高数上：数列与极限

按照某一法则，对每个n ∈ span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"N_+\" contenteditable=\"false\

项：数列中的每一个数

一般项（通项）：第 n 项 

数列

{}为数列，span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"\\forall\" contenteditable=\"false\

定义：{} 为一数列， 如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n>N 时，不等式 |-a| < ε 都成立，那么就称常数a是数列 {} 的极限，或者称数列 {} 收敛于 a，记为  = a

解题格式： span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\forall\" contenteditable=\"false\

数列极限

如果数列 {} 收敛，那么它的极限唯一

极限的唯一性

有界不一定收敛，例如 {span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\" (-1)^{n+1}\

如果数列 {} 收敛，那么数列 {} 一定有界

收敛数列的有界性

如果span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\lim_{n \\to \\infty}x_n\" contenteditable=\"false\

推论：如果数列从某项起有  ≧0（或  ≦ 0），且 span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\"\\lim_{n \\to \\infty}x_n\

收敛数列的保号性

子数列：{ span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"x_{n_k}\

如果数列收敛于 a ，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是 a

若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散，例如：

收敛数列与其子数列间的关系

收敛数列的性质

数列与极限