（5下第4单元）分数的意义和性质思维导图模板

分数的意义

在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示．

把一个或一些物体看作一个整体，用自然数1来表示，叫做单位“1”，把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示．

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数．分数的形式是（m、n均为自然数，且m≠0）．

既可以是一个物体四等分中的一份，也可以是一些物体四等分中的一份．

分数也有计数单位．把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位．

分母不同的分数，它们的分数单位也不同．

一个分数的分母越小，分数单位越大；分母越大，分数单位越小．

把一些物体看作一个整体时，分母与平均分的份数有关，与物体的数量无关．

运用画辅助线法解决看图写分数问题

分数与除法

分数不仅可以表示部分与整体的关系，还可以表示具体的数量．当分数表示具体的数量时要加单位名称

除法算式中除数不能为0，在分数中分母也不能为0，用字母表示时，要标明b≠0．

分数与除法的区别． 除法是一种运算，分数是一种数．

注意：

通常两个数相除，如果商是整数，那么两个数的关系就用几倍来表示

如果商不是整数，那么两个数的关系就用几分之几来表示

分数与除法既有关系，又有区别，二者之间不能用“相等”或“是”等词语来表述．二者之间的关系只能用“相当于”这个词来表述．

真分数和假分数

真分数

意义：分子比分母小的分数叫做真分数．

特征：真分数小于1．

带分数

部分假分数的另一种表现形式．

由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数．带分数大于1．

假分数

意义：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数

特征：假分数大于1或等于1．

分子与分母相等的分数也是假分数，它的分数值是1．

假分数化成整数或带分数的方法

把假分数化成带分数时，分子除以分母的商是带分数的整数部分，余数是带分数分数部分的分子，分母不变．

用分子除以分母．当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数

当分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变．

带分数化成假分数的方法

带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子

用直线上的点表示分数的方法

用直线上的点表示分数时，先确定这个分数在哪个区间，再确定分点．

用直线上的点表示几个数，右面的数一定比左面的数大．同理可知，较大数要写在较小数的右面．

解题方法

小于1的分数，先看分母是几，就在直线上把0到1 之间平均分成几份，然后取分子所表示的份数的分点，写出分数．

大于1而小于2的分数，也是先看分母是几，把0到1之间和1到2 之间都平均分成几份，然后取分子所表示的份数的分点，写出分数．

分数的基本性质

商不变的性质

在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变．

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质．

在叙述分数的基本性质时，不要忘记限定的条件，即同时乘或者除以的数不能为0．

应用

分母不同的分数化成分母相同的分数

把一个分数化成指定分母的分数

写出若干个相等的分数

根据分数的基本性质解决还原分数问题

运用抓不变量法解决分母加一个数的问题

约分

最大公因数

意义

1，2，4是和12公有的因数，叫做它们的公因数．其中，4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数．

每个数的因数的个数都是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的．

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．

两个数的公因数是它们最大公因数的因数；两个数的最大公因数是它们公因数的倍数．

当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数．

方法

一般适合较小的数

列举法

先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个

筛选法

先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数最大

适合任意的数

分解质因数法

先将这两个数分别分解质因数，再从分解出的质因数中找出这两个数公有的质因数，所有的公有质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数．

短除法

先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数 1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数．

互质数

像1和7，8和9，12和35一样，公因数只有的两个数叫做互质数．

互质数有很多种情况，不是只有两个质数才是互质数，合数和合数也可能成为互质数，如15和16就是一对互质数．判断两个数是不是互质数，要看它们是不是只有公因数．

互质数的特殊情况

<ul><li>1和任意非0自然数都是互质数．</li></ul>

<ul><li>2和任意奇数都是互质数</li></ul>

<ul><li>任意两个相邻的非0自然数都是互质数</li></ul>

<ul><li>任意两个相邻的奇数都是互质数．</li></ul>

<ul><li>任意两个不相同的质数都是互质数</li></ul>

<ul><li>任意一个质数与任意一个不是它倍数的合数都是互质数</li></ul>

互质数和质数的区别

质数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互质数是对于两个数的关系而言的，公因数只有1的两个数是互质数．

方法运用

1

辗转相除法解决求两个数的最大公因数问题

用辗转相除法求两个数的最大公因数时，先用较大数除以较小数，除得的余数作为下一次相除的除数，上一次相除的除数作为下一次相除的被除数，直到整除为止，最后的除数就是这两个数的最大公因数．

2

运用质因数、分解质因数的知识解决将数分组问题

解决此类问题，需先将每个数分解质因数，然后根据质因数将数分组．

解决问题

用求公因数的方法解决实际问题

当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决．

用几个数的公因数解决问题时，不要忽略这几个数的公因数还有1．

运用转化法解决实际生活中分物品的问题

求几个数的公因数，且要求是“最多”或“最大”的份数，就是求相关数的最大公因数．

约分

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分．

方法

逐步约分法：用分数分子和分母公有的质因数逐步去除分子和分母，直到约成最简分数

一次约分法：用分数分子和分母的最大公因数去除分子和分母，能直接约成最简分数．

分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数

约分时，通常要约成最简分数．

书写格式

约分从中间开始，向上、下两端展开．因此，约分前要在分数的上、下方留出约分空

约分是把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数．

应用

1

运用抓不变量法解决分子、分母加（减）同一个数的问题

当分数的分子和分母加上或减去同一个数时，分子和分母的差不变．

2

运用倒推法解决约分还原问题

已知约分后的最简分数求原分数，可以用倒推法将分子、分母分别按照提示逐步倒推出原来的分子和分母

通分

最小公倍数

特征

一个数的倍数的个数是无限的

几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．

表示方法

列举法

书写时，各倍数之间用逗号隔开，末尾加省略号．

集合法

求两个数的最小公倍数的方法

列举法

先分别写出两个数各自的倍数，再从中找出它们的公倍数和最小公倍数

筛选法

先写出两个数中较大数（或较小数）的倍数，然后从较大数（或较小数）的倍数中按从小到大的顺序圈出较小数（或较大数）的倍数，第一个圈出的数就是这两个数的最小公倍数

分解质因数法

先把两个数分解质因数，再把两个数公有的质因数与各自独有的质因数相乘．

短除法

用两个数公有的质因数依次去除这两个数，直到所得的两个商只有公因数 为止，再把所有的除数与商相乘，即可得到这两个数的最小公倍数

短除法是分解质因数的简便形式．

两个数的公倍数与最小公倍数的关系

两个数的最小公倍数一定是它们的公倍数的因数

求两个数的最小公倍数的特殊情况

当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数．

当两个数只有公因数1时，这两个数的乘积就是它们的最小公倍数

1

两个数的公倍数不一定比这两个数都大，两个数的公因数也不一定比这两个数都小．

2

两个数的最小公倍数也是它们的公倍数，两个数的公倍数的个数是无限的，后面要加上“……”．

应用

1

运用推理法解决有关最大公因数和最小公倍数的问题

用两个数的最小公倍数除以最大公因数得到两个数独有因数的积，根据独有因数互质的特点可以解决此类问题

2

运用最小公倍数的知识解决实际问题

两个数的最大公因数、最小公倍数和这两个数的积之间的关系：两个数的最大公因数×两个数的最小公倍数=两个数的积．

3

用公倍数和最小公倍数的知识解决实际问题时，明确求哪几个数的公倍数或最小公倍数是解题的关键．

4

运用推理法解决实际问题

有关最小公倍数的实际问题，当有些题中所求的数并非正好是已知数的最小公倍数时，可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转化成求已知数的最小公倍数的问题，进而求出结果

5

运用优化法解决人员分配问题

通分

分母相同或分子相同的分数大小比较的方法

分母相同的两个分数相比较，分子大的分数大

分子相同的两个分数相比较，分母小的分数大

意义

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分．

转化思想

方法

通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数．

1

通分时，用分母的最小公倍数作公分母比较简便．

2

通分和约分前后，分数值的大小不变．

拓展提高

1

运用通分子、找中间量法或交叉相乘法解决分数比较大小的问题

2

运用找等量关系解决求原分数的问题

明确两个新分数的和就是两个原来的最简分数的和是解决此类题的关键．

分数和小数的互化

小数化成分数的方法

小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几的数，所以可以直接写成分母是10，100，1000， 的分数，不是最简分数的要化成最简分数．

把小数化成分数，能约分的要约成最简分数．

分数化成小数的方法

<ol><li>分母是10，100，1000，的分数化成小数，可以直接去掉分母，看后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点</li></ol>

2.分母不是10，100，1000，的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数．

把带分数化成小数

带分数的整数部分作为小数的整数部分，分数部分化成小数，作为小数的小数部分

应用

1

2

带小数化成分数时，不要丢掉整数部分；带分数化成小数时，也不要丢掉整数部分．

3

运用分数能否化成有限小数的规律解决分数化成小数的问题

判断一个分数能否化成有限小数，一定要先看它是不是最简分数，不是最简分数的，化成最简分数后再判断

4

运用分数与小数的关系解决两者互化的问题

此类问题可以转化成分数问题去解决，这样能使问题简单化．

抓不变量法

循环小数化成分数

（5下第4单元） 分数的意义和性质

（5下第4单元）分数的意义和性质