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LA-3-向量与线性方程组

2021-08-14 14:53:30   0  举报

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线性代数第三章向量第四章线性方程组知识点梳理

方程

线性代数

向量

线性方程组

考研

大学教育

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大纲/内容

线性方程组

齐次方程组Ax=0

基础解系

若是方程组的解，则Ax=0的通解为：

也就是基础解系，且必须满足：

方程组基础解系有n-r(A)个解

有解判定

有非零解

n>r(A)

A的列向量组线性相关

无关无解有关有解

扁方阵

（方阵时）|A|=0

只有0解

n=r(A)

A的列向量组线性无关

（方阵时）|A|0

n>r(A)

考察

基础解系

求基础解系

做初等行变换，整理成行最简矩阵

自由变量逐个令1(其余0)，得基础解系

自由变量分别令t、u、v...，得基础解系

有不止1种不等效的形式结果不同。 但此类“准行最简”亦可求解

去掉第几列形成单位矩阵，去掉的就是自由变量

由基础解系求方程组

由解求未知数个数，结合解的个数求A的秩

例：求一个齐次线性方程组，使其基础解系为

if: r(A)<n方程有n-r个线性无关的解

例：若都 是Ax=0的解，则A可以是？

Note：由题至少有两个线性无关的解，即n-r(A)≥2→r(A)≤1，A又不能是0，所以r(A)=1

对于，若是Ax=0的基础解系，则r()?

转置矩阵的定理：r()=r(A)

对于是的基础解系，求r(A)

抽象系数矩阵方程通解

活用AA*=A*A=|A|E直接得到一系列解

注意|A|=0

n-r(A)确定线性无关解的个数

给不满秩系数矩阵求基础解系

非齐次方程组Ax=b

有解判定

有解：r(A)=r()

唯一解：r(A)=r()=n

无穷多解：r(A)=r()<n

无解：r(A)r()

实际求解过程中，出现A全零且不全零行秩必不等，不一定在最下

可能全0是取特值才会出现的情况，注意讨论。

克拉默法则

有唯一解

det(A)0

解的结构

设是Ax=b的解，是方程组Ax=0的基础解系，则Ax=b的通解为：

其中可以令自由变量全为0，直接通过原方程组解得

拓展(3(6))

特例：

考察

求解AX=b

讨论r(A)和r()所有可能的情况

例

求解方程<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-3\\-2\\-2\end{bmatrix}" contenteditable="false">

注意讨论无解

含多参方程组A(a,b...)X=b 不同解的情况下参数的取值

按唯一解、无穷解、 无解的顺序讨论

例

讨论方程解的情况 给出对应的a、b取值，并求出解的表示。

公共解、同解

同解方程组

方程组具有相同的解的集合

方程组解集之联系

考察

抽象方程组解集之联系

设三阶矩阵，其中 可由线性表出。则（） A. AX=0的解均为BX=0的解 B. AX=0的解均为BX=0的解 C. BX=0的解均为AX=0的解 D. BX=0的解均为AX=0的解

显而易见，可得<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]=[\beta_1,\beta_2,\beta_3]\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}" contenteditable="false"> 即：A=BC，A=CB

对于任意X满足AX=0↔BCX=0,但不能推出BX=0→A错误

对于任意X满足BX=0，不能推出BCX=0，从而不能得到AX=0→C错误

对于任意X满足AX=0↔CBX=0，但不能推出BX=0→B错误

对于任意X满足BX=0，必有AX=CBX=C0=0，从而AX=0→D正确

考察方式

向量

基本概念

n个数构成的有序数组称为n维向量

行向量，列向量，0向量

向量相等

加减法，数乘，点乘，叉乘

解方程组

写出增广矩阵

初等行变换，化成阶梯型，再化成行最简矩阵

得到的矩阵对应的方程组称为同解方程组

解的结构

线性表出

有m个向量,称为向量的一个线性组合

可表示为 这是一个方程组的形式。是解向量

若向量能表示为的线性组合 则称向量可由线性表出

能，唯一

能，无数种

不能

若可由向量组线性表出， 且可由向量组线性表出， 则可由向量组线性表出

例：设 问当t取何值时，不能由线性表出？

例：设<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\boldsymbol\alpha_1=(1+\lambda,1,1)^\bold T,\boldsymbol\alpha_2=(1,1+\lambda,1)^\bold T,\boldsymbol\alpha_3=(1,1,1+\lambda)^\bold T" contenteditable="false"> 问当取何值时，不能由线性表出？若要使可以 由线性表出，给出的表达式

例：设 问当取何值时，不能由线性 表出且可以由线性表出？

不宜分开求解，可以合并矩阵进行分析

线性相关性

有m个向量,若不全为0的实数使， 则称向量组线性相关，否则称线性无关(存在相关，不存在无关)

不要求向量组不含0向量

含0向量的向量组必然线性相关

可表示为

是否线性无关/相关：列方程组，求是否有非零解

系数矩阵秩<m↔有非零解→线性相关

n个n维向量线性相关↔det()=0

n+1个n维向量必然线性相关

无→线性无关