高数I【上】思维导图思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

不定积分

原函数与不定积分

原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数使得对任意都有或，则称是在区间上的一个原函数

原函数存在定理（连续性与原函数存在）：若在区间上连续，则若在区间上存在原函数

不定积分：在上的全体原函数称为在的不定积分，写作，为积分常数

不定积分的性质

四则运算法则，注意

基本积分公式

，特例

可积性与连续性

函数连续则必可积，但可积函数不一定是连续的

换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

设的原函数为，可导，则有

第二类换元法

设函数可导，且，有原函数，则有，其中

根式代换：例如令

三角代换：例如令

倒代换：例如

分部积分法

设函数有连续导数，则有，称为分部积分公式，写作

递推法：；，

有理函数及三角函数有理式的积分

有理函数的积分

有理函数：即两个多项式的商所表示的函数，形如，其中为正整数，当时为真分式；当时为假分式

部分分式：以下有理真分式

任意一个有理真分式都可以分解为若干个部分分式之和

待定系数法

赋值法

注意：若出现形如的式子，应利用公式

三角函数有理式积分

三角函数有理式记作，此类积分可通过万能代换转换为的积分，当然，当求此类平方和二倍角时可令

对形如，解法如图：

定积分

定义

设函数在上有界，将区间分割为个小区间，小区间长度为，则有，称在上可积，其中为积分下限和积分上限

默认，若，则有，特殊情况：当时，

性质

线性运算性质

保号性

估值定理：在上可积，且，有

区间上的可加性：

积分中值定理：在上连续，存在一点，使得

意义

定积分是一个数值，仅与被积函数和积分区间相关

几何意义：

定积分变上限的函数

，

定积分变上限函数的导数

若在上连续，则有

特殊情况：若可导，则有

原函数存在定理

定积分变上限的函数是被积函数的一个原函数，即

定积分变限函数的导数

若连续，则

微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）

若在上连续，则有

定积分的换元法与分部积分法

换元法

定积分的换元公式：若在上连续，有

分部积分法

与不定积分的分部积分类似：

奇偶函数的积分性质

被积函数为奇函数

被积函数为偶函数

反常积分（广义积分）

无穷积分

积分：

瑕积分

积分：

反常积分的审敛法

先判断有几处瑕点，一次处理一个瑕点

对被积函数进行等价无穷小和乘以非零常数，的敛散性不变

伽马函数：含参变量反常积分，该积分收敛，特别地当时，有

定积分的应用

定积分的元素法（微元法）

设整体量为，部分量为，则有

平面图形的面积和立体体积

平面图形的面积

直角坐标系下

面积

参数方程下

参数方程，其中，

极坐标系下

，其中极坐标方程为

笛卡尔心形线：

三叶玫瑰线：

伯努利双纽线：

立体的体积

已知截面面积的立体体积

立体体积，截面面积为连续函数

旋转体的体积

曲边图形绕轴旋转：

曲边图形绕轴旋转：相应地有

平面曲线的弧长与曲率

平面曲线弧长计算原理

利用曲线的内接折线长的极限来定义平面曲线的弧长

平面曲线弧长计算

直角坐标方程情况

设曲线的方程为，，若在上有连续的一阶导数，则的弧长为

参数方程情况

平面曲线参数方程为，则曲线弧长为

极坐标方程情况

曲线极坐标方程为，转换为参数方程，曲线弧长即为

平面曲线弧长的曲率

曲率概念（适用于直角坐标系和参数方程）

曲率是用来度量曲线弯曲程度的量，则有曲率

曲率半径

曲率圆

在曲线上找一点，过点作曲线的法线，在曲线凹侧法线上取点，使得，以为圆心，为半径作圆，则该圆为曲线在点的曲率圆

曲率中心

即曲率圆的圆心点

旋转曲面的面积

将由平面曲线旋转得到的旋转曲面的侧面积化为微圆柱体求其侧面积，面积元素为
，其中为弧微分，故旋转曲面的面积为

空间解析几何与向量代数

空间直角坐标系

向量模

子主题

两点间的距离公式

空间两点和之间的距离为

曲面与空间曲线的一般方程

曲面的一般方程

在空间直角坐标系中，若曲面上任意一点的坐标都满足三元方程，且相应的坐标满足该方程的点也一定在曲面上，则该方程称为曲面的一般方程

空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，设两曲面相交于一条空间曲线，则其上的坐标必定满足，且相应的满足该方程组的点必定在这条曲线上，则称方程组为空间曲线的一般方程

平面

法线向量

点法式

一个点和一个法线向量确定一个平面

点，法线向量，设面内任意一点，，两向量垂直，点法式方程

两平面的夹角

通过两平面的法向量的夹角求解

点到平面的距离公式

平面外一点，平面，距离

空间直线及其方程

一般式

两平面相交

对称式

方向向量

一个向量与该直线平行

直线过点，方向向量，

参数式

令，则

两直线的夹角

两方向向量的夹角，

直线与平面的夹角

即直线与投影的夹角，，通过直线向量的方向向量和平面的法向量的夹角

球面

设球面球心为点，半径为，点在球面上，则该球面的方程为

一般地，形如的三元二次方程表示的图形可能为一个球面、一个点、或者一个虚球面

柱面

平行于定直线，并沿定曲线移动的直线形成的曲面称为柱面，称为柱面的准线，称为柱面的母线

对于准线在坐标面上，且母线平行于坐标轴的柱面，设该柱面方程为或或

二次柱面

抛物柱面

圆柱面

椭圆柱面

双曲柱面

旋转曲面

母线，旋转轴

圆锥面

双曲面

二次曲面

子主题

空间曲线与曲面的参数方程

空间曲线的参数方程

两种曲线方程的互化

曲面的参数方程

点的柱面坐标和球面坐标

投影柱面和投影曲线

向量的概念和运算

概念

定义

模

平行

负向量

零向量

方向角与方向余弦

运算

加法

三角形法则，平行四边形法则

数乘

投影

数量积

向量积

向量及向量运算的坐标表示

，，内积

平面和直线的方程

平面方程

点到平面的距离

直线方程

线面间的夹角

点到直线的距离和直线与直线的距离

特殊公式

立方和/立方差：

和差化积：

常用不等关系：

三角函数：

糖水不等式：，其中，

扇形面积公式：

扇形弧长公式：

函数的极限

收敛数列

ε-N定义

对任给的ε＞0，要使|-|=(……带n)<ε

只要n>(……带ε)

设N≥(……带ε）

得n>N，证明极限是某个数

性质

唯一性：若{}收敛，则极限唯一

有界性：若{}收敛，则必有界

夹逼准则：对原数列进行放缩，使得不等式左右两边式子的极限相等，则原数列的极限与两边相等

单调有界准则：单调递增数列有上界必有极限，单调递减数列有下界必有极限，有极限⇒数列收敛

证明单调性

作差法：

相除法：

证明有界

特殊数列极限

函数极限

ε-X定义（适用于或+∞或-∞）

ε-δ定义（适用于）

对任意的ε>0，若有

则有

令，使得

则有，所以

性质

唯一性：若存在，则极限唯一

局部有界性：若存在，则在的去心邻域Ů，f(x)有界

夹逼准则：设，若存在的去心邻域Ů，使得对任意 Ů，总有，则

重要函数极限

或化为

求函数极限方法

相除法

因式分解相消

构造特殊极限法

换元法

有理化

等价无穷小及其性质

左右极限相等法

三角函数法

夹逼定理

构造法

对数法

海涅定理

，其中数列的定义域，

无穷小量与无穷大量

无穷小量

性质

有限个无穷小的代数和仍为无穷小

有限个无穷小的乘积仍为无穷小

无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小

无穷小量的阶

高阶无穷小：若，则称时是的高阶无穷小

同阶无穷小：若，则称时是的同阶无穷小

等价无穷小：若，则称时是的等价无穷小

k阶无穷小：若，则称时是的k阶无穷小

常用等价无穷小

时

，特例

无穷大量

M-δ定义 (适用于)

M-X定义 (适用于)

函数的连续性

连续性定义

定义一：若，则称在连续

定义二：若，则称在处连续

间断点

第一类间断点

可去间断点：在有或不存在

跳跃间断点：在存在左右极限但不相等，

第二类间断点

无穷间断点：在有

震荡间断点

复合函数的连续性

设函数当时极限为，且在连续，函数在连续，则有

即外函数为连续函数时，函数符号与极限符号可以调换顺序

初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都连续

闭区间上的连续函数定理

最值定理

有界定理

介值定理

零点定理（介值定理的特殊情况）

开区间上的连续函数定理（闭区间推广）

有界性

零点定理

导数与微分

导数

定义

函数在某一点上的导数

当自变量在处取得增量时，若极限存在，则称函数在点处可导，此处的导数记作

导函数

设函数在开区间内可导，有或

利用导函数的定义求函数在某一点处的导数

单侧导数

左导数和右导数称为单侧导数，有存在

可导性与连续性

若在可导，则在连续

求导法则

基本初等函数求导

三角函数导数

反函数导数

反函数求导法则

若在区间上严格单调、可导，则其反函数在相应的区间内也可导，即

反三角函数导数（需在特定区间内才成立）

复合函数导数

链式法则

即，其中

幂指函数导数

幂指函数形如

双曲函数导数

反双曲函数导数

高阶导数

二阶和二阶以上的导数统称高阶导数

n阶导数：的阶导函数在的导数，称为在的阶导数，记为

常用阶导数

，，特例

，，特例，

，

替换自变量

已知阶可导，的阶导数

莱布尼茨公式

隐函数的导数

隐函数定义：相对于显函数，形如的函数称为隐函数

隐函数求导法则：同时对方程两边x，y求导

对数求导法：先在等式两侧取对数，再对两侧同时求导

参数方程确定的导数

参数方程

参数方程的求导法则

，

函数的微分

定义

在点的微分(或函数的微分)为

微分的几何意义

导数与微分的关系

函数在点可微的充要条件是函数在点可导，即在点可导与可微等价

基本初等函数的微分公式

微分的运算法则

四则运算法则

复合函数的微分法则

设在可微，在点可微，则复合函数的微分为

一阶微分形式不变性：不管是自变量还是中间变量（如），对于，函数的微分表达式都有形式不变性，即

微分的简单应用

函数的近似计算：若函数在点处可微，则有

导数的应用

微分中值定理

费马引理

设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，则对任意的，有或，那么

罗尔定理

函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则在
内有一点，使得

拉格朗日中值定理

函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则在内有一点，使得

利用拉格朗日中值定理证明不等式

利用不等式构造函数

求导，判别导数正负

利用导数正负确定函数单调性，产生大于小于

有限增量定理

设为为的子区间，自然符合拉格朗日中值定理，所以有，若记为，则原式可改写为

柯西中值定理

函数在闭区间上连续，在开区间上可导，对任意都有，则在内有一点，使得成立

利用柯西中值定理证明某一等式

设出辅助函数

确定辅助函数的导数

按照柯西中值定理构造式子

将式子转化为需要证明的等式

函数单调性与曲线凹凸性

函数的单调性

导数法判定函数单调性

若在内，则在上严格单调递减

若在内，则在上严格单调递增

曲线的凹凸性

定义

设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有，则称的图形在上是凹的

设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有，则称的图形在上是凸的

判定定理

若在内，则在上的图形是凹的

若在内，则在上的图形是凸的

拐点：函数凹凸性发生变化的点，形如

函数的极值与最值

函数的极值

概念：使得的点称为驻点，驻点和导数不存在的点称为函数的临界点

一阶导数判别法

设是连续函数的一个临界点，且在某一邻域上可导，则当，；，时，在处取极大值

条件同上，则当，；，时，在处取极小值

二阶导数判别法

设为函数的驻点，且，则当时，取极大值

当时，取极小值

函数的最值

定义：连续函数在区间内仅有一个临界点，若在处取极小（大）值，则为最小（大）值

利用函数最值证明不等式

利用所要证的不等式构造函数，将证明不等式转化为证明函数最值问题

求导，利用单调性求出最值

回代，证明不等式成立

函数图像的描绘

函数的渐近线

铅直渐近线：若有或，则为曲线的一条铅直渐近线

水平渐近线：若有或（为常数），则为曲线的一条水平渐近线

斜渐近线

利用待定系数法先设出斜渐近线的直线方程，再代入求解

洛必达法则

定义：设，都存在且，（为常数）

未定式：把两个无穷小或无穷大之比的极限称作未定式（形如），常见类型为型或型

型

形如

型

形如

型

对数极限法，转化为型

型

注意：当式子过于复杂时，不可暴力使用洛必达，应先利用等价无穷小化简

泰勒公式

泰勒中值定理：设在含有的某个开区间内有阶导数，则当时，的阶泰勒公式为或

称为佩亚诺余项

称为拉格朗日余项

去掉余项后的式子称为函数在处的n阶泰勒多项式

麦克劳林公式：条件同上，取，有

佩亚诺余项化为

拉格朗日余项化为

常见麦克劳林公式，即在处的泰勒公式

利用泰勒公式求极限

乘除位置用等价无穷小

加减位置上下同阶

消掉低阶量

忽略高阶量

找全同阶量

确定阶数找前后不能抵消的最低次幂

α β φ μ Γ Δ ξ θ ρ～Φ ε δ ≥ ∈ ≤ ≠ ョ≈ ∀ ⇒ ⊆ → ∞ Ů ×