函数与极限
2022-02-25 11:44:45 21 举报AI智能生成
高等数学第一章知识结构
作者其他创作
大纲/内容
无穷大与无穷小
无穷小
定义
函数极限为0
无穷小与函数极限的关系（充要条件）
无穷大
特点
极限的特殊情况
定义
类型
正无穷
负无穷
无穷大与无穷小关系
倒数关系
无穷小比较
无穷小阶数
高阶
0
低阶
无穷大
同阶
a(常数）
等价
1
度量高阶无穷小：k阶
无穷小替换
定理
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha(x) \backsim\beta(x)\Longleftrightarrow\alpha(x) =\beta(x)+o(\beta(x))"><span></span><span></span></span>
常用等价无穷小
x<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\rightarrow0"><span></span><span></span></span>
sin x<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\sim x\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx "><span></span><span></span></span>
定理2（除法替换定律）
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha(x)\sim\alpha1(x),\beta(x)\sim\beta1(x),且\lim_{}\alpha1(x)/\beta1(x)存在，则\lim_{}\alpha1(x)/\beta1(x)=\lim_{}\alpha(x)/\beta(x)"><span></span><span></span></span>
极限类型
0/0类型
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{n \to \ 0}\sin x/x=1"><span></span><span></span></span>
证明提示
单位圆
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1的无穷大次方（放缩法）"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=e"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x \to \ 0}(1+x)^(1/x)=e" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
其他知识
算数平均值
几何平均值
函数连续性与间断点
<font color="#ff0000"><b>连续性定义</b></font>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x)=f(x0)"><span></span><span></span></span>
函数连续性证明
方法1
证明函数左连续且右连续
连续的意义：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x)=f(x0)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
f(x)在x0处有定义
f(x)在x0处极限存在
极限=f(x0)
间断点
讨论前提
f(x)在x0的去心邻域内有定义
产生原因
f(x)在x0该点无定义
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x)不存在" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to x0}f(x) \neq f(x0)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
分类
第一类间断点
左，右极限存在
可去间断点（左右极限相等）
跳跃间断点（左右极限不相等）
第二类间断点
震荡间断点
无穷间断点
连续函数的运算和初等函数的连续性
基本初等函数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="指数函数：a^x"><span></span><span></span></span>
对数函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="：\log_\alpha X"><span></span><span></span></span>
幂函数：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x^a"><span></span><span></span></span>
三角函数
反三角函数
定理
复合函数连续性定理
基本初等函数在<font color="#ff0000">定义域</font>内连续
初等函数在<font color="#ff0000">定义区间</font>内连续
反函数连续性定理
闭区间上连续函数性质
f(x)在<b><font color="#ff0000">闭区间[a,b]</font></b>上连续
边界
f(x)有最大值和最小值
f(x)有界
中值
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(c)\cdot f(d)<0,[c,d]间存在零点，[c,d]是[a,b]子区间"><span></span><span></span></span>
h<f(x)<g,u属于[g,h],则必存在一点c,使f(c)=u
函数极限
定义
性质
函数的唯一性
函数的局部有界性
局部保号性
函数极限与数列极限的关系
极限运算法则
四则混合运算
无穷小
推论
推论1
<font color="#ff0000">常数</font>和无穷小的积是无穷小
推论2
有限个无穷小的乘积是无穷小
<font color="#ff0000">有界函数</font>和无穷小的积是无穷小
两个无穷小的和是无穷小
函数
函数极限的加减乘除法则
推论
推论1
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to n}cf(x)=c\lim_{x\to n}f(x) （c为常数）"><span></span><span></span></span>
推论2
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\lim_{x\to n}f^{(n)}(x)=[\lim_{x\to n}f^{}(x)]^n"><span></span><span></span></span>
函数复合运算
复合函数的极限运算法则
数列
数列极限的加减乘除法则
比较运算
如果<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\phi(x)\geq\psi(x),\lim_{x\to n}\phi(x)=A,\lim_{x\to n}\psi(x)=B,A\geq B"><span></span><span></span></span>
极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
单增有上界
单减有下界
极限
定义
性质
运算
四则+复合
特殊极限类型
特殊
无穷大
无穷小
证明存在
连续
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