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电磁学

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本科物理学体系框架② 内含该力学分支的理论基石和核心理解以及疑难问题的思考与解答

物理

作者其他创作

大纲/内容

表述：在真空中，两个静止点电荷q1和q2之间的相互作用力的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间的距离r的平方成反比；作用力沿着它们的连线，同号电荷相排斥，异号电荷相吸引。

如上图，A代表a（金属球）bc（金属针）d（金属杆）这个整体，它们之间相互导电，B代表金属外壳，A和B之间绝缘，形成一个电容器。当a与外界带电物体连接时，c、d带上同种电荷，故c具有一定的张角。此时金属外壳内部也将感应上异种电荷，外部若不接地则感应上与a同种的电荷，若接地则没有电荷，但金属外壳由于对称性，对金属针bc的作用可以不计

静电计是什么以及其作用原理

绝缘体并非不能带电，而是电荷只能停留在产生的地方，不容易（或直接认定不能）转移或传导导体之所以能导电根本上来说是因为存在自由电荷（这个并非是经典或者近似的认知，而是本质的认知）所以半导体导电与否看的是电子是否进入导带，而非电子的波矢分布

电磁学的基石——库仑定律

试探电荷，它确实是能对原来的电场产生影响的，这个是消除不去的，但书上只提了它对原来电荷分布的改变所造成的影响，而我认为除此之外它本身也将产生一个电场，这也会对原来的电场产生影响。但是！！我考虑之后认为，后者的影响存在与整个空间却独独不存在与这个试探电荷所处的点，也可以这么认为，试探电荷的电场只会在它存在的前提下，对另一个试探电荷在对那个点的电场进行探测时产生影响，而我们同一时刻只会采用一个试探电荷，所以这个影响是不存在的。故，试探电荷对原电场的影响只有前者，即因为电荷的相互作用而改变电荷分布从而改变电场，解决这个矛盾的方法是让试探电荷的电量充分小，不管是否能实现，这都是在电场已经存在的前提下对它的测量，并不影响电场的客观性。

l时成立\\\\&延长线上E=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{2 \\vec{p}}{r^{3}} \\\\&中垂面上E=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{-\\vec{p}}{r^{3}}\\end{aligned}\\\\电偶极子的电势分布：\\varphi(\\vec{r})=\\frac{\\vec{P} \\cdot \\vec{r}}{4\\pi \\epsilon_0 r^3}（无穷远处为势能零点）\\\\还可以看出，电偶极子电场、电势的衰减速度比点电荷快很多\"

外框

一些有用的结论

重要物理模型——电偶极子、电偶极矩

均匀带电细棒

均匀带电平面

一系理想带电体模型的电场

注意，引入电荷密度之前，电场是没有直接的计算公式的，我们只能由库仑定律+场的叠加性来计算电场，有了电荷密度之后，我们可以计算任何已知电荷分布的电场，本质上还是库仑定律+微元法+场的叠加性

电场

电场线与电通量是差不多一回事，其中电场线密度就正比于电场强度

高斯定律的初等证明/引入：通过以点电荷为球心的球面上的总电通量来引入，再在这个标准球面上做等效得到任意包围点电荷的结论，再推广到包含任意电荷

关键理解在于“与闭合曲面外的电荷无关”：它说的并不是某点的电场强度与闭合曲面外的电荷无关，而仅仅是面上的全部的电通量与....无关。这是很好理解的，电荷对于不包含它的闭合曲面的电通量贡献为零。

高斯定理的严格证明是通过库伦定律（库仑定律推得的任意电荷分布的电场）+场论的数学工具，其本质上是与两作用物的某物理属性的乘积成正比、距离成二次反比的有心力场的一种性质，比如万有引力场也可推出类似的“高斯定理”

高斯定律

有心力场是保守力自然可以定义出势场来

span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

电场：零和等效点电荷

电势：恒定值和等效点电荷

均匀带电球壳

电场：线性增加和等效点电荷

电势：先按二次方加负号衰减再等效点电荷

均匀带电球体

电势负梯度等于电场，电势梯度方向垂直于等势面，为电势上升最快的方向

电势及其梯度

第一章静电场——真空条件下的静止电荷

高斯单位制，CGSE，用厘米·克·秒作为基本单位

MKSA单位制，以m、kg、s、A为基本单位，注意电荷量C是通过A、s定义出来的

单位制

导体放入电场中会发生什么？导体中的自由电荷会在电场作用下重新分布，而这又会产生一个附加电场从而使导体内、外的电场都重新分布，直到这个附加电场在内部能完全与原来的电场抵消掉，此时导体内部总电场处处为零，自由电荷将不再移动。

静电平衡定义为：带电体系中的电荷静止不动，电场不随时间变化。对于均匀导体而言，静电平衡意味着①内部电场处处为零

1、导体是个等势体、其表面是一个等势面（因为内部场强为零）

2、导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直（因为表面是等势面，电场是电势的负梯度）

这里补充一点，表面曲率越大，面电荷密度越大，产生的电场越强，这是尖端放电现象。“电风”和“电晕”都是尖端放电现象的表现。电晕是因为高场强下的离子与分子碰撞使其处于激发态而产生光辐射

3、导体内部无净电荷（高斯定理，注意，这个结论不依赖与导体是否实心，因为高斯面是任取的），外表面有净电荷，面电荷密度如右；（注意导体内部和内表面是两个概念）

静电平衡场景的推论

补充说明，这里的逻辑链条还有一点没有交待明白：电场线总会从正电荷其，到负电荷终，不会在没有电荷的地方中断

①内表面处处无净电荷（高斯定理可证电荷代数和为零，再用反证法（反证的矛盾点是导体是等势体）证不可能存在异号的面电荷密度）法拉第圆筒实验可以证明该结论

②空腔内也处处没有电场，整个导体表面以内都是等势的

腔内无电荷时

内表面所带电荷和腔内电荷代数和为零（直接用高斯定理很容易证），这时内部空腔中便存在电场了

这里的“不受影响”指的不是金属/导体腔体的存在对腔内电荷在腔内产生的电场毫不影响，而是说这个影响不会因为外场的改变、不会因为导体带电量的改变而改变

有一个核心问题，导体的存在会加强原来电荷产生的电场吗？我认为是会的，因为无论是导体还是绝缘体，它们的存在都将与电场互相影响

外对内的“屏蔽”不需要条件，但想要做到内部的电荷不对外部产生任何影响，则需要将导体腔的外表面接地

静电屏蔽现象：是指空腔导体内部（再次强调内部和内表面没有交叠）场强为零，所以内表面以内的电荷不会受到空腔导体以外的电场以及空腔导体本身带的电荷的影响

腔内有电荷时

空腔导体与静电屏蔽

导体

定义为使导体每升高单位电势所能承载的电荷量

孤立导体的电容

引入：当导体A附近存在其他导体，这是A的电势就不仅仅取决于自己的电荷了，还取决于周围导体的分布与电荷，所以上述电容定义失效，我们必须要采用静电屏蔽的办法消除外界影响，让处于一个定值或定值加上一个常数。

电容器的概念应运而生，它指的是由导体壳B和腔内导体A以及中间所充满的介质层共同组成的导体系。可接地也可不接地

这是一定成立的，也是绝缘体无法成为电容器一极板的原因

1、导体壳内表面将与导体A产生等量异号的电荷

2、导体A与导体壳B的电势差将仅仅取决于①A的电量和形状②B的形状

3、接地的作用是让导体壳B电势为零，则A的电势是绝对电势

特性

1、平行平板

2、同心球形

3、同轴柱形

一些有用的常见的“近似”电容器

近似电容器：上述情况的“静电屏蔽”是理想情况，实际上只要两块导体相隔足够近，使得集中在两导体相对的表面上的那部分电荷是符号相反、数量相等的，且它们产生的电场线集中到所夹的狭窄区域，则外界影响也可以忽略，视为“屏蔽”。

电容器的电容

电压和电荷量是同时产生的，他们是孪生兄弟，互为因果

串联：

并联：

串并联公式

平行平板电容器

电容器的储能

电容

对于均匀绝缘体，极化电荷只出现在表面

退极化场：介质极化后产生的极化场将会对原电场产生影响，总体而言，介质内部总电场削弱，外部总电场增强

结论之一，静电场满足电场环路定理，但电位移矢量不满足结论之二，电位移矢量最好通过高斯定理来求，它和真空情况下的电场之间没有直接的一一对应关系

极化率与电位移矢量的细节电动力学再谈

压电效应的本质是晶体发生机械形变时，它会产生极化，而在相对的两面上产生异号的极化电荷

绝缘体（电介质）

这个问题本质上要由实验给出答案。但在稳恒电场下，电荷与电场总是同时存在、相伴相生，我们无法通过实验分辨电能是与电荷相联系还是与电场相联系；不过在变化的电场下，电场和势场将以一定的速度向空间传播，形成电磁波，此时电磁场便可以脱离电荷传播到很远的地方，我们便可以断定电磁场是携带能量的了。所以定论便是——电能存在于电场之中

静电能存在于电荷还是存在于电场？

静电能根本上来说是相对量，需要定义零点，我们将带电体分割为无限小的部分，并且都分布在无限远的位置上的状态定义为静电能为0。那么静电能就可以定义为将各部分电荷从无限分散的状态聚集成现有带电体系时，抵抗静电力所做的全部功。

静电能可以按照将电荷依次从无限远的地方搬运到某处做的功来计算

电场能量（如上）和带电体系的静电能之间的关系

是通过静电能的变化对应的做功来定义的，这里是假设存在一个虚位移，然后用虚功对虚位移求偏导算出来的，当然算出来的是力沿虚位移方向的投影

带电体系的受力问题

静电场的能量

第二章导体和绝缘体——二者在电场中的响应总体而言，二者对原电场将产生两方面的影响：①改变产生原电场的电荷分布②自身产生附加电场

我初步认为库伦定律和安培定律并非仅仅在真空中适用，它们在任何情况下都可以算出电磁场的“原电场和原磁感应强度”，之后再和极化强度以及磁化强度一起列方程，可求出实际的电场和磁感应强度，这等价于将epsilon和mu换一个常数

关于核心定理的适用范围

这里自然而然引出一个实验：不带电的空腔导体内放入电荷，将外表面接地，之后先去除接地，再取出内部电荷，此时空腔导体将带上与最初放入的电荷同等异号的电荷

接地意味着电势为零，那么接地的表面就不可能带净电荷，否则总会有电场线从无穷远（零电势点）指来或指向它我认为不对！接地仅仅只是电势为零，净电荷是否为零要看是否还有别的电荷在此处产生电势，若有，则为了抵消这个电势，势必还是会产生电荷。

关于接地

关于电荷产生电场的瞬时性问题以及A点的电荷在B点产生的电场时候会受A到B之间的电磁状况的影响（比如经过了导体和绝缘体）

电场的形成一定是一个系统中所有组成部分共同作用的结果，不带电的导体当然会改变电场

电偶极子在电场中的能量以及力矩，这里的电场包不包括它本身产生的电场呢？——我暂时认为不包括

静电场

稳恒电场

恒定磁场

电磁场的分类

我认为是。书上是这么暗示的：“在实验中无法实现一个孤立的恒定电流源，只能间接地从闭合载流回路中倒推出来”

电流一定得是回路吗

历来的疑难问题

物理实质是电荷守恒定律

电流场的连续性方程

电流的恒定条件：空间中任何一处不存在电荷的积累与流失

欧姆定律只对线性元件成立

电流与电流密度

定义：电荷在运动，但总体而言电荷的分布不改变的电场。这要求电流满足恒定条件

注意这里的导体中无论是稳恒电场还是静电场都是不存在电场的

1、是否激发磁场3、导体是否不等势4、维持该电场是否需要外界输入能量“是”对应稳恒电场，“否”对应静电场

与静电场的区别

稳恒电场中，导体内部也不存在净电荷，净电荷只存在于导体交界面和不均匀处

静电场的电场环路积分为零，稳恒电场沿电路环路积分等于电动势

电势差决定电流的方向吗？我认为电路中只有一个真正的“电源”，即电动势最大的电源，其他电源（指正接正负接负的）可以视为一个压降等于其电动势的特殊电路元件。

非静电力习惯定义为单位电荷所受到的非静电力，与电场同量纲由负极指向正极，与路端中的电场首尾相连，与电源内部的电场方向相反，且应该大于它

电源不外接其他电源或者外接（正接正负接负）的电源电动势比它小时，电源内部电流由负极流向正极，为放电

电源外接（正接正负接负）电动势比它大的电源时，前者内部电流由正极流向正负，为充电

电源的充放电

路端电压不等于电动势，等于电动势减去内阻导致的压降

非静电力与电动势

压降本质上是电场的线积分

基尔霍夫电压定律的关键是环路压降为零就是电压加电压加电压等于0

1、基尔霍夫第一定律：在任意的集中参数电路中（即集总电路），任意时间，任一节点上，流入流出该节点的电流的代数和恒等于0。2、基尔霍夫第二定律：在任意的集中参数电路中，任意时间，沿着任一回路，各段电压降的代数和恒等于0。基尔霍夫定律包括基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律，其中基尔霍夫第一定律即为基尔霍夫电流定律，简称KCL；基尔霍夫第二定律则称为基尔霍夫电压定律，简称KVL。

使用时一般列方程的是第二定律，即找一个回路，总压降为0

基尔霍夫电路定律

第三章恒定电流

磁现象都是运动的电荷（电流）之间的相互作用安培电子环流假说

描述的是电流与电流之间的相互作用

高中的语言：F=BIL，方向用左手判断：磁场穿过手心，四指指向电流，拇指指向力

注意电流元之间不满足牛顿第三定律，但这不导出矛盾，因为客观世界压根不存在孤立电流元

安培定律

如同从库仑定律中引入电场强度一般，从安培定律中引入磁感应强度

磁感应强度

磁现象

描述的是电流元产生的磁感应强度，但实际上可能已经提过了

距离一次反比

载流直导线

距离三次反比

载流圆线圈

外部无磁，内部全同，与电流和圈数正比

载流螺线管

一些常见的场景和有用的结论

毕奥萨伐尔-拉普拉斯定律

B也称为磁通密度

磁通量

无论什么情况都成立，因为磁场是无源场

磁高斯定理

安培环路定理

磁高斯定理和安培环路定理

注：对线圈的形状无任何要求

磁矩的力学性质

（载流线圈的）磁（偶极）矩

安培力的功

回旋共振频率与粒子的速率和回旋半径无关，只与磁场和比荷有关

一些结论

洛伦兹力

第四章恒定磁场

库仑定律及库仑定律引出的任何电荷场的电场

一般情况下的高斯定理

一般情况下的电场环路定理

电学

安培定律及安培定律引出的毕奥萨伐尔定律（任何电流场产生的磁感应强度场）

磁介质中的安培环路定理

磁学

电磁感应

核心定理

高中的说法，导线切割磁导线，右手定则；or高级一些，感生电流阻碍磁通量的变化（楞次定律）

符号与方向

把铁芯看成一系列半径逐渐变化的薄壳层，

用叠合起来的硅钢片替代整块铁芯

涡电流

楞次定律，机械能转化为电能转化为焦耳热

电磁阻尼

当导线中通有高频交流电时，电流密度将主要分布在导线边缘

解释：导线中电流方向的改变会引起环形磁场的变化，这时我们选取垂直于磁场、横亘导线中线到边缘的磁通面积（选磁通面积就相当于选等效回路），分析它的感生电流可知，在取平均的角度上，中心处的感生电流总是与原电流相反，边缘处相同。

应用：交流电输电线采用绊线

趋肤效应

两个物理场景

法拉第电磁感应定律

动生电动势的非静电力可以视为洛伦兹力

动生

在变化的磁场周围会激发一种电场，这种电场不依赖于导体回路，而是产生自变化的磁场

2、不同之处在于，涡旋电场不是由电荷激发，而是由变化的磁场激发

5、静电场和涡旋电场一同组成总电场，从这里可以看到麦克斯韦方程组的一隅

重要理解

涡旋电场(感应电场)

感生

动生电动势与感生电动势

定义：这是两个线圈之间的事情，线圈1中的电流的变化会导致线圈2产生感应电动势，这就是互感当然，线圈1自身的电流变化也会对自己产生一种影响，这叫自感。

互感系数与自感系数

串联：正接：反接：

电感和电容蛮对应的

自感或互感积蓄的能量可以通过电流建立过程中抵抗感应电动势做功来计算（电容器中的能量是通过电荷积累过程中逆电势降所做的功来计算）

自感磁能与互感磁能

互感与自感

通法：通过欧姆定律、电容、电感的定义列出电流i或电荷量q随时间的ODE，再结合初始条件求解

暂态时间

LR电路

RC电路

LCR电路

简单的暂态过程举例（前二者都是暂态过程，第三者可能出现振荡）

暂态过程

最大误区：错在没搞清楚电感的“惯性特性”，当时将它视为一个电源，其实不是，它只是一个让电流不瞬间增加以及不瞬间减少的缓冲工具。同时电感（线圈）的能量不是它的“反抗磁场”的磁场能，更不是反电动势的电场能，而是它上面真正磁场的磁场能，跟电流呈二次方关系

我们取电容器充满电作为初始状态。开始的瞬间，开关S打向右侧

电容器放电，形成电流，本该瞬间（此处瞬间也包含一定的时间，下同）达到最大，但因为电感L的存在，这个增大到极大的过程需要一定的时间。通过基尔霍夫第二定律定量分析可知，电流变化与电容器上的电量变化相差二分之π的相位，所以电流达到最大时，电荷为0。在这个过程中，电容器中的电场能量完全转变为电感中的磁场能量，这个过程可以称为正向放电过程。

之后电流达到最大，电容器的电量为零，电流本该瞬间消失，但因为电感L的存在，这个减小到0的过程需要一定的时间。该过程中，仍然存在正向电流，所以电容器被反向充电，直到电流为0时，电荷达到最大值，只不过方向与最初相反。该过程中，电感中的磁场能量完全转化为电容器中的电场能量，这个过程称为反向充电过程。

再之后为反向放电过程，电场能转化为磁场能

一个周期的最后为正向充电过程，磁场能转化为电场能。

工作过程描述

1、电流变化与电容器上的电量变化相差二分之π的相位，所以电流达到最大时，电荷为0。所以磁场能量变化和电场能量变化也差二分之π的相位。

2、把电感视为一个“电流变化惯性”

最关键的点

LC振荡电路

第五章电磁感应

分子原子的固有磁矩是指所有电子的轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和，固有磁矩为0，称为抗磁介质，不为0称为顺磁介质

顺磁性是好理解的，而抗磁性来自抗磁效应，它是分子原子的电子在磁场中获得一个与磁场方向相反的附加磁矩磁矩的总和即磁化强度，从而虚弱磁感应强度。无论顺磁介质还是抗磁介质都有抗磁效应，但顺磁性会掩盖抗磁效应

顺磁性与抗磁性

磁化电流

磁介质的磁化强度

磁介质的磁化

磁介质中的磁感应强度及磁场强度

电场磁场切向连续——通过两个环路定理和选定极薄的环路可证电位移矢量、磁感应强度法相连续——通过两个高斯定理可证

电磁场的边界条件

要理解，我们是通过电流来操纵H，测量的是B，

对于铁磁体而言，μ_r都很大，但并非恒定值，随着H增大，μ_r会减小

磁滞损耗：磁滞回线所包含的面积等于一个磁化过程中铁磁体所损耗的能量，以热量的形式放出。本质上是由于铁磁体的磁感应强度变化在围绕其的线圈内产生感生电动势，线圈中电流抵抗感应电动势做的功就是电路损耗的能量

软磁是指矫顽力很小的铁磁体，硬磁

磁滞回线

铁磁介质的一些性质

磁路是指由铁芯的边界构成的磁感应管，它可以使磁感应通量集中在其中

铁芯可以实现磁屏蔽

磁路定理

磁场能量

第六章磁介质（几乎与电介质对应磁化——极化；铁磁体——导体）

变化的磁场可以产生涡旋电场变化的电场（位移电流）可以产生涡旋磁场这便是电磁波存在的证据

两个电场的定理是在静电场中导出的，两个磁场的定理是在恒定磁场（稳恒电场）中导出的。电磁感应定律是在一般的（变化的）电磁场中给出的，麦克斯韦在这里提出了涡旋电场，它将电场的环路定理推广了再然后电场的高斯定理和磁场的高斯定理麦克斯韦认为本身是普适的。最后剩下的安培环路定理在他引入位移电流后推广到了任意电磁场，核心的思想是变化的电场可以产生涡旋磁场。

位移电流的提出在电动力学中深究

第七章电磁定律的统一——麦克斯韦方程组

1、多了电容、电感这两个基本电路元件

2、多了相位，电压和电流不再同向，且在多个电容、电感出现的电路中发挥改变峰值(有效值)的作用

因为即便是理想的无阻导线以及无漏电电介质，在高频下也无法避免分布电容和分布电感，这些没被考虑到，但确实会导致电流分流和压降

3、基尔霍夫电路定律只是近似成立，且频率越高，成立的近似程度越高

元件之外的电阻、电感、电容、电导，它们不集中于电路某处

分布参数是什么

（两导线间存在电压，所以有电场）漏电导（显著与否取决于两导线的距离以及中间的电介质）和分布电容（显著与否取决于两导线的距离以及中间的电介质以及交流电的频率）的存在使得存在漏电流和电容电流，这使得导线上的电流处处不同；使得不能用一项或者来描述导线上的物理过程；导线的电阻（无论如何都存在）和两导线的自感（显著与否取决于交流电的频率）的存在使得存在导线压降和电感压降，这使得两导线间的电压处处不同；使得不能用一项和来描述导线间的物理过程

所以我们必须描述出电压、电流随空间的分布

比如两导线模型中，上面为来线，下面为回线

分布参数带来的影响

分布参数电路并不只在交流电中出现。分布参数有很多种，包括：导线的电阻，导线间的漏电导，导线间的分布电容和导线的自感；它们有些是在直流电中就会出现。

分布参数集总化

如何解决分布参数问题？

失效是因为

重新生效是因为我们把分掉的电流和压降考虑到了，所以随空间分布确实会减小（假设是减小，增加不过是后面反一下号），但是减小的部分可以由分布参量集总化后的元件的分流和分压所补充

如何理解分布参数出现会导致基尔霍夫电路定律失效，而采用传输线模型后，基尔霍夫定律又有效了呢？

这里的电压、电流之所以出现空间分布，就是因为电磁感应中的涡旋电场以及安培环路定理中的位移电流。电场、磁场会随空间分布，（虽然不是个波），电压、电流也会随空间部分所以电磁场频率越高和交流电的频率越高是等价的，都会使得原有的电路定律失效。

如何理解这里出现的电压、电流的空间分布和电场、磁场的空间分布之间的关系？

它指的是电磁波相对波长很大，研究的区域范围相对这个波长很小，近似有一个不随空间变化的电势，也就有一个不随空间变化的电压

当然要理解很重要的一点：在同一个频率下（，比如MIM中），在传输线中电路定律一套和准静电势近似这一套同时失效；但在针尖那一个小区域，电路定律和准静电势近似这一套又同时近似成立

电磁理论中的准静电近似是怎么回事？

最终一个结论：电路定律和恒定电场这一套是同时成立的，都在0频率下；在有频率时他们同时不再严格成立，但都不需要做什么改动也能使用，分别称为交流电电路定律和准静电近似(似稳电磁场)；在高频情况下，他们同时完全失效，前者需要创造传输线理论，后者需要采用完全形式的电磁场理论；再高频，则电路的方法完全走不通了，只能用电磁场理论来考虑问题；

两导线模型or传输线模型只是特殊性情况下应对高频时电路理论失效的方法，他们当然不具有普适性，但是我们是认识到这点的，所以我们实际应用也确实是在两导线模型一族中使用这套理论来解决问题。

集总电路与分布参数电路

交流电路与直流电路的本质区别

0.1GHz以下的射频电路可以直接用以下的交流电路规律考虑，0.1GHz以上，则会出现分布(寄生)电容、分布（寄生）电感，需要考虑这一部分；若频率再升高，则必须采用麦克斯韦方程组来考虑问题。

此外，在微波频段上，金属导线漏电流、漏电磁波现象（因为寄生电容和电阻）已经非常明显，必须用波导管或者称为微波传输线的通道来传输微波信号

交流电路的频率适用范围

电阻：R

电感：

电容：

三种元件的复阻抗

来源于瞬时值的成立

电路的串并联规律依然保留