LA-6-二次型
2021-08-19 17:01:10 12 举报AI智能生成
线性代数 第六章 二次型 知识点梳理
作者其他创作
大纲/内容
基本概念
二次型
一个多元函数，每一项都是二次的<br><span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-6x_2x_3" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
拆解
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x_1(x_1+x_2)+x_2(x_1+5x_2-3x_3)+x_3(-3x_2+5x_3)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
二次型的矩阵表述<br>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&0\\1&5&-3\\0&-3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
记为<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x^TAx" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="A^T=A" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，称二次型的矩阵<br>
二次型的秩即矩阵的秩，ie. r(f)=r(A)<br>
与特征值的联系
正交变换法得到的标准型系数等于A的特征值
标准型<br>
只有平方项，没有混合项的二次型
二次型矩阵为对角矩阵
规范型
平方项的系数仅为<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="1,-1,0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的<font color="#F44336">标准型</font><br>
正负惯性指数的来源
一种特殊的标准型
正负惯性指数
所有二次型均有惯性指数<br>
必须化成标准型才能确定具体值
坐标变换不改变惯性指数(惯性定理)
<font color="#F44336">标准型</font>正系数<font color="#F44336">平方项</font>、负系数<font color="#F44336">平方项</font>的个数
p、q分别指正负惯性指数<br>
<font color="#F44336">r(A)=p+q</font>
0系数平方项既不计入p，也不计入q
惯性定理：<br>二次型<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x^TAx" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>经过坐标变换，其正负惯性指数是唯一确定不变的。
坐标变换<br>
x=Cy，<font color="#F44336">若|C|≠0</font>，称此变换为一个坐标变换
C必须可逆↔|C|≠0<br>
是<font color="#F44336">x=Cy</font>,而非y=Cx<br>
C不可逆就不是坐标变换
合同
对一个对称矩阵A，若存在可逆矩阵C，<br>使得C<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>AC=B，称A与B合同，记为A<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\simeq" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>B<br>
比较<br>
对称的合同矩阵对称<br>B<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=(C<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>AC)<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=C<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>A<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>(C<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>)<span class="equation-text" data-index="6" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=C<span class="equation-text" data-index="7" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>AC=B
合同矩阵对应<br>二次型的基变换<br>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x^TAx\xRightarrow{x=Cy}(Cy)^TA(Cy)=y^TC^TACy=y^TBy" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
基变换C是可逆的
性质
反身性：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A\simeq A" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
对称性：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A\simeq B,则B\simeq A" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
传递性：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A\simeq B,B\simeq C,则A\simeq C" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>
判定
<font color="#F44336">充要条件：合同矩阵的正负惯性指数相同</font>(惯性定理)
合同矩阵的行列式同号
|C<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>AC|=|B|→|C<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>||A||C|=|B|→|C|<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="^2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>|A|=|B|
该条件必要不充分，满足也不一定合同
考察
证明合同
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{bmatrix}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>与<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&0\end{bmatrix}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是否相似？是否合同？
配方法必须检验|C|是否=0<br>
区别合同、等价、相似
<font color="#F44336">例：给出两个特征值相同而不相似的二阶矩阵。</font>
标准型
基本定理
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\forall" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>n元二次型f，必然<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\exist" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>可逆C<br>使f经x=Cy变换化为标准型<br>
推论：也必然存在C可将f化为规范型
该标准型和A只有合同关系
若C是正交矩阵，则标准型矩阵与A相似
更严格
<font color="#F44336">配方法得到的标准型系数与A的特征值无关<br>正交变换法得到的标准型系数等于A的特征值</font><br>
配方法
对于平方项全齐的二次型，采取主元逐个配方很合适
对于只含混合项的二次型，需要两轮配方
配方<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f=2x_1x_2+4x_1x_3" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="2(y_1+y_3)^2-2(y_2-y_3)^2+0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
对系数项为0的平方项，不能丢弃，必须令与对位元素相等
配方法结果不唯一
必须检验|C|是否=0<br>
正交变换法
对于任意n元二次型f=x<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>Ax，<br>必有<font color="#F44336">正交变换</font>x=Qy，<br>使f化为标准型y<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="^T\Lambda" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>y<br>
注意是<font color="#F44336">x=Qy</font>，而非y=Qx
A<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\sim\Lambda" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>
注意考率相似矩阵的性质
避免暴力求解特征值
例：已知二次型<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f=2x_1^2+ax_3^2+2x_2x_3" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>经过<br>正交变换x=Py化为标准型<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="y_1^2+by_2^2-y_3^2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>。求a,b<br>
A是实对称矩阵，必可由Q<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>AQ<font color="#F44336">相似</font>对角化，<br>对角矩阵Q的列向量是A单位化的特征向量<br>
正交矩阵Q性质：Q<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^{-1}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=Q<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
正交矩阵不一定是对称矩阵！
实对称矩阵A不同特征值<br>的特征向量两两正交<br>
由正交矩阵性质，正交变换后的二次型必然是：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\sum\lambda_i y_i^2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>
考察
用正交变换标准化给定二次型
写出原始二次型的A矩阵
求特征值、求特征向量
改造特征向量
由于不同特征值的特征向量相互正交<br>只需正交化重根的特征向量<br>
经过正交化，特征值不变
仅重根特征向量需正交化，重根<br>特征向量线性组合仍是特征向量<br>
构造正交矩阵Q
写出坐标变换x=Qy和标准型<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\sum\lambda_iy_i^2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
规范型
给出一个待定二次型f的规范型<br>求f的待定参数<br>
法1：正负惯性指数(的定义)<br>整理出f的标准型，根据标准型系<br>数的大小排序和规范型正负号确定参数<br>
法2：A的特征值即为标准型平方项系数<br>
注意0系数
正定矩阵<br>正定二次型<br>
若<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\forall" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>x≠0，f=x<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="^T" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>Ax>0，称f为<br>正定二次型，A称正定矩阵<br>
正定：positive definite<br>
即必是对称矩阵
同理有：<font color="#F44336"><0负定</font>、≥0半正定、≤0半负定<br>
几何意义：正定二次型的图形是n维空间的一族超椭球(椭球、椭圆)<br>
惯性定理：<br>二次型<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x^TAx" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>经过<font color="#F44336">坐标变换</font>，其正负惯性指数是唯一确定不变的。
性质/<font color="#F44336">充要条件</font>
标准型的系数全为正
规范型的系数全为1<br>
正惯性系数=n
负惯性系数的数量不能约束A是否正定
正定矩阵和单位矩阵合同(<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\simeq" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>)
推论/<font color="#F44336">充要条件</font>
<font color="#F44336">A的特征值全为正<br></font>
<font color="#F44336">必要条件</font>
平方项系数(<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a_{ii}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>)>0
有负项必不可能正定<br>
有0项必不可能正定
赫尔维茨定理
A正定的充要条件是各阶顺序主子式>0
A负定的充要条件是奇数阶顺序主子式<0<br>偶数阶顺序主子式>0<br>
可以用于小题快速判断
是否正定
已知正定求参数
考察<br>
证明正定
必须先检验对称<br>
定义
特征值>0
p=n
A<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\simeq" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>E
已知A正定，求证A<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^{-1}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>正定
已知A正定，B反对称，求证A-B<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="^2" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>可逆<br>
职业：暂无
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