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线性代数-复习笔记

2021-12-17 10:00:45   51  举报

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AI智能生成

线性代数囊括的部分知识点

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大纲/内容

联系

1：矩阵、行列式、向量空间

正

矩阵满秩

行列式的值不为零

向量组线性无关

矩阵可逆

方阵的所有特征值都不等于零

方阵有n个线性无关的特征向量

反

矩阵不满秩

行列式的值为零

向量组线性相关

矩阵不可逆

2：线性方程组对应矩阵阶数：n,秩数：r，n-r

齐次线性方程组解空间维数

齐次线性方程组基础解系解的个数

非齐次线性方程组导出组的解的个数

(λE-A)x=0基础解系的个数，即特征值对应的特征向量个数

矩阵

系数矩阵和增广矩阵（P7）

稳态向量（P8）

当n增加时，向量an收敛到极限某个值，向量序列an的极限称为该过程的稳态向量

马尔可夫性（P8）

如果下一刻的状态只和这一个的状态有关，和之前的状态没有关系，则该过程称为马尔可夫性

矩阵的运算（P10）

同型（P11）

相等（P11）

零矩阵（P11）

矩阵的线性运算（P14）

矩阵的加法运算（P13）

加法结合律

加法交换律

参与加法运算的矩阵A，B，C需为同型矩阵

和A同型的零矩阵满足：A+O=O+A=A

负矩阵

矩阵的数乘运算（P14）

矩阵的乘法（P14）

定义A和B的乘积矩阵AB

A =(aij)m*n，B = (bij)n*p，即A的列数和B的行数相同

乘法结合律

左、右乘分配律

EA=AE=A，E为（与A同阶）单位矩阵

不满足交换律

矩阵的转置（P17）

平面向量的内积（P17）

a=(a,b)，b=(x,y)，<a,b>=ax+by表示二者内积

平面向量的内积等价于二元行向量和其转置矩阵的乘积矩阵

性质（P18）

对于任意矩阵A，(AT)T=A

对于任意同型矩阵A和B，总有(A+B)T = AT + BT

对于任意一个矩阵A和一个数x，总有(xA)T=xAT

对于任意两个矩阵Am*n和Bn*p，总有(AB)T=BTAT

方阵的n次幂（P22）

给定任意一个方阵A，定义A的n次幂为n个A相乘后得到的方阵

(AB)^k ≠ (A^k)(B^k)

计算方阵的幂

数学归纳法（P22）

矩阵分解（P23）

矩阵的初等变换（P25）

方程组的变换

互换变换

倍法变换

消法变换

矩阵的初等变换

对应的增广矩阵实施三种初等变化等价于对方程组所做的三种初等变换

行阶梯形矩阵

零元在下方，每个非零行的第一个不为零的元（成为主元）的列指标随行指标的增大而严格增大

行最简形矩阵（简化行阶梯形矩阵）

每个非零行的主元都是1，主元所在列其他元都是0

初等矩阵

对n阶单位矩阵实施一次初等变换后得到的矩阵称为n阶初等矩阵

初等变换和初等矩阵的关系（P30，注意：消法变换利用初等矩阵时，行变换和列变换的参数意义不同）

相抵分类

定义

若矩阵A经过有限次初等变换变成B，，则称A与B相抵

性质

反身性

对称性

传递性

相抵标准型

对角元为1，其余为零

逆矩阵（P36）

引例：加密

假设编码信息为a(n*1矩阵)，A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵；用户甲将编码信息a左乘矩阵A的方式加密，发送给用户乙；用户乙收到加密信息Aa，再通过左乘矩阵进行解密，得到的结果为BAa。为了使加密再解密后的编码信息保持一致，即BAa = a

假设编码信息为b（m*1矩阵），A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵；用户甲将编码信息b左乘矩阵B的方式加密，发送给用户乙；用户乙收到加密信息Bb，再通过左乘矩阵进行解密，得到的结果为ABb。为了使加密再解密后的编码信息保持一致，即ABb = b

由a和b的任意性，BA = Em，AB = En ==》n=m

定义

设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA = E, 那么称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵

定理

初等矩阵都是可逆的

假设A，B为可逆矩阵，x ≠ 0

A-¹可逆且，(A-¹)-¹ = A

xA-¹可逆且，(xA)-¹ = x-¹A-¹

AT可逆且，(A)T-¹ = (A-¹)T

AB可逆且，(AB)-¹ = B-¹A-¹

矩阵A可逆等价于

A的相抵标准形为E

A可以表示为一些初等矩阵的乘积

求取逆矩阵

初等行变换（P40）

初等列变换（P40）

习题

①P42 8.

分块矩阵（P44）

分块矩阵的运算

分块矩阵加法

分块矩阵乘法

分块矩阵转置

分块矩阵数乘

特殊矩阵

分块对角矩阵

定义

对于n阶方阵A，如果A的分块矩阵满足主对角线上所有块都是方阵，而其余块都是零矩阵，那么A称为对角分块矩阵，若分块矩阵都是一阶的，那么A称为对角矩阵，A= diag(A1, A2, ……，As)

性质

对角分块矩阵的n次幂等于主对角线上各块方阵的n次幂所组成的矩阵

对角分块矩阵的逆矩阵等于主对角线上各块方阵的逆矩阵所组成的矩阵

矩阵行列式

列向量确定几何图形（P54）

两个列向量的映射

任意给定二维平面的两个列向量α1，α2，映射V都将这一对向量对应到一个数记作V(α1，α2)

规范性：α1，α2分别为(1, 0), (0, 1)时，V(α1，α2) = 1

双线性性：对于任意二维平面的四个列向量α1，α2，β1，β2，以及任意数k

V(α1+β1，α2) = V(α1，α2) + V(β1，α2)

V(α1，α2+β2) = V(α1，α2) + V(α1，β2)

V(kα1，α2) = V(α1，kα2) = kV(α1，α2)

反对称性：若α1 = α2，则V(α1，α2) = 0

有向性：V(α1，α2) = -V(α2, α1)

错切不变性：V(α1+kα2, α2) = V(α1, α2+kα1) = V(α1, α2)

V(α1, α2)的数值：a11a22 - a12a21

假设α1⊥α2，即α1和α2的内积<α1, α2>为零，那么|V(α1, α2)| = ||α1|*|α2||

证明：|V(α1, α2)|，为α1, α2确定四边形面积值

n个列向量的映射(n>=2)

n个列向量确定的n维图形均关于V(α1, α2, ……， αn)的映射性质等价于二维平面列向量的映射

排列的长度（P63）

定义

假设 k1k2···kn 是一个n元排列，将其变换成自然排列12···n，这个过程中需要做的两个数对调的变换的次数为排列 k1k2···kn 的长度记为l(k1k2···kn)

计算

便捷计算一个n元排列的长度：遍历n元排列每一个数，求取下标较其小，而数值较其大的数的个数，将求得的个数累和

逆序数（P63）

定义

假设一个n元排列k1k2···kn，如果有某两个数ki, kj满足ki>kj且i<j，那么称(ki, kj)为一个逆序对。排列中逆序对的个数称为逆序数，记为т(k1k2···kn)。逆序数为偶数称为偶排列，奇数称为奇排列。

性质

n元排列交换一次顺序，得到的新排列和旧排列的奇偶性相反

上三角矩阵和下三角矩阵（P67）

行列式关于初等变换的性质（P69）

① 若行列式的某一列元都是两数之和，则该行列式可以表示为两个行列式的和

②设A为n阶方阵，将A的某一列乘以数k得到B，则det(B) = kdet(A)

③设A为n阶方阵，将A的两列互换得到B，则det(B) = -det(A)

④若一个行列式有两列元对应成比例，则此行列式等于零

⑤设A为n阶方阵，将A的某一列的k倍加到另一列得到B，则det(B) = det(A)。（PS：可由①、②和④推出）

⑥设A为n阶方阵，则det(A^(T)) = det(A) 

行列式关于矩阵乘法的性质（P70）

①det(λA) = (λ^(n))det(A)

②det(AB) = det(A)det(B)

③设A为n阶方阵，则A是可逆矩阵，当且仅当det(A) ≠ 0

行列式的计算（P74）

代数余子式

在n阶行列式det(A)中,把aij所在行列划去后剩下的元按照顺序排列后组成的n-1阶行列式为aij的余子式Mij，Aij = Mij*(-1)^(i+j)为aij的代数余子式

行列式det(A)等于它的任一行(列)的各元与自己的代数余子式的乘积之和

在n阶行列式det(A)中，当i≠j时，第i行（列）和第j行（列）相对应元的代数余子式的乘积之和为零

克拉默法则（P83）

伴随矩阵

设A = (aij)n*n是一个n阶方阵，由行列式|A|的所有元的代数余子式Aij构成的矩阵称为A的伴随矩阵，其中Aij对应aij位置，并进行转置

设A = (aij)n*n是一个n阶方阵，则(A*)A = A(A*) = det(A)E

设n阶方阵A可逆，则|A*| = |A|^(n-1)

克拉默法则的定义及应用

如果线性方程组的系数矩阵的行列式|A| ≠ 0， 则该方程有唯一解

推论

如果线形方程组无解或者至少有两个不同的解，则它的系数矩阵的行列式detA = 0

设A是n阶方阵，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则他的系数矩阵的行列式 detA=0

矩阵的秩（P90）

子式（P91）

如果一个矩阵存在一个r阶非零子式，且所有的n+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称r为这个矩阵的秩；零矩阵的秩定义为0。矩阵A的秩记为R(A)。

转置不改变矩阵的秩

初等变换不改变矩阵的秩

可逆矩阵乘以矩阵不改变矩阵的秩，因为可逆矩阵可以看作是有限个初等矩阵的乘积

行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数

两个同型矩阵相抵，当且仅当它们具有相同的秩

线性方程组和向量空间

线性方程组解的情况（P98）

n元线性方程组 Ax=β

①无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,β)

②有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,β) = n

③有无穷多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,β) < n

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是 R(A)<n/det(A) = 0

设A是n阶可逆矩阵，且A的前n-1个顺序主子式都不为零，则A可以唯一地分解为A=LU，其中L是对角元全为1的下三角矩阵，U是上三角矩阵

向量组的线性相关性（P103）

向量空间和子空间

由n个数所组成的有序数称为n维向量，其中第i个数称为这个向量的第i个分量

全体n维向量，连同定义在它上面的加法运算和数乘运算一起，称为n维向量空间（P104）

满足加法封闭性

满足数乘封闭性

线性表出

给定向量β，和向量组α1, α2 ...αm，如果存在一组k1, k2 ...km，使得β = k1α1 + k2α2 + ...+kmαm，则称β是向量组α1, α2 ...αm的线性组合，或称向量β可由向量组α1, α2 ...αm线性表出

零向量可由任意向量组线性表出

等价命题

向量组(A = (α1, α2, ...αm)和向量γ

（1）向量γ可由向量组α1, α2, ...αm线性表出

（2）线性方程组x1α1 + x2α2 + ...+xmαm = γ

（3）R(A) = R(A,γ)

向量组(A = (α1, α2, ...αm)和向量组B(β1, β2, ...βs)

定义(不包括于等价命题)

若向量组A中的每个向量可由向量组B线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出，特别地，若向量组A和B可以相互线性表出，则称他们等价

向量组B可由向量组A线性表出

矩阵方程AX = B有解

R(A) = R(A,B)

向量组线性相关性的定义（P108）

定义

给定向量组α1, α2 ...αm，若存在不全为零的数k1, k2, ...km使得k1α1 + k2α2 + ...+kmαm = 0, 则称向量组α1, α2 ...αm线性相关；否则，称向量组α1, α2 ...αm线性无关

应用

单个向量α线性相关当且仅当α = 0

向量组α，β线性相关当且仅当α与β对应分量成比例

标准单位向量组线性无关

含有零向量的向量组线性无关

若一个向量组的部分组线性无关，则整个向量组也线性相关

证明线性相关的等价关系

给定n维列向量组α1，α2，...αn，且A = (α1，α2，...αn)，det(A) = 0

向量组α1，α2，...αm(m>=2)，至少有一个向量αi可由其余m-1个向量线性表出

向量组的秩（P112）

极大无关组（极大线性无关组）——若向量组的一个部分组α1，α2，α3，... αr满足

（1）部分组α1，α2，... αr线性无关

（2）向量组若存在其余向量，则其余向量均可由α1，α2，... αr表示

包含非零向量的向量组一定有极大线性无关组

若向量组α1，α2，α3，... αr可由向量组β1，β2，... βs线性表出，且r>s，那么向量组α1，α2，α3，... αr线性相关

等价的线性无关组所含的向量数目相等

向量组α1，α2，... αm的极大无关组所含向量的数目为该向量组的秩，记作R{α1，α2，... αm}

齐次线性方程组解的结构（P124）

n元齐次方程组Ax=0的解集是n维向量空间的一个子空间

齐次线性方程组Ax=0的解空间的一个基（极大线性无关组）ξ1，ξ2，ξ，... ξs称为Ax的一个基础解系；而c1ξ1 + c2ξ2 + ... + csξs称为Ax=0的通解，其中c1, c2, ... cs为任意常数

设Ax=0是n元齐次方程组，若R(A)=r，则方程组Ax=0的解空间的维数是n-r

若A(m*n) B(n*l) = O，则R(A) +R(B) <= n

A，为n阶方阵，R(A*)=

n，若R(A) = n

1，若R(A) = n-1

0，若R(A) < n-1

将Ax = 0 称为非其次线性方程组Ax = β的导出组

设向量ŋ1和ŋ2都是方程组Ax = β的解，则ŋ1-ŋ2是导出组的解

设向量ŋ是方程组Ax = β的解，ξ是导出组Ax = 0的解，则ξ+ŋ仍是方程组Ax = β的解

设γ0是非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，ξ1，ξ2，... ξn-r 是导出组的基础解系，则Ax=β的通解为γ0+c1ξ1+c2ξ2+...+cn-rξn-r

矩阵的相似分类与可对角化

相似矩阵及相似矩阵的性质（P135）

对于n阶方阵A，B如果存在可逆矩阵P使得P-¹AP=B，则称A与B相似，记为A~B。若B是对角矩阵，则称A可对角化

相似的矩阵具有相同的行列式

相似的矩阵具有相同的秩

相似矩阵具有相同的迹

相似矩阵有相同的特征多项式

方阵的特征值和特征向量（P138）

给定一个n阶方阵A，如果有一个实数λ和一个非零的n维列向量α满足Aα=λα，那么称λ是A的一个特征值，α是A的一个特征向量

给定一个n阶方阵A，实数λ是方阵A的特征值，且α是属于λ的一个特征向量的充要条件是|λE-A|=0，且α是线性方程组(λE-A)x=0的一个非零解，而|λE-A|=0为A的特征多项式

假设n阶方阵A=(aij)的所有特征值是λ1，λ2，...，λn(重根重复计算)，那么下列等式成立

tr(A) = λ1 + λ2 + ... + λn

det(A) = λ1λ2...λn

如果n阶方阵具有n个特征值λ1，λ2，...，λn，那么A可逆当且仅当它的所有特征值都不等于零，而且此时λ1-¹，λ2-¹，...，λn-¹就是A-¹的特征值

方阵对角化的条件（P148）

设A是一个n阶方阵，则A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

或A的n个特征值两两不同

或A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n

（性质）同一个方阵不同特征值对应的特征向量线性无关

施密特正交化方法（P155）

内积（P155）

定义：

对于任意给定的向量α=(a1, a2, ..., an)T和β=(b1, b2, ..., bn)T，规定<α, β> = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，而<α, β>就称为α，β的内积

对于任意的α=(a1, a2, a3, ... , an)T，向量α的长度||α|| = √<α, α> = √(a1² + a2² + ... + an²)

对于任意给定的两个非零向量α和β，定义它们的夹角为θ=arccos<α, β>/（||α||·||β||），当<α, β>=0时，称向量α与β正交

性质：

正定性：<α, α>=0，而且等号成立当且仅当α=0

对称性：<α, β> = <β, α>

线性：<α+β, γ> = <α, γ> + <β, γ>，<kα, β> = k<α, β>

定理：

柯西-施瓦茨不等式

<α, β>² <= <α, α>·<β, β>

施密特正交化（P158）

定义：

设V是欧式空间的一个子空间，V中的向量组α1, α2, ... , αm如果满足两两正交，那么称α1, α2, ... , αm是一个正交向量组。若更近一步满足||αi||=1(i=1, 2, ... , m)，那称其为一个标准正交向量组。由标准正交向量组构成的基称为标准正交基。

性质：

不含零向量的正交向量组必定线性无关

定理：

施密特正交化（P159）

正交矩阵（P160）

定义：

设A是实数上的n阶方阵，如果A的列向量组恰好是一个标准正交向量组，那么我们称A是一个正交矩阵

性质：

设A是实数上的n阶方阵，则A是正交矩阵，当且仅当(AT)A=A(AT)=En，当且仅当A的行向量组是一个标准正交向量组

若A与B都是n阶正交矩阵，那么AB也是正交矩阵

若A是正交矩阵，那么A-¹=AT，也是正交矩阵

若A是正交矩阵，那么det(A) = ±1

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