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微分中值定理与导数的应用

2022-11-13 19:15:39   0  举报

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大纲/内容

极值与最大最小值

极值定义

求法

确定极值点和极值的步骤:     (1)求出导数;     (2)求出的全部驻点和不可导点;     (3)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);     (4)确定出函数的所有极值点和极值.

最大最小值

设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为, 则比较的大小, 其中最大的便是函数在上的最大值, 最小的便是函数在上的最小值

求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点; (2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)

曲率

弧微分

条件是关于函数单增

参数方程形式

曲率及其计算公式

曲率

子主题

曲率半径与曲率圆

如上图所示，设曲线y=f(x)在点M处的曲率为，在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使得： 以D为圆心、为半径画圆，称此圆为曲线在点M处的曲率圆。D为曲率中心，为曲率半

子主题

微分中值定理

罗尔定理

拉格朗日定理

定义

有限增量定理

定理：如果函数f(x)在区间1商连续，1内可导且导数恒为零，那么其在区间1商为常数

常见题型

证明不等式

证明等式，利用导数等于0，函数等于常数

柯西中值

定义

遇到两个函数相处等于类似导数的形式

洛必达法则

定义

子主题

lnx<x^1/2<x<e^x

函数单调与凹凸性

单调性判断方法

1 判断定义域 2求一阶导函数3判断不可导点并令导函数为零求驻点4判断不同区间的函数单调性

证明不等式

讨论根的个数

凹凸性与拐点

凹凸性定义 

定理2  函数在ab闭区间上连续，在ab开区间上具有一阶二阶导数     若在[a,b]中f’’(x)>0，则曲线f(x)在[a,b]中是凹的； 若在[a,b]中f’’(x)<0，则曲线f(x)在[a,b]中是凸的。

2.2 拐点设曲线y=f(x)连续且处处有切线，则其凹与凸的分界点称为此曲线的拐点。定理 2 设连续函数f(x)在x0的去心邻域内二阶可导，则 ① 若f’’(x)在x0的左、右邻域内异号，则点(x0, f(x0))是y=f(x)的拐点； ② 若f’’(x)在x0的左、右邻域内都为正(或负)，则y=f(x)在x0的邻域内凹(凸)。定理 3 设f(x)在x0处三阶可导，且f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，则点(x0,f(x0))是y=f(x)的拐点。推论设f(x)在x0处n阶可导，且 f’’(x0)=f’’’(x0)=···=fn-1(x0)=0，fn(x0)≠0(n=3,4,···) ① 当n为奇数时，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐点； ② 当n为偶数时，(x0,f(x0))不是y=f(x)的拐点。

泰勒公式

子主题

中值定理1   如果函数在x1处具n阶导数，那么存在x1的一个领域内，对于该领域的任一x有

中值定理2            具有n+1阶导数       则存在拉格朗日余项

拉格朗日余项   n+1的导数那样

麦克劳林公式

佩亚若余项  高阶无穷小的形式o()

子主题

常见的公式

题型

求极限

使用泰勒公式展开的阶数是：分子分母同时出现不为0（消不掉）的最小次数n，这样低于n阶的项都消掉了，而高于n阶的项极限值都为0；高阶无穷小的出现并不影响极限计算，高阶无穷小的项极限也都为0。