人教版高一数学必修一A版第一章思维导图模板

  1.4 充分条件与必要条件

一、充分条件与必要条件 充要条件的概念

符号含义

概念

要点

的逻辑

二、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题p与命题q的关系

从集合与集合间的关系看

集合与集合的关系

要点诠释：

充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，

③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

解题方法：

做此类题的时候，专注一个逻辑关系，比如，先只看命题p是否是命题q的充分条件，确定之后，再看是否是必要条件。将问题简单化，莫要复杂化。

三、充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）

要点诠释：

对于命题“若p，则q” ①如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”与其逆否命题“若”为真命题； ②如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若”为真命题； ③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.

做题技巧：

小范围可以推出大范围

大范围推不出小范围

四、典型题型

类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定

例题一

定义法

集合法

大范围与小范围

例题二

此类题，要理清楚谁是谁的充分条件或必要条件

【条件的一个必要不充分条件】可以转化为【“选项”推不出“条件”，并且 “条件”可以推出选项】

【条件的一个充分不必要条件】可以转化为【“选项”可以推出“条件”，并且 “条件”不可以推出选项】

类型二：充要条件的探求与证明

判断命题的充要关系有三种方法

1）定义法

分类讨论，充分性证明，若p是真命题，证明q也是真命题；必要性证明，若q是真命题，证明p也是真命题

例题一

例题二

例题三

与全称量词和存在量词的组合，要将情况考虑全面

2）等价法

对于命题“若p，则q”

①如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”与其逆否命题“若”为真命题；

②如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">¬</mi><mi>p</mi><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">则</mi><mi mathvariant="normal">¬</mi><mi>q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\neg p ,则 \neg q</annotation></semantics></math>¬p,则¬q”为真命题；

③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.

例题

3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.

类型三：充要条件的应用

解决参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.

例题1

例题2

  1.5 全称量词与存在量词

一、全称命题与存在命题的概念

概念

全称量词与存在量词

全称量词

存在量词

答案为B

或且非

二、全称命题与存在命题的否定形式

否定形式

常见量词的否定

命题的否定与否命题

三、全称命题与存在命题含参

全称命题：恒成立问题

有全称量词的命题问题

存在命题：存在性问题

有存在量词的命题问题

参数问题的基本方法

参变分离

参变分离总结

参变分离实例1

参变分离实例2

图像法

对于熟悉函数图像的函数

最值分析

函数单调性

定义域内值域的最大值最小值

四、四种命题及其关系

原命题、逆命题、否命题、逆否命题

  1.1 集合的概念

集合的概念

把研究的对象统称为元素

把一些元素组成的总体叫做集合

元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示

只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

集合的特征

集合中的元素具有确定性、互异性、无序性

用于判断是否构成集合

典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于5的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式2x+1＞7的整数解． 分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可． 解答：（1）小于5的自然数为0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}． （2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合． （3）由2x+1＞7得x＞3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．

典例2：下列集合中表示同一集合的是（  ） A．M={（3，2）}N={3，2}       B．M={（x，y）|x+y=1}N={y|x+y=1} C．M={（4，5）}N={（5，4）}   D．M={2，1}N={1，2} 分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．

确定性

确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可， 例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．

互异性

互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．

无序性

无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．

集合与元素的关系

对象a与集合M的关系是，两者必居其一.

题型一：验证元素是否是集合的元素

典例1：已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证： （1）3∈A；     （2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A． 分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可； （2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论． 解答：解：（1）∵3=22-12，3∈A； （2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立， 1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数， ∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾． 2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数， ∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾． 综上4k-2∉A．

题型二：已知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．

典例2：已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值． 分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a=3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．

集合的表示方法：

列举法

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

集合A={0,1,2}

常用于表示有限集合

描述法

{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.

集合M={x|x>1}

常用于表示无限集合

图示法

为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．

数轴表示法

韦恩图法

区间法

如:(a,b)、[a,b]、 (a,b]、(-∞,a)、(a,∞)

题型：集合表示的含义，主要是数集与点集的区别

典例：下面三个集合：A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={（x，y）|y=x2+1}，请说说它们各自代表的含义． 分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集． 解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A=R； B是数集，是由函数的值域构成，且B={y|y≥1}； C为点集，是由抛物线y=x2+1上的点构成．

{x|2x-1＞0}表示实数x的范围；{（x，y）|y-2x=0}表示方程的解或点的坐标．

集合的分类

常见集合

有理数集合：Q

实数集合：R

整数集合：Z

自然数集：N

正整数集合：

有限集

含有有限个数元素的集合

无限集

含有无限个数元素的集合