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期权

2022-06-21 10:10:30   2  举报

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期权知识结构

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期权

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大纲/内容

定价

Replication

核心思想

用标的资产+无风险利率借款复制期权的收益

该思想也是衍生品定价的核心思想，为防止套利衍生品的当前价值必须和标的物价值一致

该过程无需了解上涨下跌的概率，风险中性定价（risk neutral pricing)

定价过程

数量n的标的资产（例如股票）+价值为B的无风险投资（例如银行存款，如果为负数则为借款）

设期初：，且标的资产在期末只有上涨下跌两种情况

期末上涨至Su：cu=n*Su+B（期权in-the-money且价值为cu=Su-S）==>Su-S=n*Su+B

期末下跌至Sd：cd=n*Sd+B（期权out-of-the-money且价值为cd=0）==>0=n*Sd+B

将联立方程解出的n，B带入期初得到期初期权价值c

设：标的资产上涨概率p，下跌概率（1-p）

将股票t时刻的期望价值折现得到：S=[Su*p+Sd*(1-p)]*exp(-rt)，求出风险中性概率p

使用风险中性概率p定价：

Black-Scholes Model

Assumptions

European Option

标的资产价格连续变化（最重要）

利率已知且恒定

标的资产收益的方差恒定

完美资本市场

几何布朗运动建模：dt时间内dS/S=µdt+σ^2dz(对数收益率dS/S~N(µdt,σdz)

资产价格分布服从Lognormal Distribution

核心

期权的头寸可以通过标的资产的delta头村来复制

BMS模型可推导期权的risk-neutral probability，但这个概率!=physical probability

公式

N(d2)=Neutral Probability:St>K的概率，call option的行权概率

N(d1)=delta

意义是股票价格变动一个单位，期权价格的变化量。描述了期权价格对股价的敏感性

是服饰交易策略中股票的数量

是动态套期保值比率或对冲比率

：股票市值，期权所得到的货币价值的期望现值

:复制交易策略中负债的价值，执行价的期望现值

其他性质

深度实值的call option等价于long forward contract，因为肯定会行权

futures option（期货期权）是按无风险收益率支付现金流，可以视为long asset+现值为F的存款

futures option的隐含收益率为risk-free rate

put-call parity

Assumption

European Option

到期时间t相同

执行价K相同

核心思想

1:long call + 到期时间为t的现金存款K*exp(-rt)--期初支出：c+K*exp(-rt)，到期：如果option行权，将银行存款K取出行权，构成无风险投资

2:long put + 以当前价格S买入标的资产--期初支出：p+S，到期：如果potion行权，将标的物以K卖出即可，构成无风险投资

1和2两种方案的总回报应相等

St<K

1回报：0-c+K-K*exp(-rt)

2回报：St-K-p+St-S

0-c+K-K*exp(-rt)=St-K-p+St-S ==> c-p=S-K*exp(-rt)

St>=K

1回报：St-K-c+K-K*exp(-rt)

2回报：0-p+St-S

St-K-c+K-K*exp(-rt)=0-p+St-S ==> c-p=S-K*exp(-rt)

公式

c-p=S-K*exp(-rt)

标的资产存在收益率y

c-p=S*exp(-yt)-K*exp(-rt)

y也叫市场隐含收益率（implied yield）我们可以根据这个公式反向计算y

实际收益率-隐含收益率=收益互换（dividend swaps）的远期利率

敏感性度量

Delta

特性

Delta充分收到现货价格和时间变化的影响

度量了期权价格对标的价格变化的敏感性

当期权接近到期日时，delta函数的凸性gamma更大

Call Option

表达式

r*仅代表dividend rate，与risk-free rate无关！

特殊场景

deep-out-of-money

delta->0

at-the-money

delta=0.5

相当于1份期权的价格变动等于0.5份标的资产的价格变动

deep-in-the-money

delta->1

Put Option

表达式

特殊场景

deep-out-of-money

delta->-1

at-the-money

delta=-0.5

相当于1份期权的价格变动等于-0.5份标的资产的价格变动

deep-in-the-money

delta->0

Gamma

特性

关于标的资产的二阶偏导数，也是delta关于S的一阶偏导数

度量了detla的不稳定性

具有相同条件的call or put option其gamma值完全相同

越接近到期日的gamma越大

当delta对冲的投资组合，gamma 和 theta必须异号！！！

有别于债券的凸度>0，期权的凸度可为负

gamma>0

有益，表示资产价格下降的较慢或增长的较快

long call & delta>0

long put & delta<0

gamma<0

危险，有较快的价格下跌或较慢的价格上涨

short call & delta<0

short put & delta>0

Call/Put Option

表达式

特殊场景

deep-out-of-money

gamma->0

at-the-money

gamma最大

时间越短越大，非线形表现的最明显

deep-in-the-money

gamma->0

Vega

特性

度量期权对波动率的敏感性

对于类似的看涨看跌期权是相通的

长期的at-the-money期权vega最大

Call/Put Option

表达式

特殊场景

deep-out-of-money

vega->0

at-the-money

vega最大

随到期日临近而递减

deep-in-the-money

vega->0

Rho

特性

度量期权价格对国内利率的敏感性

但如果标的资产的收益了r*的上涨带来的反效果，降低资产价格的增长速度

Call Option

看涨期权的价格随利率的上涨而上涨

Put Option

Theta

特性

度量由于时间的消逝引起的期权价格变化

也称为Time Decay

无论call or put，long的theta<0

随着时间的消逝，期权的价值在下降

如果gamma>0，那么价值必然随着时间衰减

American Option的theta恒<0

因为随时都可以行权

不同于其他风险因子，时间不是一个风险因子

Call Option

Put Option

特殊场景

deep-out-of-money

theta->0但比0小，不对称

at-the-money

theta最小

时间越短，负的越多

deep-in-the-money

theta->0

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