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函数与极限

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2022-02-25 11:44:45   21  举报

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AI智能生成

高等数学第一章知识结构

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大纲/内容

无穷大与无穷小

无穷小

定义

函数极限为0

无穷小与函数极限的关系（充要条件）

无穷大

特点

极限的特殊情况

定义

类型

正无穷

负无穷

无穷大与无穷小关系

倒数关系

无穷小比较

无穷小阶数

高阶

0

低阶

无穷大

同阶

a(常数）

等价

1

度量高阶无穷小：k阶

无穷小替换

定理

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha(x) \backsim\beta(x)\Longleftrightarrow\alpha(x) =\beta(x)+o(\beta(x))"><span></span><span></span></span>

常用等价无穷小

x<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\rightarrow0"><span></span><span></span></span>

sin x<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\sim x\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx "><span></span><span></span></span>

定理2（除法替换定律）

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha(x)\sim\alpha1(x),\beta(x)\sim\beta1(x),且\lim_{}\alpha1(x)/\beta1(x)存在，则\lim_{}\alpha1(x)/\beta1(x)=\lim_{}\alpha(x)/\beta(x)"><span></span><span></span></span>

极限类型

0/0类型

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{n \to \ 0}\sin x/x=1"><span></span><span></span></span>

证明提示

单位圆

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1的无穷大次方（放缩法）"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=e"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x \to \ 0}(1+x)^(1/x)=e" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>

其他知识

算数平均值

几何平均值

函数连续性与间断点

<font color="#ff0000"><b>连续性定义</b></font>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x)=f(x0)"><span></span><span></span></span>

函数连续性证明

方法1

证明函数左连续且右连续

连续的意义：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x)=f(x0)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>

f(x)在x0处有定义

f(x)在x0处极限存在

极限=f(x0)

间断点

讨论前提

f(x)在x0的去心邻域内有定义

产生原因

f(x)在x0该点无定义

<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x)不存在" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x) \neq f(x0)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>

分类

第一类间断点

左，右极限存在

可去间断点（左右极限相等）

跳跃间断点（左右极限不相等）

第二类间断点

震荡间断点

无穷间断点

连续函数的运算和初等函数的连续性

基本初等函数

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="指数函数：a^x"><span></span><span></span></span>

对数函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="：\log_\alpha X"><span></span><span></span></span>

幂函数：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x^a"><span></span><span></span></span>

三角函数

反三角函数

定理

复合函数连续性定理

基本初等函数在<font color="#ff0000">定义域</font>内连续

初等函数在<font color="#ff0000">定义区间</font>内连续

反函数连续性定理

闭区间上连续函数性质

f(x)在<b><font color="#ff0000">闭区间[a,b]</font></b>上连续

边界

f(x)有最大值和最小值

f(x)有界

中值

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(c)\cdot f(d)<0,[c,d]间存在零点，[c,d]是[a,b]子区间"><span></span><span></span></span>

h<f(x)<g,u属于[g,h],则必存在一点c,使f(c)=u

函数极限

定义

性质

函数的唯一性

函数的局部有界性

局部保号性

函数极限与数列极限的关系

极限运算法则

四则混合运算

无穷小

推论

推论1

<font color="#ff0000">常数</font>和无穷小的积是无穷小

推论2

有限个无穷小的乘积是无穷小

<font color="#ff0000">有界函数</font>和无穷小的积是无穷小

两个无穷小的和是无穷小

函数

函数极限的加减乘除法则

推论

推论1

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to n}cf(x)=c\lim_{x\to n}f(x) （c为常数）"><span></span><span></span></span>

推论2

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to n}f^{(n)}(x)=[\lim_{x\to n}f^{}(x)]^n"><span></span><span></span></span>

函数复合运算

复合函数的极限运算法则

数列

数列极限的加减乘除法则

比较运算

如果<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi(x)\geq\psi(x),\lim_{x\to n}\phi(x)=A,\lim_{x\to n}\psi(x)=B,A\geq B"><span></span><span></span></span>

极限存在准则

夹逼准则

单调有界准则

单增有上界

单减有下界

极限

定义

性质

运算

四则+复合

特殊极限类型

特殊

无穷大

无穷小

证明存在

连续

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