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2023-01-05 21:59:48   3  举报

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AI智能生成

数二

人工智能

模版推荐

作者其他创作

大纲/内容

函数、极限、连续

函数

奇偶性

f'（x）是偶（奇）函数" style="">

（）

周期性

（）

有界性

极限（李4第二套第一题！！！）

性质

0 \implies f(x)>0" style="">

存在准则

极限计算

洛必达

分子分母同除以最高阶的无穷大

夹逼定理

定积分定义

夹逼原理

取对数化为n项和

连续

连续定义

间断点（不连续必定不可导！！！）

连续函数性质

0

基本不等式

<math><semantics><mrow><mfrac><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo><</mo><mi>l</mi><mi>n</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x</annotation></semantics></math>1+xx<ln(1+x)<x

（当a=b时，等式成立）

1+x" style="">

极坐标方程

微分

导数

可微

关系

高阶导数计算

归纳法

泰勒公式（用于求特定点的高阶导数），泰勒展开后，找到的系数，系数等于，即可求得

利用现有高阶导数公式，，，

特殊函数求导

微分中值定理

极值

（驻点和不可导点）

0极小，n为偶数" style="">

曲线的凹凸

渐近线

曲率

题型

积分

不定积分

概念

+C +C +C 记得+C

存在性

基本不定积分

<math><semantics><mrow><mo>∫</mo><msup><mi>a</mi><mi>x</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mi>x</mi></msup><mrow><mi>l</mi><mi>n</mi><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int a^x dx=\frac{a^x}{lna}+C</annotation></semantics></math>∫axdx=lnaax+C

定积分

定义

性质

题型

特殊

反常积分(分段讨论)

无穷区间

\begin{aligned} &p>1，收敛\\ &p\leq1，发散 \end{aligned} \right." style="">

无界函数

\begin{aligned} &p<1，收敛\\ &p\geq1，发散 \end{aligned} \right." style="">

加减乘除

万能公式（无敌）

积分应用

微分方程

一阶微分

可降阶微分

<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">缺</mi><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">型</mi><mi mathvariant="normal">：</mi><mi>p</mi><mo>=</mo><msup><mi>y</mi><mo mathvariant="normal">′</mo></msup><mi mathvariant="normal">，</mi><msup><mi>p</mi><mo mathvariant="normal">′</mo></msup><mo>=</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mo mathvariant="normal">′</mo><mo mathvariant="normal">′</mo></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">缺y型：p=y'，p'=y''</annotation></semantics></math>缺y型：p=y′，p′=y′′

高阶微分

<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">定</mi><mi mathvariant="normal">理</mi><mi mathvariant="normal">（</mi><mi mathvariant="normal">线</mi><mi mathvariant="normal">性</mi><mi mathvariant="normal">无</mi><mi mathvariant="normal">关</mi><mi mathvariant="normal">就</mi><mi mathvariant="normal">是</mi><mi mathvariant="normal">比</mi><mi mathvariant="normal">值</mi><mi mathvariant="normal">不</mi><mi mathvariant="normal">为</mi><mi mathvariant="normal">常</mi><mi mathvariant="normal">数</mi><mi mathvariant="normal">）</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">定理（线性无关就是比值不为常数）</annotation></semantics></math>定理（线性无关就是比值不为常数）

题型

多元函数

重极限

常用方法

<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">利</mi><mi mathvariant="normal">用</mi><mi mathvariant="normal">无</mi><mi mathvariant="normal">穷</mi><mi mathvariant="normal">小</mi><mi mathvariant="normal">量</mi><mi mathvariant="normal">与</mi><mi mathvariant="normal">有</mi><mi mathvariant="normal">界</mi><mi mathvariant="normal">变</mi><mi mathvariant="normal">量</mi><mi mathvariant="normal">之</mi><mi mathvariant="normal">积</mi><mi mathvariant="normal">为</mi><mi mathvariant="normal">无</mi><mi mathvariant="normal">穷</mi><mi mathvariant="normal">小</mi><mi mathvariant="normal">量</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量</annotation></semantics></math>利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量

题型

<math><semantics><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">比</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">高</mi><mi mathvariant="normal">阶</mi><mi mathvariant="normal">，</mi><mi mathvariant="normal">一</mi><mi mathvariant="normal">般</mi><mi mathvariant="normal">极</mi><mi mathvariant="normal">限</mi><mi mathvariant="normal">不</mi><mi mathvariant="normal">存</mi><mi mathvariant="normal">在</mi><mi mathvariant="normal">，</mi><mi mathvariant="normal">解</mi><mi mathvariant="normal">法</mi><mi mathvariant="normal">：</mi><mi mathvariant="normal">加</mi><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">绝</mi><mi mathvariant="normal">对</mi><mi mathvariant="normal">值</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">然</mi><mi mathvariant="normal">后</mi><mi mathvariant="normal">夹</mi><mi mathvariant="normal">逼</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x^2y比x^2+y^2高阶，一般极限不存在，解法：加0\leq|绝对值|,然后夹逼</annotation></semantics></math>x2y比x2+y2高阶，一般极限不存在，解法：加0≤∣绝对值∣,然后夹逼

连续

<math><semantics><mrow><msub><mi>lim</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>o</mi></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>y</mi><mi>o</mi></msub><mo>)</mo></mrow></msub><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\lim_{(x,y)\to(x_o,y_o)}f(x,y)=f(x_0,y_0)</annotation></semantics></math>lim(x,y)→(xo,yo)f(x,y)=f(x0,y0)

偏导数

全微分

偏导数和全微分的计算

题型

<math><semantics><mrow><mi>P</mi><mn>164</mn><mi mathvariant="normal">例</mi><mn>5</mn><mi mathvariant="normal">，</mi><mi mathvariant="normal">例</mi><mn>6</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex"></annotation></semantics></math><math><semantics><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal">，</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal">有</mi><mi mathvariant="normal">一</mi><mi mathvariant="normal">阶</mi><mi mathvariant="normal">连</mi><mi mathvariant="normal">续</mi><mi mathvariant="normal">导</mi><mi mathvariant="normal">数</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(xy-yf(x))dx+(f(x)+y^2)dy=du(x,y)，f(x)有一阶连续导数</annotation></semantics></math>(xy−yf(x))dx+(f(x)+y2)dy=du(x,y)，f(x)有一阶连续导数

<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">有</mi><mi mathvariant="normal">题</mi><mi mathvariant="normal">设</mi><mi mathvariant="normal">可</mi><mi mathvariant="normal">知</mi><mi mathvariant="normal">，</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">∂</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∂</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo separator="true">,</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">∂</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∂</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">有题设可知，\frac{\partial u}{\partial x}=xy-yf(x),\frac{\partial u}{\partial x}=f(x)+y^2</annotation></semantics></math>有题设可知，∂x∂u=xy−yf(x),∂x∂u=f(x)+y2

<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">对</mi><mi mathvariant="normal">第</mi><mi mathvariant="normal">一</mi><mi mathvariant="normal">个</mi><mi mathvariant="normal">等</mi><mi mathvariant="normal">式</mi><mi mathvariant="normal">进</mi><mi mathvariant="normal">行</mi><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">偏</mi><mi mathvariant="normal">导</mi><mi mathvariant="normal">，</mi><mi mathvariant="normal">对</mi><mi mathvariant="normal">第</mi><mi mathvariant="normal">二</mi><mi mathvariant="normal">个</mi><mi mathvariant="normal">等</mi><mi mathvariant="normal">式</mi><mi mathvariant="normal">进</mi><mi mathvariant="normal">行</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">偏</mi><mi mathvariant="normal">导</mi><mi mathvariant="normal">，</mi><mi mathvariant="normal">可</mi><mi mathvariant="normal">得</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal">和</mi><msup><mi>f</mi><mo mathvariant="normal">′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">对第一个等式进行y偏导，对第二个等式进行x偏导，可得x-f(x)和f'(x)</annotation></semantics></math>对第一个等式进行y偏导，对第二个等式进行x偏导，可得x−f(x)和f′(x)

极值与最值

无条件极值

条件极值

计算时，如果函数具有轮换对称性，可以用x=y=z直接求解。

题型

二重积分

性质

积分中值定理

题型

常识

<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">三</mi><mi mathvariant="normal">角</mi><mi mathvariant="normal">形</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">三角形</annotation></semantics></math>三角形