《平面解析几何》单元
2025-11-28 19:36:10 0 举报AI智能生成
《平面解析几何》单元
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大纲/内容
直线和圆的方程
直线的倾斜角与斜率
倾斜角与斜率
直线的倾斜角
定义
范围
直线的斜率
定义
常见倾斜角对应的斜率
已知倾斜角，求斜率/已知斜率，求倾斜角
已知直线上两点坐标，求倾斜角
应用
由斜率，判断直线倾斜角为钝角或锐角
给定线段、定点，求过定点与定线段有公共点的直线斜率/倾斜角范围
两条直线平行和垂直的判定
平行
倾斜角相等，两直线平行或重合
两直线平行，斜率相等或不存在
垂直
两直线垂直，斜率之积为-1
已知两直线垂直，一条直线斜率为0，则另一条直线斜率不存在
应用
证明三点共线
判断三角形形状
直线的方程
直线的点斜式方程
已知直线上一点坐标，斜率，求直线方程
直线的两点式方程
已知直线上两点坐标，求直线方程
直线的截距式方程
已知直线横截距，纵截距，求直线方程
直线的斜截式方程
已知直线的斜率，截距，求直线方程
直线的一般式方程
任意直线方程都可化为二元一次方程
应用
判断直线平行或垂直、重合
已知两含参直线位置关系，求参数
直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标
联立直线方程，解方程组，求得交点坐标
1、设：设交点坐标
2、构：带入坐标，构造方程组
3、解：解方程组，即可得到交点横纵坐标
根据方程组解的个数判断两直线位置关系
若方程组有唯一解，则两直线有1个公共点，相交
若可化为同一方程，则两直线有无数个公共点，重合
若方程组无解，则两直线无公共点，平行
应用
三直线有一个公共点，求其中一条直线中的参数
三直线有两个公共点，利用平行关系建立关于参数的方程，解方程
根据交点所在象限，求参数范围
1、联立两直线方程，求交点坐标
2、根据交点所在象限，建立不等式组
3、解不等式组，得到参数范围
两点间的距离公式
平面中两点间距离公式
其中一点为原点时，求另一点到原点的距离
应用
利用坐标法证明几何关系
1、建立适当的平面直角坐标系
原则
让尽可能多的点落在坐标轴
优先以垂直直线作为坐标轴
轴对称图形，以对称轴为坐标轴
2、找到或设出所需点的坐标，带入公式运算
3、把代数关系的结果"翻译”成几何关系
求两平行直线间的距离
已知两平行直线方程，求距离
已知两直线间的距离，求直线中的参数
"距离型"最值问题
求出距离后，利用函数的形式求最值
点到直线的距离公式
应用
利用公式求距离
1、确认点的坐标，将直线化为一般式
2、带横纵坐标，A，B，C数值入公式
已知距离，求参数或参数范围
1、确定点和坐标方程，坐标或方程中含有参数
2、利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式）
3、解方程（不等式），求出参数或参数范围
特殊情况
点到平行于x轴或垂直于x轴的直线的距离
两条平行直线间的距离
将"两平行直线间的距离"转化为"点到直线的距离"
1、在两平行直线中的一条直线上任意取一点
2、求该点到另一条直线的距离
两条平行直线间的距离公式
圆的方程
圆的标准方程
已知圆心，半径，求圆的标准方程
特殊的圆
圆心在原点的圆
单位圆
点与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
圆的一般方程
圆的一般方程及其特点
圆的一般方程和标准方程的互化
已知一般方程，求圆心和半径
已知圆上三点坐标，联立方程，由方程组求一般方程
1、根据题意，设圆的标准方程或一般方程
2、根据条件列出关于a,b,c或D，E，F的方程组
3、解方程组得到a,b,c或D，E，F的值
4、代入圆的标准方程或一般方程
应用
双动点轨迹问题：已知定点A，圆上动点B，求线段AB中点M运动轨迹
1、设坐标：设所求动点为M（x，y），另一动点为B（xo，yo）
2、找关系：根据已知条件找到x与xo，y与yo的等量关系
3、代方程：将第二步中的等量关系代入另一动点的轨迹方程（已知圆的方程）
4、标准化：将所得的方程整理成标准方程
根据圆的一般方程成立条件，求参数范围
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
弦长问题
弦长公式
垂径定理
两点间距离公式
相切
过圆外一点作圆的两条切线，用代数法求切线方程
1、设切线方程，分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论
2、联立直线和圆的方程，消y，得到关于x的一元二次方程
3、计算根的判别式
4、令根的判别式为0，求出斜率，得到切线方程
相离
求圆上的点到直线的最值
平行切线法
判断直线与圆的位置关系
1、几何法：利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
2、代数法：联立直线与圆的方程，消y，得到关于x的一元二次方程
根据根的判别式判断公共点个数
圆与圆的位置关系
外离
内含
外切
内切
相交
判断圆与圆的位置关系
1、几何法：借助图形，由“圆心距”与“半径和"、"半径差的绝对值"的大小关系，判断两圆的位置关系
2、代数法：联立两圆方程，得到方程组，由方程组的解决定公共点的个数
缺点：无法区分外离/内含，外切/内切
圆锥曲线的方程
椭圆
椭圆及其标准方程
定义
焦点
焦距
半焦距
定义法求椭圆的标准方程
从几何角度，结合椭圆定义，计算a，b的值
待定系数法求椭圆的标准方程
从代数角度，将曲线上的点坐标代入标准方程，建立关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值
应用
弦长问题
弦长公式求弦长
中点弦问题，点差法（设而不求）解决
焦点弦问题
双动点轨迹问题：已知定点A，圆上动点B，求线段AB中点M运动轨迹
1、设坐标：设所求动点为M（x，y），另一动点为B（xo，yo）
2、找关系：根据已知条件找到x与xo，y与yo的等量关系
3、代方程：将第二步中的等量关系代入另一动点的轨迹方程（已知椭圆的方程）
4、标准化：将所得的方程整理成标准方程（标准化）
已知动点到两定点斜率之积为定值，求动点轨迹方程
1、设动点坐标
2、将数值代入等量关系
3、化简方程，得到标准方程
4、将不满足题意的点除去
椭圆的简单几何性质
焦点分别在x轴和y轴上的椭圆标准方程/图像
焦点坐标
顶点坐标
图像范围
短轴长、长轴长
对称性：对称轴，对称中心
离心率
根据几何条件和对称性，求离心率/离心率范围
a,b,c的关系式
应用
利用椭圆的标准方程求a,b,c,e,顶点坐标，短轴长、长轴长
1、将椭圆方程写成标准方程
2、确定焦点位置
3、由标准方程，求出a,b,c的值
4、根据离心率、顶点，短轴长、长轴长的定义求出对应的值
根据几何条件求椭圆标准方程
方法一
1、分类讨论：分别设出焦点分别在x轴和y轴上的椭圆标准方程
2、根据几何条件得到等量关系，求出a,b,c的值
方法二
1、将椭圆方程设为
2、将椭圆上的两点坐标代入所设方程，联立求出m，n的值
椭圆上的动点到焦点的最值
椭圆与直线的位置关系
相交
已知直线方程，求弦长
1、联立直线和椭圆方程
2、消y，得到关于x的一元二次方程
3、由根的判别式判断位置关系
4、根据弦长公式求弦长
中点弦问题，利用点差法求解
求出直线斜率，写出点斜率式
直线与椭圆交点A，B与x轴上的点P构成三角形，求三角形面积
已知三角形面积，求直线方程
焦点三角形问题
椭圆上一点A，与两个焦点构成焦点三角形
已知角A（角A正弦/余弦），焦距，求面积
1、分别设A到两个焦点的距离为m，n
2、由余弦定理列出有关m，n的方程
3、由椭圆定义列出有关m，n的方程，两边平方
4、两式做差，得到mn的值
5、根据三角形面积公式求面积
相切
已知切点，求切线方程/已知切线斜率，求切线方程
相离
平行切线法求椭圆上的点到直线的最值
判断位置关系
1、联立直线和椭圆方程
2、消y，得到关于x的一元二次方程
3、比较根的判别式与0的大小关系，判断位置关系
双曲线
双曲线的标准方程
定义
焦点
焦距
半焦距
定义法求双曲线的标准方程
从几何角度，结合双曲线定义，计算a，b的值
待定系数法求双曲线的标准方程
从代数角度，将双曲线上的点坐标代入标准方程，建立关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值
应用
弦长问题
弦长公式求弦长
中点弦问题，点差法（设而不求）解决
焦点弦问题
已知动点到两定点斜率之积为定值，求动点轨迹方程
1、设动点坐标
2、将数值代入等量关系
3、化简方程，得到标准方程
4、将不满足题意的点除去
实际问题
求冷凝塔截面方程
根据双曲线定义，由两定点到信号源点距离的差，确定信号源点的位置
双曲线左、右支上的动点到焦点的最值
双曲线的简单几何性质
焦点分别在x轴和y轴上的双曲线标准方程/图像
焦点坐标
顶点坐标
图像范围
根据左、右支上动点的取值范围，筛选符合条件的点
实轴长、虚轴长
对称轴
离心率
根据几何条件和对称性，求离心率/离心率范围
a,b,c的关系式
应用
利用双曲线的标准方程求a,b,c,e,顶点坐标，实轴长、虚轴长
1、将双曲线方程写成标准方程
2、确定焦点位置
3、由标准方程，求出a,b,c的值
4、根据离心率、顶点，实轴长、虚轴长的定义求出对应的值
根据几何条件求椭圆标准方程
方法一
1、分类讨论：分别设出焦点分别在x轴和y轴上的双曲线标准方程
2、根据几何条件得到等量关系，求出a,b,c的值
方法二
1、将双曲线方程设为
2、将双曲线上的两点坐标代入所设方程，联立求出m，n的值
双曲线与直线的位置关系
相交
已知直线方程，求弦长
1、联立直线和双曲线方程
2、消y，得到关于x的一元二次方程
3、由根的判别式判断位置关系
4、根据弦长公式求弦长
中点弦问题，利用点差法求解
求出直线斜率，写出点斜率式
直线与双曲线交点A，B与x轴上的点P构成三角形，求三角形面积
已知三角形面积，求直线方程
焦点三角形问题
椭圆上一点A，与两个焦点构成焦点三角形
已知角A（角A正弦/余弦），焦距，求面积
1、分别设A到两个焦点的距离为m，n
2、由余弦定理列出有关m，n的方程
3、由双曲线定义列出有关m，n的方程，两边平方
4、两式做差，得到mn的值
5、根据三角形面积公式求面积
相切
已知切点，求切线方程/已知切线斜率，求切线方程
相离
平行切线法求双曲线上的点到直线的最值
判断位置关系
1、联立直线和双曲线方程
2、消y，得到关于x的一元二次方程
3、若二次项系数为0，直线与渐近线平行，有1个公共点，相交
4、若二次项系数不为0，比较根的判别式与0的大小关系，判断位置关系
抛物线
抛物线及其标准方程
定义
焦点
准线
焦点到准线的距离p
四个开口图像对应的抛物线方程，判断方法
定义法求抛物线的标准方程
从几何角度，结合抛物线定义，计算p的值
待定系数法求双曲线的标准方程
从代数角度，将曲线上的点坐标代入标准方程，解方程得到p的值
若含有参数，需要分类讨论
应用
弦长问题
弦长公式求弦长
中点弦问题，点差法（设而不求）解决
焦点弦问题
抛物线焦点弦弦长为：
实际问题
求拱桥截面方程
求卫星锅盖截面方程
抛物线的简单几何性质
四类抛物线标准方程/图像
焦点坐标
顶点坐标
图像x，y范围
对称轴
应用
利用抛物线的标准方程求p,准线，焦点
1、将抛物线方程写成标准方程
2、由标准方程，求出p的值
3、确定焦点和准线位置
根据几何条件求椭圆标准方程
1、设出对应开口方向的抛物线方程
2、根据几何条件得到等量关系，求出p的值
抛物线与直线的位置关系
相交
已知直线方程，求弦长
1、联立直线和抛物线方程
2、消y，得到关于x的一元二次方程
3、由根的判别式判断位置关系
4、根据弦长公式求弦长
中点弦问题，利用点差法求解
求出直线斜率，写出点斜率式
相切
已知切点，求切线方程/已知切线斜率，求切线方程
相离
平行切线法求抛物线上的点到直线的最值
判断位置关系
1、联立直线和抛物线方程
2、消y，得到关于x的一元二次方程
3、若二次项系数为0，直线与对称轴平行，有1个公共点，相交
4、若二次项系数不为0，比较根的判别式与0的大小关系，判断位置关系
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