八年级上册数学【人教版】
2025-10-19 23:37:10 11 举报AI智能生成
八年级上册数学人教版课本涵盖了初中数学核心知识点，包括代数、几何、统计等重要领域。这一学期的数学课本文件类型为纸质教材，是同学们学习和掌握中学基础数学知识的重要资源。全书修饰语用“结构清晰，内容详实”来形容再贴切不过，由浅入深地引导学生逐步掌握多项式运算、解一元二次方程、了解直角三角形和四边形等几何图形的性质，以及初步学会数据的收集与分析等统计基础。教科书中的实例演示和习题设计旨在提高学生的逻辑推理能力与解决实际问题的能力。人教版数学教材以其权威性和科学性深受全国各地学校教师和学生的青睐，为中学生打下坚实的数学基础。
作者其他创作
大纲/内容
第十一章 三角形
<b>11.1 与三角形有关的线段</b>
11.1.1 三角形的边
三角形的定义
由<b><font color="#e74f4c">不在一条直线上</font></b>的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
与三角形有关的概念
顶点
用一个大写字母来表示，如 A、B、C
边
边 AB、边 BC、边 AC
角（内角）
∠A、∠B、∠C
三角形记作
△ABC
对边
BC 边的对角是∠A
对角
∠C 的对边是 BA，通常简记为 c
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
BA + AC > BC
根据“两点之间线段最短”，从B点到C点，最短直接走BC路线即可，如果走BA ---> AC , 绕路走路程远，
AC - AB < BC
<br>
三角形的分类（按边分）
不等边三角形<br>
三边都不相等
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
<br>
等腰直角三角形
高和中线重合
高是底边的一半
等边三角形
三边都相等
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
三角形的高
从三角形的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，所得线段叫做三角形的高
三角形的中线
连接三角形的顶点和它相对的边的中点，所得线段叫做三角形边上的中线
三角形的重心
<br>
中位线EF，推导 EF = ½ BC， 推出 OF = ½ OC
中位线定理：中位线平行于底边，并且是底边的一半
<br>
<br>
使用下章全等三角形定理证明
<b><font color="#e74f4c">三角形的三条中线相交于一点</font></b>，三角形三条<font color="#e74f4c"><b>中线的交点</b></font>叫做三角形的<b><font color="#e74f4c">重心</font></b>
1. E、F 是中点，CE 和 BF相交与点O<br>2. 连接AO，延长AO 与 BC 交于D<br>
3.证明D是BC中点<br>4.证明S▲ABD = S▲ADC
<br>
5.E 是AB 中点，S1 = S6 = ½ S▲AOB<br>6.同理 S2 = S3<br>7. S▲ABF（6+1+2） = S▲ACE（1+2+3） = ½ S▲ABC<br>8.推出 S6 = S3<br>9因为 S1=S6，S2 = S3 ，所以 S1=S2<br>10.S▲AOB = S▲AOC <br>11.因为 ▲AOB 和 ▲AOC 共边，所以B到AO的高和C到AO高相等<br>12.推出S▲ABD = S▲ADC （B到AD的高和C到AD高相等）<br>13.D 就是中点
三角形的角平分线
画一角的平分线，交角所对的边于一点，所得线段叫做三角形的角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
三角形是具有稳定性的图形，四边形没有稳定性
<b>11.2 与三角形有关的角</b>
11.2.1 三角形的内角
三角形的三个内角和等于 180°
<br>
∠A+∠B+∠C=180°
<br>
推论
<br>
直角三角形的两个锐角互余
∠A+∠B = 90°
有两个角互余的三角形是直角三角形
11.2.2 三角形的外角
三角形的外角的定义
<br>
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
<br>
∠4 = ∠1 + ∠2<br>
三角形的外角和等于 360°
<br>
∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°<br>
∠A = 180 - ∠2
∠B = 180 - ∠3
∠B = 180 - ∠1
<b>11.3 多边形及其内角和</b>
11.3.1 多边形
多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
正多边形的定义
<br>
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
多边形的分类
11.3.2 多边形的内角与外角和
多边形内角和
(n - 2)×180°
多边形的外角和等于<b><font color="#fd5157"> 360°</font></b><br>
<br>
第十二章 全等三角形
<b>12.1 全等三角形</b>
全等形
能够完全重合的 2 个图形
形状、大小相同的图形完全重合
全等三角形
<b><font color="#fd5157">能够完全重合的两个三角形</font></b>
对应顶点
把 2 个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点
对应边
把 2 个全等的三角形重合到一起，重合的边叫做对应边
对应角
把 2 个全等的三角形重合到一起，重合的角叫做对应角
性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
表示方法
△ABC ≌ △DEF
<b>12.2 三角形全等的判定</b>
判定方法
边边边（SSS）
三边分别相等的两个三角形全等
欧几里得使用叠合法证明，移动A', B' 到A和B，如果C 和 C' 不重合，<br>同一线段上有两个点到某点距离相等但不重合，<font color="#e74f4c"><b>违背几何基本公理</b></font>
边角边（SAS）
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
叠合法证明
<br>
13. 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是__________
角边角（ASA）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
三个角相等，然后还有一个边相等，叠合法证明
<br>
角角边（AAS）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
三角形内角和固定，两个角确定，第三个角也确定了，<font color="#e74f4c"><b>根据③可以推出④</b></font>
不能判定两个三角形全等
角角角（AAA）
放大或者缩小
角边边（ASS）<font color="#e74f4c"><b>直角例外</b></font>
边边角（SSA）
斜边/直角边（HL）
SSS<br>
勾股定理推理
<br>
B
<br>
<br>
注意单位
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
<br>
H 是 Hypotenuse（斜边）的缩写，L 是 Leg（直角边）的缩写
方法选择
已知两边
找夹角——边角边（SAS）
找第三边——边边边（SSS）
找直角——（HL）
已知两角
找夹边——角边角（ASA）
找其中一个已知角的对边——角角边（AAS）
已知一边一角
边为角的对边——找任一角——角角边（AAS）
边为角的邻边
找夹角的另一边——边角边（SAS）
找夹边的另一致——角边角（ASA）
找边的对角——角角边（AAS）
<b>12.3 角的平分线的性质</b>
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
可根据 AAS 全等三角形证明 DP = PE
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
扩展
<br>
<br>
题目
<br>
D
<br>
C
第十三章 轴对称
<b>13.1 轴对称</b>
13.1.1 轴对称
轴对称的定义<br>
如果一个平面图形<font color="#e74f4c" style=""><b>沿一条直线折叠</b></font>，<b>直线两旁</b>的部分能够<b><font color="#e74f4c">互相重合</font></b>，这个图形就叫做<b><font color="#fd5157">轴对称图形</font></b>
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做<b><font color="#fd5157">对称轴</font></b>
<br>
<br>
B
<br>
相关概念
对称轴
对称点
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
垂直平分线
<br>
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么<b><font color="#fd5157">对称轴</font></b>是任何一对对应点所连线段的<b><font color="#fd5157">垂直平分线</font></b>
轴对称图形的<b><font color="#fd5157">对称轴</font></b>，是任何一对对应点所连线段的<b><font color="#fd5157">垂直平分线</font></b>
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
性质<br>
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
判定
特征
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
操作
找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这 2 个图形的对称轴
13.1.3 三角形的稳定性
<b><font color="#fd5157">三角形</font></b>是具有<b><font color="#fd5157">稳定性</font></b>的图形
四边形没有稳定性
<br>
<b>13.2 画轴对称图形</b>
轴对称图形特点
由一个平面图形可以得到它关于一条直线成对称轴的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于对称轴对称的对称点
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
做轴对称图形方法
<br>
在平面直角坐标系中做轴对称图形
先求出已知图形的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，然后描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形
<br>
在平面直角坐标系中找对称点
<br>
<b>13.3 等腰三角形</b>
13.3.1 等腰三角形
等腰三角形定义
有<b><font color="#fd5157">两边相等</font></b>的三角形是等腰三角形
<br>
等腰三角形性质
等边对等角
等腰三角形的两个底角相等
三线合一
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
<br>
判定方法
等角对等边
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
13.3.2 等边三角形
等边三角形定义
<b><font color="#fd5157">三个角都相等</font></b>的三角形是等边三角形
有一个角是 <b><font color="#fd5157">60°</font></b>的等腰三角形是等边三角形
推论
<br>
BC = ½ AB<br>
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
<br>
13.3.3 课题学习
最短路径问题
通过利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题从而作出最短路径的选择
<br>
第十四章 整式的乘法与因式分解
<b>14.1 整式的乘法</b>
14.1.1 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
<br>
前半部分 m 个 a，后半部分 n 个 a，合并后总共是 (m + n) 个 a 相乘，所以结果是 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation=" a^{m + n}"><span></span><span></span></span>
本质
几个相同底数的因数相乘
14.1.2 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
<br>
14.1.3 积的乘方<br>
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
<br>
14.1.4 整式的乘法
单项式与单项式相乘<br>
把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
<br>
单项式与多项式相乘<br>
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
<br>
多项式与多项式相乘<br>
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
<br>
同底数幂相除
底数不变，指数相减
<br>
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1
<br>
单项式相除<br>
把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
<br>
多项式除以单项式<br>
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
<br>
<b>14.2 乘法公式</b>
14.2.1 平方差公式
<b>两个数的和</b>与这<b>两个数的差</b>的<b>积</b>，等于这<font color="#fd5157"><b>两个数的平方差</b></font>
<br>
14.2.2 完全平方公式
<font color="#e74f4c"><b>添括号：<br></b></font><b>如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号<br>如果括号前面是负号，扩到括号里的各项都改变符号</b>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A \pm B)^2=A ^2\pm2AB+B^2"><span></span><span></span></span>
<b>14.3 因式分解</b>
14.3.0 前言
把<b><font color="#fd5157">一个多项式</font></b>化成了<b><font color="#fd5157">几个整式的积</font></b>的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
<br>
14.3.1 公因式
多项式各项都有一个<b><font color="#fd5157">公共的因式 P</font></b>，把因式 P 叫做这个多项式各项的<font color="#fd5157"><b>公因式</b></font>
14.3.2 因式分解的方法
提公因式法
<br>
公式法
<br>
十字相乘法
<br>
<br>
分组分解法
<br>
换元法
<br>
<span style="font-size:inherit;">双十字相乘法</span>
<br>
第十五章 分式
<b>15.1 分式</b>
15.1.1 从分数到分式
分式的定义<br>
<font color="#fd5157">A、B 表示两个整式</font><font>，</font><font color="#262626"><b>B 中含有字母</b></font><font color="#fd5157">，并且 B ≠ 0（有意义） </font><font color="#fd5157">，那么</font><b><font color="#fd5157">式子<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\frac{A}{B}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>叫做分式</font></b><br>
<br>
<br>
分式<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\frac{A}{B}"><span></span><span></span></span>中，A 叫做分子，B 叫做分母
<br>
<br>
15.1.2 分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变
相关概念
约分：把一个分式的分子或分母的<font color="#fd5157"><b>公因式</b></font>约去，叫做分式的<b><font color="#fd5157">约分</font></b>
<br>
最简分式：分子与分母<font color="#fd5157"><b>没有公因式</b></font>的分式
最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母
<br>
通分：把几个<b><font color="#fd5157">异分母</font></b>的分式分别化成与原来分式相等的<b><font color="#fd5157">同分母</font></b>的分式
<br>
<b>15.2 分式的运算</b>
15.2.1 分式的乘除
乘法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
分式乘方
要把分子、分母分别乘方
15.2.2 分式的加减
加法法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
减法法则
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
15.2.3 整数指数幂
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a^m·a^n = a^{m + n}"><span></span><span></span></span>（m、n 是正整数）这条性质对于 m、n 是任意整数的情形仍然适用
<b>15.3 分式方程</b>
概念<br>
分母中含未知数的方程
检验<br>
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原式分方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
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