力<br>的正确形式<br>【20240228补充】上述原因是正确的，不过它貌似是更本质的原因，更表面或者说更直接的原因是，哈密顿量中的P是从拉格朗日量中引入过来的，它是正则动量，而哈密顿量需要对真实的动力求平方<br>

<font color="#ff0000">为什么是将正则动量而非机械动量换成</font><span class="equation-text" data-index="0" data-equation="-i\hbar\nabla？" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>因为在电磁场瞬间变化时，尽管波函数的时间变化率发生改变，但波函数<br>本身还没有改变，那么它的梯度也就没变，梯度对应动量算符，所以动量<br>也应该不变，但实际上粒子的机械动量是改变了的，减少了<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="-q\vec A" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，<br>所以正则动量才保持不变。

满足，只要让波函数稍稍改造一下，在电磁场中多加上一个相位：<br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\psi \rightarrow \psi^{\prime}=\psi \cdot e^{i \frac{q \chi}{\hbar }},其中\chi为规范变换中矢量势加上的\nabla \chi(\vec r)\\中的\chi(\vec r)"><span></span><span></span></span><br>

是指均匀磁场中的带电粒子在垂直磁场平面内运动的能级，<br>需要指出的是，在磁场方向上（假定位z）做自由运动，在<br>xy平面可以类比一个一维或二维谐振子，取决于采用朗道<br>规范还是库仑规范，若是前者，则<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c"><span></span><span></span></span>

Larmor频率是回旋共振频率的一半

子主题

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="K\left(x^{\prime \prime}, t ; x^{\prime}, t_0\right)=\sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar\left(t-t_0\right)}} \exp \left[\frac{i m\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)^2}{2 \hbar\left(t-t_0\right)}\right]"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}K\left(x^{\prime \prime}, t ; x^{\prime}, t_0\right)=& \sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin \left[\omega\left(t-t_0\right)\right]}} \exp \left[\left\{\frac{i m \omega}{2 \hbar \sin \left[\omega\left(t-t_0\right)\right]}\right\}\right.\\&\left.\times\left\{\left(x^{\prime \prime}+x^{\prime 2}\right) \cos \left[\omega\left(t-t_0\right)\right]-2 x^{\prime \prime} x^{\prime}\right\}\right] .\end{aligned}"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}\widetilde{G}(E) & \equiv-i \int_0^{\infty} d t G(t) \exp (i E t / \hbar) / \hbar \\&=-i \int_0^{\infty} d t \sum_{u^{\prime}} \exp \left(-i E_{u^{\prime}} t / \hbar\right) \exp (i E t / \hbar) / \hbar\end{aligned}"><span></span><span></span></span>

令<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E \rightarrow E+i \varepsilon"><span></span><span></span></span>

齐次方程很关键，这才能给出接下来的久期方程。<br>齐次方程的个数总能等于待定系数的个数

一般情况给出<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="E_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>or<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="E_k"><span></span><span></span></span>的离散谱；<br>

特殊情况可以给出<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E(k)"><span></span><span></span></span>的某种意义上的连续谱（如晶体中的布洛赫波）

也可不列久期方程而另辟蹊径，只要消去所有待定系数也可直接解能量本征方程；比如有限高势阱就常常这样处理

前提，H'是分块对角矩阵<br><br>核心思想，在<b>简并态中</b>进行线性组合作为H+H'的本征态，将其称为0级本征态。<br>有如右两种等价的做法，数学上是在求本征值和本征函数，或者在求解久期方程<br>

是氢原子在外电场中，n=2的四重简并能级根据角动量的z分量分裂为三条

是一个求系统基态能量的方法。<br>本着任何量子态的能量平均值都高于基态，我们凭借经验选取一个含参波函数，<br>求出对应的能量期望，然后对参数求导使得能量最低即可。

氦原子基态、氢分子离子基态、

是一种近似求解一维定态薛定谔方程的方法。<br>它通过在能量远离与势场交点的地方假定波函数具有一个缓变函数乘以<br>一个快速振荡项或衰减项的形式，在与势场的交点通过特殊函数近似的<br>将两侧波函数连接起来，从而求出整个体系的波函数。

动量（E-V(x)）视为一个整体<br>连接处近似为线性势、艾里函数<br>量子化条件

对称态与反对称态：交换全部任意两个粒子的全部变量保持不变，费米子的波函数对称，玻色子的波函数反对称

相等，因为微扰哈密顿量是厄米算符，它的矩阵是共轭对称矩阵，<br>高低能级之间的跃迁概率相同。

不自然，因为按照薛定谔方程，当某时刻处于定态，它将始终<br>处于定态。<br>自发发射是因为量子电动力学中，即使处于基态，场也是非零的，<br>所以没有真正的“自发发射”，区别在于这个场是人为加的，还是<br>“上帝放在那里的”。

这是因为在自发辐射概率/速率是与电极矩or位矢的矩阵元成正比，<br>而因为能量本征态的分布形式，导致很多的矩阵元等于0，所以很多<br>情况下跃迁不会发生，于是有选择定则。

外界条件缓慢变化的过程。<br>（外界变化对内部几乎不产生影响，可被忽略）

<div><span style="font-size: inherit;">方法论：先把缓变变化的外部条件R(t)视为恒定不变，等到整个体系的物理过程都用这个R表示出来之后，再考虑R随时间的变化</span><br></div>

经典例子：比如有一根长度L发生缓变变化的单摆，那么我们先当做长度恒定来处理，得到它的频率为<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，再考虑L的变化L(t)，得到单摆以频率<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\omega(t)=\sqrt{\frac{g}{L(t)}}"><span></span><span></span></span>运动

量子例子：比如处理氢离子定态问题，我们最开始不知道两个原子核之间的距离R如何变化，我们先假定它是恒值R，然后解出基态能量和波函数，再据此来反推两个原子核之间振动的平均距离

上述量子例子的处理方式称为<b>波恩-奥本海默近似</b>，即处理原子光谱问题时，都先认为原子核是静止的，最后再考虑原子核的运动对结果的影响

量子体系的哈密顿量随时间缓慢演化时，<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="H(t)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，若体系量子态的初态为<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\Psi(0)=\sum_m{c_m(0) \psi_m(0)}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，其中<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\psi_m(0)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>为初始时刻哈密顿量<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="H(0)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的本征态，则t时刻，体系量子态演变<b><font color="#ff0000">为<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="\Psi(t)=\sum_m{c_m(t) \psi_m(t)e^{-i\frac{\bar{E_m}}{\hbar}t}}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，</font></b>（其中<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="\bar{E_m}=\frac{1}{t}\int_0^t{E_m(\tau)}d\tau" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>,<span class="equation-text" data-index="6" data-equation="\psi_m(t),E_m(t)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>分别为t时刻哈密顿量<span class="equation-text" data-index="7" data-equation="H(t)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的本征能量和本征函数，<span class="equation-text" data-index="8" data-equation=" c_m(t) = c_m(0) e^{i\varphi}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>,<span class="equation-text" data-index="9" data-equation="\gamma_m(t) =i\int_0^t <\psi_m(\tau)|\frac{\partial}{\partial t}|\psi_m(\tau) >d\tau" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>后称几何相or贝利相），又可写为<span class="equation-text" data-index="10" data-equation="\Psi(t)=\sum_m{c_m(0) \psi_m(t)e^{i\theta_m(t)}}e^{i\gamma_m(t)}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>

若初态处于H(0)的第n个本征态，则有更简单的表述：随着时间的演化，量子态仍处于哈密顿量H(t)的第n个本征态，<br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Psi(t)={\psi_n(t)e^{i\theta(t)}}e^{i\varphi(t)}"><span></span><span></span></span><br>

无限深势阱慢慢变宽

无限深势阱突然变宽，<br>这种情况下，能量是守恒的，就像气体向真空自由膨胀一样，当挡板撤去，气体不做功

是指体系某一物理量按照闭合回路演化一周回到初态的状态后，体系整体回不到初态的情况

在赤道上拿着一个南北指向的单摆先走到北极，再沿着不同的经线走到赤道，再沿赤道回到原位置，很显然，单摆的摆动方向与最初已经不再重合了。<br>这个过程中，重力的方向是在不断变化的，它充当了绝热过程中缓变变化的外界条件的角色。

物理定义：初始处于体系第n本征态的量子态，在绝热过程之后仍处在<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="H(t)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的第n本征态，不过增加了一个相因子，其中除了熟知的动力学相外的另外一个相因子就是几何相，写作<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\gamma_m(t) =i\int_0^t <\psi_m(\tau)|\frac{\partial}{\partial t}|\psi_m(\tau) >d\tau" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>。<br><br>因为量子态随时间的变化实际上可以看做量子态所处外部环境<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\vec R(t)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>随时间的变化，而量子态再随外部环境的变化:<br><span class="equation-text" data-index="3" data-equation="\frac{\partial \psi_{n}}{\partial t}=\frac{\partial \psi_{n} \mathrm{~d} R_{1}}{\partial R_{1} \mathrm{~d} t}+\frac{\partial \psi_{n} \mathrm{~d} R_{2}}{\partial R_{2} \mathrm{~d} t}+\cdots+\frac{\partial \psi_{n} \mathrm{~d} R_{N}}{\partial R_{N} \mathrm{~d} t}=\left(\nabla_{R} \psi_{n}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>所以，几何相又可方便地表示为：<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="\gamma_{n}(t)=\mathrm{i} \int_{R_{i}}^{R_{f}}\left\langle\psi_{n} \mid \nabla_{R} \psi_{n}\right\rangle \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{R}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，其中<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="5" data-equation="\boldsymbol{R} \equiv\left(R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{N}\right)"><span></span><span></span></span>

定义

notation