高数上：数列与极限
2023-11-23 15:37:14 4 举报AI智能生成
数列极限，是数列和极限两个充满不确定性的概念相混合，容易让人产生摸不着头脑，看到题目就害怕的感觉，本篇文章就按以下目录对这块儿重难点拨云见日，内容循序渐进，越往后越精彩。
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大纲/内容
数列
按照某一法则，对每个n ∈ <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="N_+" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> , 对应着一个确定的实数<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> , 这些实数<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> 按照下标从小到大排列得到的一个序列， 记为{<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="3" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>}
项：数列中的每一个数
一般项（通项）：第 n 项 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>
数列极限
定义：{<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>} 为一数列， 如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n>N 时，不等式 |<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>-a| < ε 都成立，<br>那么就称常数a是数列 {<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>} 的极限，或者称数列 {<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>} 收敛于 a，记为 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="4" data-equation="\lim_{n \to \infty}x_n"><span></span><span></span></span> = a
{<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>}为数列，<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\forall" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> ε (任意小的距离)> 0 , <span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\exists" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> 正整数 N（某项） , 当n（这项后头的所有项）>N时，|<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="3" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>-a| < ε （都落在小区间的里头） ，a 是极限
解题格式： <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\forall" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> ε >0 ,取N = ？，n > N时，|<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>-a(?)| = ？< ε
收敛数列的性质
极限的唯一性
如果数列 {<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>} 收敛，那么它的极限唯一
收敛数列的有界性
如果数列 {<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>} 收敛，那么数列 {<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>} 一定有界
有界不一定收敛，例如 {<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation=" (-1)^{n+1}"><span></span><span></span></span>} , 虽有界但不收敛
收敛数列的保号性
如果<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{n \to \infty}x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>=a , 且a > 0(或 a < 0) , 那么存在正整数N，当 n > N 时，都有<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>>0(或 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="x_n"><span></span><span></span></span>< 0)
推论：如果数列从某项起有 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> ≧0（或 <span class="equation-text" data-index="1" data-equation="x_n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> ≦ 0），且 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="\lim_{n \to \infty}x_n"><span></span><span></span></span> = a , 那么 a≧0（或 a ≦ 0 ）
收敛数列与其子数列间的关系
如果数列收敛于 a ，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是 a
子数列：{ <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x_{n_k}"><span></span><span></span></span> }, k=1、2、3......
若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散，例如：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="（-1）^{n+1}"><span></span><span></span></span>
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