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第一章变量和函数

2022-05-27 23:18:04   0  举报

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数学分析第一章知识梳理

函数

数学分析知识点

作者其他创作

大纲/内容

函数的概念

一、变量

常量：在考察过程中保持不变的量

变量：过程中不断变化的量

实数

有理数：凡能表示为 形式的数

无理数：不能表示为 形式的数

实数的性质

（1）实数和直线上的点有着一一对应的关系，并称这条直线为实数轴

（2）有理数在实数中是稠密的，即两个不同的实数之间必存在有理数，两个不同实数之间也必存在无理数

（3）有理数±有理数=有理数 ‌            有理数±无理数=无理数 ‌            无理数±无理数=有理数或无理数

区间

开区间:(a,b)

闭区间:[a,b]

半开半闭区间:(a,b],[a,b)

(-∞,+∞)

邻域：特别的，是以为中心,长度为的开区间，我们称它为点 的邻域，记为

定义：如果对某个范围X（定义域）内的每一个实数x（自变量），可以按照确定的规律f,得到Y（值域）内唯一一个实数y（因变量）和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）  是y，记为f(x)，即y=f(x).有时称y是x的像，称x是y的一个逆像.数学符号：

二、函数

隐函数：一般说，凡是由方程 确定的函数关系，称为隐函数。（无法用式子表示）

三、函数的性质

单调性：x_2,有f(x_1)\geq f(x_2)\uparrow \forall x_1,x_2\in x,如果x_1<x_2,有f(x_1)\geq f(x_2)\downarrow" contenteditable="false"> 无等号为严格单调增加（减少）

奇偶性：奇函数：  ‌                  偶函数：【首先判断定义域是否对称】

周期性：0,\forall x\in X,s.t.f(x+l)=f(x),则f(x)为周期函数，l为其周期">

有界性

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\forall x\in X,\exists m,M\in R,s.t.m\leq f(x)\leq M；\forall x\in X,\exists M\in R,s.t.\left|f(x) \right|\leq M\Rightarrow\left|f(x)\right|\leq max\left\{\left|m \right|, \left|M \right|\right\}"> 既有上界，又有下界，则有界

无界：0,\exists x\in X,s.t.\left|f(x) \right|\geq M">

复合函数和反函数

复合函数：一般地说，若函数的定义域为U，而函数的定义域为X，值域为,并且包含在U内，也就是说,函数的值域不超过函数定义域U的范围，那么对于X内的每一个值x,经过中间变量u,相应地得到唯一确定的一个值y，于是y经过中间变量u而成为x的函数,记为,这种函数称为复合函数。必须验证函数的值域不能超过函数的定义域U

反函数：设这样的函数,它的定义域是X,值域是Y,并且对Y内的任何一个实数y，他在X的逆像x只有一个，这时候,如果把Y看作某个函数的定义域，那么对Y内的每一个y,就有X内的唯一一个逆像x.根据函数的定义，x便是y的函数了，这个函数的自变量是y,因变量是x,定义域是Y,值域是X.它是由函数f所产生的，称为函数f的反函数,记为,它在y的数值记为,即这时,当然也是的反函数,或者说,和互为反函数，前者的定义域和后者的值域相同，前者的值域和后者的定义域相同。.曲线和关于直线互相对称。

定理:设在某个区间X内严格单调增加（或减少），又设和这个相对应的值域是Y，那么必存在反函数，反函数的定义域为Y,值域为X，它在Y内也是严格单调增（或减少）的。

基本初等函数

指数函数： （其中为任意正常数，并设）

当a＞1时，函数是严格单调增加的<div>‌当0＜a＜1时，函数是严格单调减少的</div><div>‌不论a为何值(a＞0，a≠1)，函数图形都有经过点(1，0)</div><div>函数 和函数  的图形关于y轴对称</div>

对数函数：

定义域,值域

当a＞1时，函数是严格单调增加的 ‌当0＜a＜1时，函数是严格单调减少的 ‌不论a为何值(a＞0，a≠1)，函数图形都有经过点(1，0) ‌对数函数和指数函数互为反函数（e=2.71828）

幂函数

定义域：<div>当μ为正整数时，定义域为（-∞，+∞）.</div><div>当μ为负整数时，定义域为（-∞,0）U（0,+∞）.</div><div>当μ=（为正整数），若为奇数，定义域为（-∞，+a）；若为偶数，定义域为[0,+∞）.</div><div>当μ为无理数时，则以公式<span style="font-size: inherit; background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(68, 68, 68); font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration-line: none; font-family: 微软雅黑; display: inline !important; float: none;">作为<span style="font-size: inherit; background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(68, 68, 68); font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration-line: none; font-family: 微软雅黑; display: inline !important; float: none;">的定义，故定义域为（0,+∞）.</div><div><span style="font-size: inherit; background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(68, 68, 68); font-style: normal; font-weight: normal; text-align: left; text-decoration-line: none; font-family: 微软雅黑; display: inline !important; float: none;">当μ为有理数时，</div>

幂函数在第一象限内的图形： ‌当μ>0时，函数是严格单调增加的. ‌当μ<0时，函数是严格单调减少的.<div>不论μ为何值，函数图形都经过点（1，1）.</div>

三角函数

正弦函数：y=sin x

余弦函数：y=cos x

正切函数：y=tan x

余切函数:y=cot x

正割函数：y=sec x

余割函数:y=csc x

tanα •cotα＝1 sinα •cscα＝1 cosα •secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα  sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

反三角函数

y=arc sin x

y=arc cos x