首页  思维导图  详情

第二章极限和连续

2022-06-05 12:29:02   1  举报





AI智能生成

数学分析极限与连续

极限与连续

数学分析

知识点总结

作者其他创作

大纲/内容

函数的极限

函数在一点的极限

设函数在点的附近(但可能除掉点本身)有定义，又设A是一个定数，如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<<δ时，总有ε">,我们就称A是函数在点的极限,记为，或者记为。这时也称函数在点极限存在，其极限值是A。

对A的

函数极限的性质和运算

性质1：若，且A>B，则0">，当时，f(x)>g(x)

性质2：若，且0">，当时，f(x)g(x)，则

性质3：若而A>B（或A<B），则0">，当时，f(x)>B（或f(x)<B）

性质4：若，则A=B（说明了极限的唯一性）

性质5（夹逼性）：若0">，使当时，，并且，则

函数有界的定义：若两个数A和B,在区间X有则称f(x)是有界的；或0,">在区间X上有

性质6：若,则存在δ>0,使得f(x)在区间（去心领域）内有界，亦即在不等式所表示的区间内有界。

性质7（Heine定理）： （证明某些函数不存在，判断函数在某些值是收敛的）

运算法则1：若，，则，，，在商的情况下，要求。

运算法则2：若

单侧极限

右极限的定义：设函数在点的右领域（可能出去点本身）有定义，这里右领域是指,η是一个确定的正数.又设A是一个定数，如果对0,总\existsδ>0">,当时,有,就称A是函数f(x)在点的右极限,记为或,或,这时也称函数f(x)在点右极限存在。

左极限的定义：设函数在点的左领域（可能出去点本身）有定义，这里左领域是指,η是一个确定的正数.又设A是一个定数，如果对0,总\existsδ>0">,当时,有,就称A是函数f(x)在点的左极限,记为或,或,这时也称函数f(x)在点左极限存在。

函数在无限远处的极限

函数在正无限远处的极限的定义：若对0">，0">,当x>X时，总有,就称A为f(x)在正无限远处的极限，或者称A是当时f(x)的极限,记为或 或,这时也称函数f(x)在正无限远处的极限存在。

函数在负无限远处的极限的定义：若对0">，0">,当x<-X时，总有,就称A为f(x)在负无限远处的极限，或者称A是当时f(x)的极限,记为或 或,这时也称函数f(x)在负无限远处的极限存在。

函数在无限远处的极限的定义：若对0">，0">,当|x|>X时，总有,就称A为f(x)在无限远处的极限，或者称A是当时f(x)的极限,记为或 或,这时也称函数f(x)在无限远处的极限存在。

函数值趋于无穷大的情形

0，\existsδ>0，当0<|x-x_0|<δ时，有|f(x)|>G，">

0，\existsδ>0，当0<|x-x_0|<δ时，有f(x)<-G，">

0，\existsδ>0，当0<|x-x_0|<δ时，有f(x)>G，">

0，\existsδ>0，当0<x-x_0<δ时，有|f(x)|>G，">

0，\existsδ>0，当0<x-x_0<δ时，有f(x)>G，">

0，\existsδ>0，当0<x-x_0<δ时，有f(x)<-G，">

0，\existsδ>0，当0<x_0-x<δ时，有|f(x)|>G，">

0，\existsδ>0，当0<x_0-x<δ时，有f(x)>G，">

0，\existsδ>0，当0<x_0-x<δ时，有f(x)<-G，">

0，\exists X>0，当|x|>X时，有|f(x)|>G，">

0，\exists X>0，当|x|>X时，有f(x)>G，">

0，\existsδ>0，当|x|>X时，有f(x)<-G，">

0，\exists X>0，当x>X时，有|f(x)|>G，">

0，\exists X>0，当x>X时，有f(x)>G，">

0，\exists X>0，当x>X时，有f(x)<-G，">

0，\exists X>0，当x<-X时，有|f(x)|>G，">

0，\exists X>0，当|x|>X时，有|f(x)|>G，">

0，\exists X>0，当x<-X时，有f(x)<-G，">

性质8：若，那么；反过来，如果在的某一领域内（本身除外）f(x)无零点，并且，那么

性质9：若，而g(x)满足当时，0">，那么。

两个常用的不等式和两个重要的极限

对任何x,有;当时,有,当且仅当x=0时,"="成立

，

极限不存在的几种典例

趋于,如：

振荡，如：

左右极限不相等，单侧极限不相等。

无穷小量与无穷大量的阶

利用两个无穷小量的比值的极限来衡量谁趋近零的速度快

（证明）当时，称u(x)是v(x)的高阶无穷小量，记作,

当时，称v(x)是u(x)的低阶无穷小量，记作同上

假如0">，当时，即，总有，则，是一个有界量。记作：

,在某去心邻域内，，，总有，则称当时，u(x)是v(x)的同阶无穷小量

,称u(x)与v(x)是等价无穷小量，记作：

注：v(x)一般采用来判定u(x)是n阶无穷小量。

两个无穷大量的比值的极限的比较。

u(x),v(x)均为无穷大量

,称u(x)是v(x)的高阶无穷大量，v(x)是u(x)的低阶无穷大量

1,α>0,β>0)">

假如0,\forall x,0<|x-x_0|<δ,|{u(x)\over v(x)}|\leq A">，是有界量，记作：,u(x)与v(x)是同阶无穷大量

同阶

数列的极限和无穷大量

数列极限的定义

无穷多个数 按次序一个接一个地排练下去，就构成一个数列，通项 ,记为：

设是一个数列，a是实数。如果对任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时，都有，就称a是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于a，记为或，这时也称数列极限存在。

0,\exists N,当n>N时，使得|x_n-a|<ε">

0,\exists N,当n>N时，使得|x_n-a|<Mε(M为正常数)">

N时，x_n\in O(a,ε)">

当a等于0时，也就是以零为极限时，称为无穷小量

无穷小量是极限为0，很小的量是数值

数列是否存在极限值与他从某项后的所有项有关，而与其前有限项无关，在讨论极限时可以添加或去掉或改变有限项的值。

0,\exists N,当N>n时，使得|x_n|<ε">

0,\forall N,当n>N时，使得|x_n-a|\geqε（发散）">

数列极限的性质

定理1（保号性）：若，，且a>b，则总正整数N，当n>N时，不等式y_n">成立

推论1：若 且存在正整数N，当n>N时，不等式y_n">都成立，则；特别地，若，且存在正整数N，当n>N时，有b">，则

推论2：若，且a>b（b为常数），则存在正整数N，当n>N时，有b">;特别地，若，且a>0，，当n>N时，有0">

推论3：若，且a<c（c为常数），则，当n>N时，有；特别地，若，且a<0，则，当n>N时，有

定理2（唯一性）：若数列收敛，则它的极限是唯一的

定理3（夹逼性）：若N时，有x_n\leq y_n\leq z_n,且\lim_{n \to \infty}x_n=\lim_{n \to \infty}z_n=a,则\lim_{n \to \infty}y_n=a">

推论：N时，有a\leq y_n\leq z_n(或z_n\leq y_n\leq a),且\lim_{n \to \infty}z_n=a,则\lim_{n \to \infty}y_n=a">

定理4：有极限的数列是有界的（逆定理不成立）

有界数列

若两个数A,B（设A<B），数列中的每一项均在闭区间内，亦即，则称为有界数列。A为上界，B为下界

上界，下界不唯一

;

数列极限的运算

特别地， 两个无穷小量的代数和认为无穷小量

单调有界数列

设{}是一个数列，如果<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="x_1\leq x_2\leq x_3\leq…\leq x_n\leq x_{n+1}\leq…,就说这个数列是单调增加（上升）的；如果x_1\geq x_2\geq x_3\geq…\geq x_n\geq x_{n+1}\leq…,就说这个数列是单调下降（减少）的" contenteditable="false"> 无等号为严格单调增加（减少）

单调有界数列必有极限

无穷大量的定义

0,总\exists正整数N,当n>N时，必有|x_n|>G,就有\left\{x_n\right\}是一个无穷大量。记为：\lim_{n \to \infty}x_n=∞或x_n\to∞(n\to∞)">

0,\exists N,当n>N时,有|x_n|>G,\left\{x_n\right\}是一个无穷大量">

0,\exists N,当n>N时，必有x_n>G,就有\left\{x_n\right\}是一个正无穷大量。记为：\lim_{n \to \infty}x_n=+∞或x_n\to+∞(n\to∞)">

0,\exists N,当n>N时，必有x_n<-G,就有\left\{x_n\right\}是一个负无穷大量。记为：\lim_{n \to \infty}x_n=-∞或x_n\to-∞(n\to∞)">

无穷大量是一个变量，随n变化

无穷大量的性质和运算

无穷大量和无穷小量的关系

定理六：若为无穷大量，则为无穷小量；若为无穷小量，则为无穷大量

无穷大量的运算法则

（非同号时不成立）