第二章 极限和连续
2022-06-05 12:29:02 0 举报AI智能生成
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数学分析极限与连续
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大纲/内容
设函数在点的附近(但可能除掉点本身)有定义，又设A是一个定数，如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<<δ时，总有ε\
对A的span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
函数在一点的极限
性质1：若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
性质2：若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
性质3：若而A>B（或A<B），则0\"，当span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\"0|x-x_0|时，f(x)>B（或f(x)<B）
性质4：若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
性质5（夹逼性）：若0\"，使当span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\"0|x-x_0|时，，并且span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"3\" data-equation=\
函数有界的定义：若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\exists\
性质6：若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\lim_{x \\to x_0}f(x)=A\" contenteditable=\"false\
性质7（Heine定理）：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
运算法则1：若，，则，，，在商的情况下，要求。
运算法则2：若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
函数极限的性质和运算
右极限的定义：设函数在点的右领域（可能出去点本身）有定义，这里右领域是指span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
左极限的定义：设函数在点的左领域（可能出去点本身）有定义，这里左领域是指span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\
单侧极限
函数在正无限远处的极限的定义：若对0\"，0\
函数在负无限远处的极限的定义：若对0\"，0\
函数在无限远处的极限的定义：若对0\"，0\
函数在无限远处的极限
0，\\existsδ0，当0|x-x_0|G，\"
0，\\existsδ0，当0|x-x_0|δ时，有f(x)
0，\\existsδ0，当0x-x_0G，\"
0，\\existsδ0，当0x-x_0δ时，有f(x)
0，\\existsδ0，当0x_0-xG，\"
0，\\existsδ0，当0x_0-xδ时，有f(x)
0，\\exists X0，当|x|X时，有|f(x)|G，\"
0，\\exists X0，当|x|X时，有f(x)G，\"
0，\\existsδ0，当|x|X时，有f(x)
0，\\exists X0，当xX时，有|f(x)|G，\"
0，\\exists X0，当xX时，有f(x)G，\"
0，\\exists X0，当xX时，有f(x)
0，\\exists X0，当xG，\"
0，\\exists X0，当x-X时，有f(x)
性质8：若，那么；反过来，如果在的某一领域内（本身除外）f(x)无零点，并且，那么
性质9：若，而g(x)满足当span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\"0|x-x_0|时，0\"，那么。
函数值趋于无穷大的情形
，
趋于span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\infty\
振荡，如：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
左右极限不相等，单侧极限不相等。
极限不存在的几种典例
两个常用的不等式和两个重要的极限
函数的极限
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
当时，称v(x)是u(x)的低阶无穷小量，记作同上
假如0\"，当span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"0ab+\\infty\
注：v(x)一般采用来判定u(x)是n阶无穷小量。
利用两个无穷小量的比值的极限来衡量谁趋近零的速度快
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\infty\
假如span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
两个无穷大量的比值的极限的比较。
同阶
无穷小量与无穷大量的阶
无穷多个数span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
设是一个数列，a是实数。如果对任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时，都有span class=\"equation-text\" data-index=\"2\" data-equation=\"|x_n-a|，就称a是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于a，记为或，这时也称数列极限存在。
当a等于0时，也就是以零为极限时，称为无穷小量
无穷小量是极限为0，很小的量是数值
数列是否存在极限值与他从某项后的所有项有关，而与其前有限项无关，在讨论极限时可以添加或去掉或改变有限项的值。
数列极限的定义
定理1（保号性）：若，，且a>b，则总正整数N，当n>N时，不等式y_n\"成立
推论1：若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
推论2：若，且a>b（b为常数），则存在正整数N，当n>N时，有b\";特别地，若，且a>0，，当n>N时，有0\"
推论3：若，且a<c（c为常数），则，当n>N时，有span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\"x_n；特别地，若，且a<0，则，当n>N时，有span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"5\" data-equation=\"x_n
定理2（唯一性）：若数列收敛，则它的极限是唯一的
定理3（夹逼性）：若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
推论：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
定理4：有极限的数列是有界的（逆定理不成立）
上界，下界不唯一
有界数列
数列极限的性质
特别地， 两个无穷小量的代数和认为无穷小量
数列极限的运算
设{}是一个数列，如果span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
单调有界数列必有极限
单调有界数列
无穷大量是一个变量，随n变化
无穷大量的定义
定理六：若为无穷大量，则为无穷小量；若为无穷小量，则为无穷大量
无穷大量和无穷小量的关系
无穷大量的运算法则
无穷大量的性质和运算
数列的极限和无穷大量
函数在 点连续的定义（局部性质）：若函数f(x)在点的附近包括span class=\"equation-text\" data-index=\"2\" data-equation=\"x_0\" contenteditable=\"false\
对f(x)任意ε领域span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
（缺一不可）不再要求span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
若一个函数f(x)在点 满足span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"f(x_0-0)=f(x_0)\" contenteditable=\"false\
若一个函数f(x)在点 满足span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"f(x_0+0)=f(x_0)\" contenteditable=\"false\
函数f(x)在点连续的充要条件为函数在此点既是左连续也是右连续。
连续的定义
设函数f(x)在点 的某处去心领域内定义，则下列情形，f(x)在点 不连续:（1）f(x)在点 无定义;（2）f(x)在点 有定义但2极限 不存在;上述均成立 这样的点称为间断点
第一类间断点：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
第二类间断点：
不连续点的类型
定理1：在某点连续的有限个函数经有限次和差积商（分母不为零）运算结果仍是一个在该点连续的函数。
定理2：连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调递增（递减）。（严格单调函数才具有反函数）
定理3：连续函数的复合函数是连续的。（极限号和函数符号可以互换位置）
连续函数的性质和运算
基本初等函数在定义区间内连续，函数经四则运算仍连续。连续的复合函数连续。一切初等函数在定义区间内连续。
初等函数的连续性
定理1：在:闭区间上连续的函数，在该区间上一定有最大值和最小值。（若函数在开区间上连续，在闭区间内有间断点，结论不一定成立。）
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界。（有界性）
最值定理
定理2（零点存在定理）:span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
定理3（介值定理）：设span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
介值定理
对span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一致连续性（整体性质）
闭区间上连续函数的性质
连续函数
极限和连续
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