考研数一第七章
2020-05-22 22:48:30 0 举报AI智能生成
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考研数一第七章
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大纲/内容
第七章 无穷级数
常数级项数 计算
在正项级数计算的一般计算方法总集
判断级数是否在无穷远处为0
可计算出改级数在无穷远处，趋向于1，则该级数发散
最小极限替换
在具体的大题求解时，用泰勒公式会更具有说服力一些
收缩变换
此题需要注意，分子转分母那一步，此为解题关键之一
由这两题可以得到一个处理根号时的基本思想
正项敛散性判断公式应用前需确认是正项级数
交错级数敛散性判断
利用莱布尼茨公式进行判断，此题使用的单调性求解
级数与证明题的综合
得到an收敛后，直接利用an的有界性直接证明anbn绝对收敛
比值法求导正项级数时，需注意这只是充分条件，也就是说正项级数收敛不能得到这个条件
利用上面的不等式用bn来表示an，即可的解
求导证明题中的常见公式
利用莱布尼茨公式，以及此题的基本公式求解
导数与级数的综合
积分中值定理
此题可用之前an+1-an的级数收敛特性来直接求解
泰勒公式
幂级数计算
收敛域计算
变量代换：将复杂的式子转换为t的n次方等形式
将函数展开为幂级数
用微分j积分求导展开式时要注意0点的微分值
例如，本题先用微分化简三角函数，再用积分求原先的值，不过期间要注意0的积分值
sinx+cosx的幂级数之和
此函数直接求导将会有
级数求和
应用泰勒公式时注意级数的下标，泰勒公式一般从0开始，如果下标不一样需要补齐
此题还用到了积分法，来消除n
替换法：将题中常数的n次方替换为x的n次方
这是个常用的级数，注意下角标是1
关于n2*xN的处理:两次导数
当求函数的级数和时：
第一步：求导函数的收敛域
第二步：求导函数收敛域内，无意义点的值
第三步：求导收敛域内函数的级数和
注意，转换过程中的分母，以及指数函数，这两种情况是比较常见会带来无意义点的情况
泰勒公式的使用
三角级数计算
三角级数收敛说明：点的收敛性需依照狄利克雷定理，不能通过点左极限或者右极限存在就只能一边的值
函数傅里叶展开
此题有经典的傅里叶积分式子，建议多多推导
常数级项数
级数性质
改变级数前有限项不影响级数敛散性
收敛级数加括号任收敛
一个级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛
一个级数加括号以后发散，原级数一定发散
正项级数的敛散性；判定方法
比较判别法
比值判定法
根值判定法
上面两种判定方法均为充分条件，不为必要条件
交错级数的敛散性判定方法
莱布尼茨判定法
任意项级数的敛散性
绝对收敛的级数一定收敛
条件收敛的级数所有正项构成的函数一定发散
幂级数
幂级数收敛半径
一个幂级数的收敛半径总是存在
阿贝尔定理：
这也是收敛半径求导的一个办法，
求导方法
泰勒级数展开
泰勒级数：
几个常用的麦克劳林公式：
三角级数
傅里叶级数公式
收敛性定理：狄利克雷定理
1，函数除有限第一类间隔点以后都连续
2，只有有限个极值点
周期为2Pi的函数傅里叶展开
周期为2l的函数傅里叶展开
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