线性代数知识框架笔记总结

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

定义

（1）在解线性方程组中的应用 初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。（2）用于求解一个矩阵的逆矩阵有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

应用

三种 （1）交换矩阵中某两行（列）的位置； （2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。1.三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。2.三类初等矩阵行列式的值是：（1）：-1 （2）：k （3）：1

初等变换

初等矩阵

m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵（P、Q)，使得A经过有限次的初等变换得到B。

性质

等价矩阵

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为bgt;可逆矩阵或bgt;非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

可逆矩阵的性质

判别方法

运算公式

可逆矩阵（非奇异矩阵）

设A，B和C是任意同阶方阵，则有； （1）反身性：A~ A （2）对称性：若A~ B，则 B~ A （3）传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C （4）若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。 （5）若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。 （6）若A~ B，则A与B 两者的秩相等； 两者的行列式值相等； 两者的迹数相等； 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同； 两者拥有同样的特征多项式； 两者拥有同样的初等因子。 （7）若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。 （8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似 。

相关定理

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：（1）判断特征值是否相等；（2）判断行列式是否相等；（3）判断迹是否相等；（4）判断秩是否相等。以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

判断方法

相似矩阵

伴随矩阵的定义

伴随矩阵的性质

伴随矩阵相关公式

伴随矩阵

bgt; font color=quot;#c41230quot;gt;广义定义/fontgt;：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMzgt; 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）bgt; font color=quot;#c41230quot;gt;狭义定义/fontgt;：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMzgt; 0。其中zT表示z的转置。

font color=quot;#381e11quot;gt;正定矩阵拓展/fontgt;

定义扩展

（1）正定矩阵的行列式恒为正；（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

等价描述

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵

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