人教版高一数学必修一A版第三章
2022-01-19 11:22:25 2 举报AI智能生成
人教版高一数学必修一A版第三章
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大纲/内容
3.1 函数的概念及其表示
一、函数的概念
函数的概念
区间的概念及表示法
闭区间
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="设是两个实数a,b，且a<b，满足a\leq x\leq b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]"><span></span><span></span></span>
开区间
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="设是两个实数a,b，且a<b，满足a< x<b的实数x的集合叫做闭区间，记做(a,b)"><span></span><span></span></span>
半开半闭区间
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="设是两个实数a,b，且a<b，满足a\leq x <b 或 a < x\leq b的实数x的集合叫做半开半闭区间，记做[a,x),(x,b]"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="设是两个实数a,b，且a<b，满足x\geq a 或 x\leq b的实数x的集合记做[a,+∞),(-∞,b]"><span></span><span></span></span>
二、函数的三要素
定义域
值域
对应法则
只有定义域相同且对应法则相同的两个函数才是同一个函数<br>
例题答案为C
三、函数的表示法
<font color="#ff0000">解析法</font>（用数学表达式表示两个变量间的对应关系）
<font color="#ff0000">列表法</font>（列出表格来表示两个变量间的对应关系）
<font color="#ff0000">图像法</font>（用图像来表示两个变量间的对应关系）
四、函数定义域的一般原则
<font color="#ff0000">1.<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(x)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是整式，定义域为全体实数。</font><br>
例子
2.<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(x)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。<br>
3.<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(x)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．<br>
4.对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
<br>
5.三角函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="y=tanx中，x\neq kπ+π/2 (k)\in Z"><span></span><span></span></span><br>
6.零（负）指数幂的底数不能为零．
7.若<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(x)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．<br>
8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(x)" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的定义域为<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="[a,b]" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>,其复合函数<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="f[g(x)]" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>的定义域应由不等式<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="a\leq g(x)\leq b" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>解出．
9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
10.有实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
五、求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的
求函数值域与最值的常用方法：
1.观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值“直线类、反比例函数类”。
2.配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。
3.判别式法：形如<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="y= \frac {a_1x^2+b_1x+c_1} {a_2x^2+b_2x+c_2}"><span></span><span></span></span>的函数用判别式法求值域。<br>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="把函数转化成关于x的二次方程"><span></span><span></span></span><span class="equation-text" data-index="1" data-equation="F(x,y)=0,通过方程有实根，判别式△\geq 0,从而求得原函数的值域，这种方法叫做判别式法。" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
分类
一类分子和分母没有公因式，一般可使用判别式解得，但是要注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况
答案：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\{y|-\frac{\sqrt{3}}{3} \leq y \leq\frac{\sqrt{3}}{3}\}"><span></span><span></span></span>
另一类为分子和分母中有公因式，约去因式回上述方法解决，但值得注意的是函数的定义域问题。
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="答案：\{y|y<=-8或y>0\}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
4.不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值（一正二定三相等）
5.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。
6.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值。
7.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值。
8.函数的单调性法。
3.2 函数的基本性质
一、单调性
1.增函数，减函数，单调性，单调区间的概念
增函数减函数
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="增（减）函数定义中的x_1，x_2必须满足三个特性："><span></span><span></span></span><br>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="一是任意性，即“任意取x_1，x_2”；"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="二是有序性，通常规定x_1 < x_2；"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="三是同区间性，即x_1，x_2必须同属于一个单调区间，三者缺一不可."><span></span><span></span></span>
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质<br>
如果函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="y=f(x)"><span></span><span></span></span>在某个区间M上是增函数或是减函数，那么就说函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="y=f(x)"><span></span><span></span></span>在这一区间M上具有（严格的）单调性，区间M叫做<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="y=f(x)"><span></span><span></span></span>的单调区间.<br>（如果函数在某个区间M上有增有减就叫不具有单调性）.<br>
2.单调性的证明
步骤
3.复合函数的单调性
同增异减
4.常见函数的单调性分析
一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
函数图像
对号函数（对勾函数）
二、奇偶性
1.奇函数偶函数概念
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质，只有对其定义域内的每一个<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x"><span></span><span></span></span>，都有<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="f(－x)=f(x)或f(－x)=－f(x)"><span></span><span></span></span>，才能说<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="f(x)"><span></span><span></span></span>是偶（或奇）函数<br>
2.函数奇偶性的判定
判断函数f(x)的奇偶性主要分为三步进行：
（1）判断函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(x)"><span></span><span></span></span>的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）化简函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(x)"><span></span><span></span></span>的解析式（注意定义域）；
（3）求出<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(－x)"><span></span><span></span></span>，根据<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="f(－x)与f(x)"><span></span><span></span></span>之间的关系，判断函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="f(x)"><span></span><span></span></span>的奇偶性：
判断奇偶性方法
若<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(－x)\neq \pm f(x)"><span></span><span></span></span>，则<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="f(x)"><span></span><span></span></span>既不是奇函数，也不是偶函数；<br>
定义域关于原点对称的非零常数函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="f(x)=c (c\neq0)"><span></span><span></span></span>是偶函数
2.符合函数的奇偶性
在公共定义域内，<br>两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），<br>两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，<br>一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．<br>
两个函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="y=f(u)和u=g(x)"><span></span><span></span></span>复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。<br>
公式
三、周期性
周期性：对于函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="y=f(x)"><span></span><span></span></span>，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="f(x+T) = f(x)"><span></span><span></span></span>都成立，那么就把函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="y=f(x)"><span></span><span></span></span>叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。<br>
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.
函数周期性扩展
1
2
3
4
5
6
四、函数的最值
五、函数图像
1.作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域；
②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；
④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象
①平移变换
②伸缩变换<br>
③对称变换
点和线对称
翻折
常用变换
2.识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
3.用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法。
3.3 幂函数
1.概念
一般的，函数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="y = x^α "><span></span><span></span></span> 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
2.常见幂函数及其分析
幂函数，高中只研究α为1,2,3,1/2,-1的情况
分析函数从函数三要素、函数单调性，奇偶性、周期性、最值等方面研究
子主题
常见幂函数图像
函数图像
幂函数性质
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过定点(1，1)．
②单调性：在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，是增函数；当α＜0时，是减函数．
③奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
3.4 函数的应用（一）
通过训练可以达到的效果
1） 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义.
2） 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题.
3） 能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题.
解题方法：
通过问题设置自变量与因变量
通过题目条件寻找自变量与因变量的关系
列出函数关系式，注意根据实际情况确认定义域或值域的范围
根据函数关系式解出某个场景下的实际问题
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