大学物理电场
2022-10-31 19:01:31 0 举报AI智能生成
大学物理电场，环路定理
作者其他创作
大纲/内容
前言
电荷定向移动产生电流<br>电荷、电流产生电场<br>电生磁、磁生电<br>电场、磁场作用于物质<br>磁场会作用于电场
场和物质是自然界物质存在的两种形式
场与实物的关系
共同点
<font color="#f44336">都是物质的一种形态，都是客观存在的（最本质的差异）</font>
不能脱离时间与空间。都存在于空间中，且传播都需要时间
实物和场都具有粒子性和波动性
实物和场都有一定的运动规律
差异
运动
宏观物体遵循牛顿运动定律，在受力的作用下产生加速度
场不会因受力而加速运动
引力场方程
麦克斯韦方程组
薛定谔方程
质量
物体的静质量不为0
场的静质量为0
分布
物体分布具有集中性
场分布具有广延分布
兼容性
实物的空间不兼容性
场的空间兼容性以及场的可叠加性
本身
场的连续性
实物的分立性
速度
实物不会超过光速，而且速度会随着参考系选择的不同而变化
场的速度恒为光速，且速度不随<font color="#f44336">惯性参考系</font>的选择变化
互相转化
互相作用
场的描述
空间点函数
辅助图形
引入通量和环流来描述矢量场
四张基本相互作用
引力相互作用
电磁相互作用
强相互作用
弱相互作用
电荷
电荷
分类
正电荷：规定丝绸摩擦过的玻璃棒带正电
负电荷：用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电
特征
同种电荷相排斥，异种电荷相吸引（普遍、本质）
组成带电体
带电梯概念
电量概念
量子化
概念：某物理量的值不是连续可取值而只能取一些分立值，称其为量子化
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="q=ne,e=1.602*10^{-19}C,n=+-1,+-2,..."><span></span><span></span></span>
宏观点电体的带电量q>>e，电荷的不连续性表现不出来
电荷守恒定律
摩擦起电等物理变化和化学变化
核聚变反应<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="{}_1^2\!H+{}_1^3H->{}_2^4\!He+{}_0^1\!n"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="铀核衰变反应{}_{92}^{238}\!U\to{}_{90}^{234}\!Th+{}_2^4\!He"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="正负电子湮灭e^++e^-\to2\gamma"><span></span><span></span></span>
库伦定律
概念
数学表达式<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{F}=K{{q_1q_2} \over {r^2}}\vec{r}^0"><span></span><span></span></span>
适用条件：点电荷（d<<r)，真空，电荷静止，计算时要带电性符号，F>0为斥力，F<0为引力
矢量式
比例系数K的确定：引入新的常量（真空电容率)代替K，<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="k=9.0*10^{-9}C^{-2}m^2N"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="k={1\over{4}\pi\epsilon_0}"><span></span><span></span></span>
静电力满足叠加原理
研究分子、原子、电子之间作用力时忽略万有引力，因为万有引力远小于静电力
电场
静电场的3个基本特征
带电体电场中受到电场力的作用——电场力
带电体在电场中移动时，电场力对它作功——具有能量
对电场中的导体和电介质有静电感应和极化现象。
电场强度
试验电荷
带电量很小：对原点场基本无影响
线度足够小（点电荷）：反映空间任意一点性质
<font color="#b71c1c"><b>推导过程</b></font>
说明
电场中某点的电场强度E 等于单位正电荷在该点所受 的电场力；方向是正电荷在该处所受力的方向。
E是表征静电场中给定点电场性质的 物理量，与试验电荷存在与否无关；
E是矢量，是空间的坐标函数
子主题<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}=\vec{E}(\vec{r})"><span></span><span></span></span>
点电荷的电场强度
叠加原理
电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）
计算
点电荷
电偶极子的电场强度
点电荷系
电荷连续点电体
电荷线分布
有限长直带电线
P点在有限长带电直线的中垂线上
P点在半限长带电直线的端点
无限长直带电直线
均匀带电圆环的轴线上任意一点P的电场强度
半圆环圆心处的电场强度
直线，圆环组合的电场强度
电荷面分布
均匀带电<b><font color="#b71c1c">薄</font></b>圆盘轴线上的电场强度
无线大带电平面
电荷体分布
电通量
电场
存在
电场是物质存在的一种形式，由带电体所激发，电场是矢量场
电场线
意义：形象地描述电场，将看不见的电场可视化
方向
曲线上每一点的切向为该点的场强方向
大小
电场线的密度表示场强的大小
通过垂直于场强方向的单位面积电场线的条数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E={{dN} \over {dS_{垂直}}}"><span></span><span></span></span>
性质
电场线起源于正电荷（或无限远处），终止于负电荷（或无限远处）
电场线不闭合
两条电场线不会相交
电场强度通量（电通量）
概念
通过某面积S的电通量等于通过S的电场线的条数
常见分类及计算方法
均匀电场，S是平面，且与电场线垂直<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi_e=ES"><span></span><span></span></span>
均匀电场，S是平面，与电场线不垂直<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi_e=ES\cos\theta或\phi_e=\vec{E}\cdot\vec{S}"><span></span><span></span></span>
S是任意曲面，E是非均匀电场，把S分成无限多dS
通过dS的电通量<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="d\phi_e=\vec{E}\cdot{d}\vec{S}"><span></span><span></span></span>
通过整个曲面的电通量<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi_e=\int_{}^{} \, \mathrm{d}\phi_e=\int_{S}^{} E\cos\theta\, \mathrm{d}S"><span></span><span></span></span>
对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi_e=\oint_{S}\vec{E}\cdot{d}\vec{S}=\oint_{S}E \cos\theta{d}S"><span></span><span></span></span>
S为封闭曲面
电场线穿出处，<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\theta_1<{{\pi} \over {2}},d\phi_{e1}>0"><span></span><span></span></span>
电场线穿入处<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi_2>{{\pi} \over 2},d\phi_{e2}<0"><span></span><span></span></span>
总结：通过闭合曲面的电通量为所有面元上电通量的代数和，即净穿出封闭曲面的电场线总数
均匀电场中各种曲面的电通量
高斯定理
内容
任意闭合曲面S（简称高斯面）：通过任意闭合曲面S的电通量<br>等于<br>该曲面所包围的所有电荷的代数和除于
公式：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\boldsymbol{\Phi}_e=\oiint_s \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\boldsymbol{s}}=\frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{S 内\dot{}} \boldsymbol{q}_{\boldsymbol{i}}"><span></span><span></span></span>
S内、外一切电荷在S面的面元<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="d\vec{s}处的合场强"><span></span><span></span></span>
S内的电荷电量的代数和
验证
点电荷q被任意球面包围
点电荷q被任意曲面包围
不包围点电荷的任意闭合曲面S
多个点电荷被任意闭合曲面包围
说明
高斯面可以任意取，高斯定理总成立。
高斯定理不但适用于静止电荷和静电场，也适用于运动 电荷和变化的电磁场
静电场为有源场
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="q>0,\phi_E>0,电场力穿出闭合曲面，正电荷为静电场的源头"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="q<0,\phi_E<0,电力线进入闭合曲面，负电荷为静电场的尾闾"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\oint_S \vec{E} \cdot d \vec{s}=\frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i"><span></span><span></span></span><br>
E是空间所有电荷产生
q是高斯面内的电荷
应用
均匀带电球面
球外任意一点的E
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \vec{r}^0 \quad(r>R)"><span></span><span></span></span>
球内任意一点的E
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}=0 \quad(r<R)"><span></span><span></span></span><br>
两个带电球壳<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="（R_1,R_2),(q_1,q_2)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{q_1+q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \quad\left(r>R_2\right)"><span></span><span></span></span><br>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \quad\left(R_1<r<R_2\right)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=0 \quad\left(r<R_1\right)"><span></span><span></span></span>
均匀带电球体，半径为R，总电量为q
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{r}^0 \quad(r>R)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}=\frac{q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \vec{r}^0 \quad(r \leq R)"><span></span><span></span></span>
无限大均匀带电平面外的电场分布，设带你和面密度为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\sigma"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}"><span></span><span></span></span><br>
两个无限大均匀带电平板，带电量为等量异号，其场强的分布情况
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=0"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}"><span></span><span></span></span>
E=0
无线长均匀带电直线，线密度为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lambda,求距直线为r处的电场强度"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}"><span></span><span></span></span>
厚度为d的无限大均匀带电平板，电荷体密度为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\rho"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="无限大平板外侧E=\frac{\rho d}{2 \varepsilon_0}"><span></span><span></span></span>
无限大平板内部<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{\rho|x|}{\varepsilon_0}"><span></span><span></span></span>
静电场的环路定理 电势
静电场力的功
点电荷电场力的功
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A=\int d A=\frac{q q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{r_A}^{r_B} \frac{\mathrm{d} r}{r^2}=\frac{q q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r_A}-\frac{q q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r_B}"><span></span><span></span></span>
点电荷组的电场中电场力的功
<br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\cdots+\vec{E}_n"><span></span><span></span></span>
任意带电体电场中电场力的功
思想：可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷——点电荷组
静电场的环路定理
在静电场中，电场强度<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{E}的环流等于零"><span></span><span></span></span>
即静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\oint_l \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}=0"><span></span><span></span></span>
要求
环路定理是静电场的一重要定理
环路定理是要求电场线不能闭合
静电场是有源场、<font color="#a91409" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#f66358;">无旋场</font>
路径无关
无旋向量场，旋度为0
电势能（电位能）
电势能差
在力学中，保守力做功等于重力势能的减少量
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A_{A \rightarrow B}=E_{\mathrm{p} A}-E_{\mathrm{p} B}"><span></span><span></span></span>
电场力做功&势能
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{aligned}A_{A \rightarrow B}=\int_A^B q_0 \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &=\frac{q q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r_A}-\frac{q q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r_B} \\&=W_A-W_B\end{aligned}"><span></span><span></span></span>
q0在电场中A、B两点电势能之差等于把q0自A点移至B点过程中电场力所做的功
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{gathered}A_{A B}=W_A-W_B \\A_{A B} \begin{cases}>0, & W_B<W_A \\<0, & W_B>W_A\end{cases}\end{gathered}"><span></span><span></span></span>
电势能
电势能差是绝对值，电势能是相对值
试验电荷q0在电场中的电势能等于把它从该点移动到零势能处静电场力做的功
<font color="#6c0d06" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#f88b83;">零势能的选择原则</font>：当（源）电荷分布在有限范围内时，选择无穷远处；
点电荷q0在点电荷q的电场中某点的电势能：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="W=\frac{q q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r}"><span></span><span></span></span>
电势差和电势
电势差
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="电势能差W_A-W_B=\int_A^B q_0 \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{W_A}{q_0}-\frac{W_B}{q_0}=\int_A^B \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}"><span></span><span></span></span><br>
电势差
<font data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#e96c6c;" color="#921616">定义</font>：A,B两点之间的电势差是<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="V_A-V_B=\int_A^B \vec{E} \cdot d \vec{l}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
<font color="#751212" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#ec8181;">意义</font>
从从A点到B点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能的差
电势
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_A-V_B=\frac{W_A}{q_0}-\frac{W_B}{q_0}=\int_A^B \vec{E} \cdot d \vec{l}"><span></span><span></span></span><br>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_A=\frac{W_A}{q_0}"><span></span><span></span></span>
电场中A点的电势，就是把单位正电荷从A点移动到零势能位置时，静电场力所做的功
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_A=\int_A^{V=0 \text { 点 }} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}"><span></span><span></span></span>
注：电势的单位是<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="JC^{-1},1V=1JC^{-1}"><span></span><span></span></span>
<font color="#5e0e0e" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#ef9191;">电场力的功</font><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A_{A B}=W_A-W_B=q_0\left(V_A-V_B\right)"><span></span><span></span></span>
求电场力的功
电势能差值
电势差值
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="讨论电场力的功、能量\implies讨论电势能\implies讨论电势"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="能量单位：1eV=1.602\times10^{-19}J"><span></span><span></span></span>
电势计算
点电荷的电势<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_A=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r} \quad \begin{cases}q>0, & V>0 \\ q<0, & V<0\end{cases}"><span></span><span></span></span>
电势叠加原理：各点电势<font color="#cc0000" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#ff3d3d;">代数和</font>！<font color="#cc0000" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#ff3d3d;">注意</font>：各点必须是<font color="#cc0000" data-darkreader-inline-color="" style="--darkreader-inline-color:#ff3d3d;"><font style="">同一个</font>电势零点</font>
几种典型带电体的电势
求解电势思路
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_P=\int \frac{\mathrm{d} q}{4 \pi \varepsilon_0 r}"><span></span><span></span></span><br>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_A=\int_A^{V=0} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}"><span></span><span></span></span><br>
例题总结
电偶极子
正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上，求圆环轴心上距环心为x处点P的电势
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_P=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{x^2+R^2}}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="均匀带电薄圆盘轴线上x处的电势\sigma"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_P=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left(\sqrt{x^2+R^2}-x\right)"><span></span><span></span></span>
当x>>R时，<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V \approx Q / 4 \pi \varepsilon_0 x \text { 点电荷的电势 }"><span></span><span></span></span>
均匀带电球面(R,q)的电势分布
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V= \begin{cases}\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R} & r \leq R \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} & r>R\end{cases}"><span></span><span></span></span>
子主题
两个均匀带电球面同心放置，半径分别为R1,R2，且R1<R2。电荷量分别为q1,q2
无限长带电直导线外任一点的电势（带电密度为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lambda)"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_p=-\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r \quad \begin{cases}r<1 & V_P>\mathbf{0} \\ r>1 & V_P<0\end{cases}"><span></span><span></span></span><br>
有限长直线电势
叠加
积分
如图所示，真空中一长为L的带电细直杆，总电荷为q，试求 在直杆延长线上距杆一端为d的一点的电场强度和电势。
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{d(d+L)}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{L} \ln \frac{d+L}{d}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="无限大带电平板外任一点电势\sigma"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="V_P=-\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} r"><span></span><span></span></span>
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