期权
2022-06-21 10:10:30 2 举报AI智能生成
期权知识结构
作者其他创作
大纲/内容
定价
Replication
核心思想
用标的资产+无风险利率借款复制期权的收益
该思想也是衍生品定价的核心思想，为防止套利衍生品的当前价值必须和标的物价值一致
该过程无需了解上涨下跌的概率，风险中性定价（risk neutral pricing)
定价过程
数量n的标的资产（例如股票）+价值为B的无风险投资（例如银行存款，如果为负数则为借款）
设期初：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="c=nS+Be^{-rt}"><span></span><span></span></span>，且标的资产在期末只有上涨下跌两种情况
期末上涨至Su：<font color="#c41230">cu=n*Su+B</font>（期权in-the-money且价值为cu=Su-S）==>Su-S=n*Su+B
期末下跌至Sd：<font color="#c41230">cd=n*Sd+B</font>（期权out-of-the-money且价值为cd=0）==>0=n*Sd+B
将联立方程解出的n，B带入期初得到期初期权价值c
设：标的资产上涨概率p，下跌概率（1-p）
将股票t时刻的期望价值折现得到：S=[Su*p+Sd*(1-p)]*exp(-rt)，求出风险中性概率p
使用风险中性概率p定价：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="c=[pc_{p}+(1-p)c_{d}]e^{-rt}"><span></span><span></span></span>
Black-Scholes Model
Assumptions
European Option
标的资产价格连续变化（最重要）
利率已知且恒定
标的资产收益的方差恒定
完美资本市场
几何布朗运动建模：dt时间内dS/S=µdt+σ^2dz(对数收益率dS/S~N(µdt,σdz)<br>
资产价格分布服从Lognormal Distribution
核心
期权的头寸可以通过标的资产的delta头村来复制
BMS模型可推导期权的risk-neutral probability，但这个概率!=physical probability
公式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="c=S_{0}*N(d_{1})-Ke^{-rt}N(d_{2})"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="p=S_{0}[(N(d_{1})-1]-Ke^{-rt}[N(d2)-1]"><span></span><span></span></span>
N(d2)=Neutral Probability:St>K的概率，call option的行权概率
N(d1)=delta
意义是股票价格变动一个单位，期权价格的变化量。描述了期权价格对股价的敏感性
是服饰交易策略中股票的数量
是动态套期保值比率或对冲比率
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="S_{0}N(d_{1})"><span></span><span></span></span>：股票市值，期权所得到的货币价值的期望现值
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="Ke^{-rt}N(d_{2})"><span></span><span></span></span>:复制交易策略中负债的价值，执行价的期望现值
其他性质
深度实值的call option等价于long forward contract，因为肯定会行权
futures option（期货期权）是按无风险收益率支付现金流，可以视为long asset+现值为F的存款
futures option的隐含收益率为risk-free rate
put-call parity
Assumption
European Option
到期时间t相同
执行价K相同
核心思想
1:long call + 到期时间为t的现金存款K*exp(-rt)--期初支出：c+K*exp(-rt)，到期：如果option行权，将银行存款K取出行权，构成无风险投资
2:long put + 以当前价格S买入标的资产--期初支出：p+S，到期：如果potion行权，将标的物以K卖出即可，构成无风险投资
1和2两种方案的总回报应相等
St<K
1回报：0-c+K-K*exp(-rt)
2回报：St-K-p+St-S
0-c+K-K*exp(-rt)=St-K-p+St-S ==><font color="#c41230"> c-p=S-K*exp(-rt)</font>
St>=K
1回报：St-K-c+K-K*exp(-rt)
2回报：0-p+St-S
St-K-c+K-K*exp(-rt)=0-p+St-S ==><font color="#c41230"> c-p=S-K*exp(-rt)</font>
公式
c-p=S-K*exp(-rt)
标的资产存在收益率y
c-p=S*exp(-yt)-K*exp(-rt)
y也叫市场隐含收益率（implied yield）我们可以根据这个公式反向计算y
实际收益率-隐含收益率=收益互换（dividend swaps）的远期利率
敏感性度量
Delta
特性
Delta充分收到现货价格和时间变化的影响
度量了期权价格对标的价格变化的敏感性
当期权接近到期日时，delta函数的凸性gamma更大
Call Option
表达式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\delta_{c}=\frac{\delta_{c}}{\delta_{S}}=N(d_{1})e^{-r^*t}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\delta\in(0,1)"><span></span><span></span></span>
r*仅代表dividend rate，与risk-free rate无关！
特殊场景
deep-out-of-money
delta->0
at-the-money
delta=0.5
相当于1份期权的价格变动等于0.5份标的资产的价格变动
deep-in-the-money
delta->1
Put Option
表达式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\delta_{p}=\frac{\delta_{p}}{\delta_{S}}=[N(d_{1})-1]e^{-r^*t}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\delta\in(-1,0)"><span></span><span></span></span>
特殊场景
deep-out-of-money
delta->-1
at-the-money
delta=-0.5
相当于1份期权的价格变动等于-0.5份标的资产的价格变动
deep-in-the-money
delta->0
Gamma
特性
关于标的资产的二阶偏导数，也是delta关于S的一阶偏导数
度量了detla的不稳定性
具有相同条件的call or put option其gamma值完全相同
越接近到期日的gamma越大
当delta对冲的投资组合，gamma 和 theta必须异号！！！
有别于债券的凸度>0，期权的凸度可为负
gamma>0
有益，表示资产价格下降的较慢或增长的较快
long call & delta>0
long put & delta<0
gamma<0
危险，有较快的价格下跌或较慢的价格上涨
short call & delta<0
short put & delta>0
Call/Put Option
表达式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\gamma=\frac{\sigma^2_{c}}{\sigma_{S}^2}=\phi(d_{1})e^{-r^{*}t}/S\sigma\sqrt{t}"><span></span><span></span></span>
特殊场景
deep-out-of-money
gamma->0
at-the-money
gamma最大
时间越短越大，非线形表现的最明显
deep-in-the-money
gamma->0
Vega
特性
度量期权对波动率的敏感性
对于类似的看涨看跌期权是相通的
长期的at-the-money期权vega最大
Call/Put Option
表达式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="vega=\frac{\delta_{c}}{\delta_{\sigma}}=Se^{-r^*t}\sqrt{t}\phi(d_{1})"><span></span><span></span></span>
特殊场景
deep-out-of-money
vega->0
at-the-money
vega最大
随到期日临近而递减
deep-in-the-money
vega->0
Rho
特性
度量期权价格对国内利率的敏感性
但如果标的资产的收益了r*的上涨带来的反效果，降低资产价格的增长速度
Call Option
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\rho_{c}=\frac{\delta_{c}}{\delta_{r}}=Ke^{-rt}tN(d_{2})"><span></span><span></span></span>
看涨期权的价格随利率的上涨而上涨
Put Option
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\rho_{p}=\frac{\delta_{p}}{\delta_{r}}=-Ke^{-rt}tN(-d_{2})"><span></span><span></span></span>
Theta
特性
度量由于时间的消逝引起的期权价格变化
也称为Time Decay
无论call or put，long的theta<0
随着时间的消逝，期权的价值在下降
如果gamma>0，那么价值必然随着时间衰减
American Option的theta恒<0
因为随时都可以行权
不同于其他风险因子，时间不是一个风险因子
Call Option
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\theta_{c}=\frac{\delta_{c}}{\delta_{t}}=what ever"><span></span><span></span></span>
Put Option
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\theta_{p}=\frac{\delta_{p}}{\delta_{t}}=what ever"><span></span><span></span></span>
特殊场景
deep-out-of-money
theta->0但比0小，不对称
at-the-money
theta最小
时间越短，负的越多
deep-in-the-money
theta->0
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