LA-3-向量与线性方程组
2021-08-14 14:53:30 0 举报AI智能生成
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线性代数 第三章 向量 第四章 线性方程组 知识点梳理
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大纲/内容
若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方程组基础解系有n-r(A)个解
基础解系
无关无解有关有解
A的列向量组线性相关
扁方阵
（方阵时）|A|=0
n>r(A)
有非零解
A的列向量组线性无关
（方阵时）|A|0
n=r(A)
只有0解
有解判定
自由变量逐个令1(其余0)，得基础解系
自由变量分别令t、u、v...，得基础解系
外框
做初等行变换，整理成行最简矩阵
A满秩与否均有效
去掉第几列形成单位矩阵，去掉的就是自由变量
有不止1种不等效的形式结果不同。但此类“准行最简”亦可求解
求基础解系
由解求未知数个数，结合解的个数求A的秩
例：求一个齐次线性方程组，使其基础解系为span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
由基础解系求方程组
Note：由题至少有两个线性无关的解，即n-r(A)≥2→r(A)≤1，A又不能是0，所以r(A)=1
例：若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
转置矩阵的定理：r()=r(A)
对于，若span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
对于span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
if: r(A)<n方程有n-r个线性无关的解
注意|A|=0
n-r(A)确定线性无关解的个数
活用AA*=A*A=|A|E直接得到一系列解
抽象系数矩阵方程通解
给不满秩系数矩阵求基础解系
考察
齐次方程组Ax=0
唯一解：r(A)=r()=n
无穷多解：r(A)=r()<n
有解：r(A)=r()
实际求解过程中，出现A全零且不全零行秩必不等，不一定在最下
可能全0是取特值才会出现的情况，注意讨论。
无解：r(A)r()
det(A)0
有唯一解
克拉默法则
设是Ax=b的解，span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
其中可以令自由变量全为0，直接通过原方程组解得
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
特例：
拓展(3(6))
解的结构
注意讨论无解
求解方程
例
讨论r(A)和r()所有可能的情况
求解AX=b
讨论方程解的情况给出对应的a、b取值，并求出解的表示。
按唯一解、无穷解、无解的顺序讨论
非齐次方程组Ax=b
方程组具有相同的解的集合
同解方程组
显而易见，可得span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
对于任意X满足BX=0，不能推出BCX=0，从而不能得到AX=0→C错误
对于任意X满足AX=0↔CBX=0，但不能推出BX=0→B错误
对于任意X满足BX=0，必有AX=CBX=C0=0，从而AX=0→D正确
设三阶矩阵span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
抽象方程组解集之联系
方程组解集之联系
公共解、同解
考察方式
线性方程组
n个数构成的有序数组称为n维向量
行向量，列向量，0向量
向量相等
加减法，数乘，点乘，叉乘
写出增广矩阵
初等行变换，化成阶梯型，再化成行最简矩阵
得到的矩阵对应的方程组称为同解方程组
解方程组
基本概念
可表示为span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
有m个向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\boldsymbol\\alpha_i\" contenteditable=\"false\
能，唯一
能，无数种
不能
若向量能表示为span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
若可由向量组线性表出，且可由向量组线性表出，则可由向量组线性表出
例：设span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
不宜分开求解，可以合并矩阵进行分析
线性表出
不要求向量组不含0向量
含0向量的向量组必然线性相关
n个n维向量线性相关↔det(span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
n+1个n维向量必然线性相关
系数矩阵秩<m↔有非零解→线性相关
无→线性无关
是否线性无关/相关：列方程组，求是否有非零解
设span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
线性相关性
所谓Rank即为行
向量组的秩就是其最大无关组所含的向量个数
秩Rank
正交矩阵
向量组
向量
向量与线性方程组
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