【人教版】七年级下册（2025春版）数学
2025-07-30 23:25:59 0 举报AI智能生成
在【人教版】七年级下册（2025春版）数学教材中，学生们将沉浸在探索数与式、空间与图形、统计与概率等多个核心内容领域。本教材采用最新的教育理念，以培养学生的数学抽象思维能力和逻辑推理能力为目标，注重学生综合素质的提升。篇章之间穿插了丰富多彩的生活实际案例和趣味题目，使得数学学习既扎实又生动。 文件类型为PDF或word，确保在计算机或移动设备上均可获得清晰的阅读体验。整个教学内容充满了易于理解的图表、定义和求解步骤，让学生们在学习新知识的过程中，能够更好地吸收和消化，并将理论与实际相结合。 描述完美地展示了【人教版】七年级下册数学教材的编制理念与实际应用，文字流畅且充满教育热情，既突出了核心教学内容，也强调了教材的易用性与互动性，旨在激发学生的好奇心和创造力。
作者其他创作
大纲/内容
<b>相交线与平行线</b>
相交线
对顶角
定义：两条直线相交后，有<font color="#e74f4c"><b>公共顶点</b></font>且两边<font color="#e74f4c"><b>互为反向延长线</b></font>的两个角
<br>
性质
对顶角相等
邻补角
定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角
<br>
性质<br>
邻补角互补（和为180°）
垂线
定义：两条直线相交成直角时，称这两条直线互相<b><font color="#e74f4c">垂直</font></b>，其中一条叫另一条的<b><font color="#e74f4c">垂线</font></b>，交点叫<b><font color="#e74f4c">垂足</font></b><br>
<br>
<br>
性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
点到直线的距离：<b>直线外一点到这条直线的垂线段的长度</b>
平行线
同位角、内错角、同旁内角
<b>同位角</b>：两条直线被第三条直线所截，在截线<font color="#e74f4c"><b>同旁</b></font>，且在被截两直线同一侧的角，形如“(F)”型
<b><font color="#e74f4c">内</font>错角</b>：两条直线被第三条直线所截，在截线<font color="#e74f4c"><b>两旁</b></font>，且在被截两直线之间的角，形如<font color="#e74f4c"><b>“(Z)”型</b></font>
<b>同旁<font color="#e74f4c">内</font>角</b>：两条直线被第三条直线所截，在截线<font color="#e74f4c"><b>同旁</b></font>，且在被截两直线之间的角，形如“(U)”型
定义：同一平面内，不相交的两条直线
平行公理及推论
<b>平行公理：</b>经过直线外一点，<b><font color="#e74f4c">有且只有一条</font></b>直线与这条直线平行
<b>推论：</b>如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（<b><font color="#e74f4c">若a\\ b，b\\c，则a\\c</font></b>）<br>
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
命题、定理、证明
命题
定义：判断一件事情的语句
组成：题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）
形式：常可写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接题设，“那么”后接结论
分类：真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）
定理：经过推理证实的真命题，可作为推理依据
证明：推理过程，用于判断命题的正确性，要做到每一步推理都有依据
平移
概念
在平面内，将一个图形沿<font color="#e74f4c"><b>某个方向</b></font>移动一定的距离，这样的图形运动称为<b><font color="#e74f4c">平移</font></b>
平移不改变图形的形状和大小
性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；
对应线段平行（或在一条直线上）且相等；
对应角相等
平移作图：转化为点的平移作图问题
平面直角坐标系内的平移变换
简单运动
向左平移(a)个单位：横坐标减(a)，纵坐标不变
向右平移(a)个单位：横坐标加(a)，纵坐标不变
向上平移(a)个单位：横坐标不变，纵坐标加(a)
向下平移(a)个单位：横坐标不变，纵坐标减(a)
复合运动：一个图形依次沿几个方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的，方向是图形上任意一点的移动方向，距离根据勾股定理进行计算
<b>实数</b>
平方根
平方根
定义
如果一个数 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>x 的平方等于 a<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，即 x² = a<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="" contenteditable="false"><span></span><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math><semantics><mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex"></annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"></span></span></span><span>，</span></span>那么<b><font color="#e74f4c"> <span class="equation-text" data-index="3" data-equation="" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>x </font></b>叫做 <span class="equation-text" data-index="4" data-equation="" contenteditable="false"><span></span><span>a</span></span> 的<b><font color="#e74f4c">平方根，a </font></b><font style="font-size: inherit; text-wrap-mode: nowrap;">为<font color="#e74f4c"><b>被</b></font></font><font color="#e74f4c" style="font-size: inherit; text-wrap-mode: nowrap; font-weight: bold;">开方数</font>
特点
正数有<b><font color="#e74f4c">两个</font></b>平方根，它们互为相反数
正数a的<b><font color="#e74f4c">平方根</font></b>可以用 “<b><font color="#e74f4c">± √ a</font></b>”<br>
0的平方根是0
负数没有平方根
算术平方根
正数 a 有两个平方根，其中 平方根 √ a 叫做 a 的<font color="#e74f4c"><b>算数平方根</b></font>
0的算数平方根是0
立方根
定义
如果一个数 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="" contenteditable="false"><span></span></span>x 的立方等于 a，即 x³ = a， 那么 <b><font color="#e74f4c"> x</font></b> 叫做 a 的<b><font color="#e74f4c">立方根</font></b>或<font color="#e74f4c"><b>三次方根</b></font><span class="equation-text" data-index="1" data-equation="" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
性质
<b><font color="#e74f4c">正数</font></b>的立方根是<b><font color="#e74f4c">正数</font></b>
<b><font color="#e74f4c">负数</font></b>的立方根是<font color="#e74f4c"><b>负数</b></font>
<b><font color="#e74f4c">0</font></b> 的立方根是<font color="#e74f4c"><b> 0</b></font>
每个实数都<b><font color="#e74f4c">有且仅有一个</font></b>实数立方根
实数
分类
<br>
<br>
无理数<br>
π
3.141592653589793…<br>
黄金比例 φ
1.618033988749894…
<br>
<br>
√2
2.71828182845904523536...
无限不循环小数
相反数
代数定义：只有符号不同的两个数，<b><font color="#e74f4c">a的相反数是 -a（0的相反数是0 </font></b>）
几何意义：数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数
绝对值
定义：数轴上数对应的点与原点的距离，记|a|
性质：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0；即<font color="#e74f4c"><b>|a| </b></font>= <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{cases}a(a\gt0) \\ 0(a = 0) \\ -a(a\lt0) \end{cases}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
应用
|a-b| 表示数轴上 a、b 两点距离
比较负数大小（绝对值大的反而小 ）
<b>平面直角坐标系</b>
定义
在平面内取点O，过<b><font color="#e74f4c">O</font></b>作两条互相垂直的数轴，<b>交点</b>为坐标<b><font color="#e74f4c">原点</font></b>，称为平面直角坐标系<br>
两条数轴分别为横轴（<b><font color="#e74f4c">x轴</font></b>）、纵轴（<b><font color="#e74f4c">y轴</font></b>），统称为坐标轴；坐标轴的交点为原点，记作O(0,0)
平面内点的表示
平面内的点与有序实数对一一对应[记作<b><font color="#e74f4c">(a,b)</font></b>]
平面直角坐标系中有实数对对应的坐标，记作(a,b)；(a,b)中，<b>a 叫做横坐标，b 叫做纵坐标</b>
应用
能求平面内的点的坐标(a,b)，x轴上的点坐标记为(a,0)，y轴上的点坐标记为(0,b)
已知点的坐标，能在平面内描出该点，并能图形图纸形状
坐标系把平面分成4个象限（注意：x轴、y轴不属于任何象限）
象限：每个象限的符号规律
第1象限：(+,+)
第2象限：(-,+)
第3象限：(-,-)
第4象限：(+,-)
过A(a,b)的特殊直线的表示
垂直于 x 轴（或平行于 y 轴）的直线表示为直线 x = a
垂直于 y 轴（或平行于 x 轴）的直线表示为直线 y = b
注意：这些特殊直线即为常值函数的图像
已知点A(a,b)
点 A 到 x 轴距离为：|b|<br>
点 A 到 y 轴距离为： |a|<br>
P 在一、三象限夹角平分线上，则 a = b
P 在二、四象限夹角平分线上，则 b = -a 或 b + a = 0
已知点 P(a,b)：P 在两坐标轴角重合，则 |a| = |b|<br>
平面直角坐标系内点的运动
平面内点的平移规律：左右（对横坐标）、上下（对纵坐标）
平面内点 A(x,y) 的对称规律<br>
<br>
<b>二元一次方程组</b>
二元一次方程
定义：含有<b><font color="#e74f4c">两个未知数</font></b>，并且含有未知数的<font color="#e74f4c"><b>项的次数都是1</b></font>的<font color="#e74f4c"><b>整式</b></font>方程叫做二元一次方程
“元”是指未知数，“二元”就是方程中得只有两个未知数
“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1
详情
二元一次方程的左边和右边必须都是整式
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
<font color="#e74f4c"><b>方程</b></font>的解
定义：二元一次方程的解是一对数，而不是一个数，一般用表示
<br>
解的个数：一般情况下，一个二元一次方程有<b><font color="#e74f4c">无数个解</font></b>；即有无数多对适合这个二元一次方程
<font color="#e74f4c"><b>方程组</b></font>的解：二元一次方程组中几个方程的<font color="#e74f4c" style=""><b>公共解</b></font>，叫做二元一次方程组的解
二元一次方程组
定义：由<b><font color="#e74f4c">几个</font></b>一次方程组成并且含有<font color="#e74f4c"><b>两个未知数</b></font>的方程组叫二元一次方程组
注意
二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，方程可以超过2个；
方程组的解必须同时满足方程组中的每个方程；
它必须是一个数对，而不可能是一个数
二元一次方程组的个数情况
<br>
解二元一次方程组
方法
代入消元法
定义：这一个未知数比较简单的方程进行变形，变成<b><font color="#e74f4c"> y = ax + b</font></b> 或<b><font color="#e74f4c"> x = ay + b </font></b>形式
解题步骤
将 y = ax + b 或 x = ay + b 代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程
解这个一元一次方程，求出 x 或 y 的值
将已求出的 x 或 y 的值代入方程中的任意一个方程 y = ax + b 或 x = ay + b，求出另一个未知数
把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，即是，这样就得到二元一次方程组的解
加减消元法
定义：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式
步骤
根据其系数特点将变形后的两个方程组相加或相减，得到一元一次方程
解这个一元一次方程，求出一个未知数的
把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程
把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解
消元思想
基本思想：未知数由多变少
基本方法：<b><font color="#e74f4c">把二元一次方程组转化为一元一次方程</font></b>
用二元一次方程组解决问题
常见问题
行程问题
公式：路程 = 速度×时间；时间 = 路程÷速度；速度 = 路程÷时间
相遇：快者走的路程 + 慢者走的路程 = 两者相距的路程
追及：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 原来的距离
环形跑道（同一起点，同时出发）
同向而行：首次相遇时快者走的路程 - 慢者走的路程 = 一圈的长
背向而行：首次相遇时快者走的路程 + 慢者走的路程 = 一圈的长
水流（风）航行：顺水（风）速度 = 静水（风）速度 + 水流（风）速度；逆水（风）速度 = 静水（风）速度 - 水流（风）速度
工程问题
公式：甲的工作量 + 乙的工作量 = 总的工作量；工作总量 = 工作效率×工作时间
详情：甲的工作时间与乙的工作时间的和不等于总的工作时间；工作总量通常用“1”表示
配套问题
基本题型：配套型，尤其比值数关系
基本等量关系：加工总量成比例
商品问题
常用公式：利润 = 售价 - 成本（进价）；利润 = 成本（进价）×利润率；标价 = 成本（进价）×(1 + 利润率)；实际售价 = 标价×打折率；利润率 = ((售价 - 进价) / 进价) × 100%) <br>
基本思想：把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系
解题步骤
审：弄清题意，找出等量关系
设：根据问题设出两个未知数（直接或间接）
列：根据等量关系，列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）
解：解这个方程组，得出未知数的值
验：检验所求是否符合题意
答：写出答案，包括单位
三元一次方程组
三元一次方程：含有<b><font color="#e74f4c">三个未知数</font></b>，并且含有<b><font color="#e74f4c">未知数的项的次数</font></b>都是<font color="#e74f4c"><b>1</b></font>的整式方程
详情
①整理成方程
②是整式方程
③含有三个未知数
④含未知数的项的最高次数是1
三元一次方程组：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知数即可
解题思路：<font color="#e74f4c" style=""><b>三元→二元→一元</b></font>
方法
①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起
<b>不等式与不等式组</b>
不等式
不等式的概念：<b><font color="#e74f4c">用不等号“>”“<”“≤”“≥”“≠” 连接的式子</font></b>
不等式的性质
两边同加上（或减去）一个数或一个整式，若(a > b)，则(a ± c > b ± c)
两边同乘（或除）同一个正数，若(a > b)，(c > 0)，则(ac > bc)
两边同乘（或除）同一个负数，若(a > b)，(c < 0)，则(ac < bc)
不等式的解：使不等式成立的未知数的值
不等式的解集：不等式的所有解，组成这个不等式的解集
一元一次不等式
概念：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式
解法步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1：易错：若系数为负，则需变号
数轴表示解集
定边界（取等用实心，不取等用空心）
二定方向（小于往左画，大于往右画）
一元一次不等式组
概念：几个一元一次不等式合在一起就组成了一个一元一次不等式组
解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分
解集取法归纳：两大取大，两小取小，大小：小大取中间，大大小小取空集
解法步骤
分别求出不等式组中各个不等式的解集
利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
一元一次不等式组的应用
分段计价问题
经济利润问题
售价 - 进价 = 利润
标价×折扣 - 进价 = 利润
进价×（1 + 提价百分比）×折扣 - 进价 = 利润率×进价
积分问题
不空不满问题
方案决策问题
<b>数据的收集、整理与描述</b>
统计调查
数据收集的方式
全面调查
考察全体调查对象
特点：<b><font color="#e74f4c">结果准确，但工作量大、耗时长，有时有破坏性（如调查一批灯泡寿命，普查会破坏灯泡 ）</font></b><br>
<b><font color="#e74f4c">人口普查</font></b>是全面调查
抽样调查
样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量
个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体
抽样调查具有花费少、省时的特点，但是抽取的样本是否具有代表性直接关系到对总体估计的准确程度
考察部分调查对象
总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体
样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本
简单随机抽样：用样本估计总体
特点：<font color="#e74f4c"><b>工作量小、省时省力，但结果是估计值，有误差；样本需具代表性、广泛性</b></font>
数据的整理与描述
统计表：数据准确，但数据信息表达不够直观
统计图
扇形统计图：
扇形统计图是用整个圆表示总数,用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数；
从扇形图上可以清楚地看出各部分在总体中所占的百分比；
扇形圆心角的度数 = 部分占总体的百分比×360
折线统计图
需看数据变化趋势时选（如气温变化 ）
<br>
条形统计图
需比较具体数量时选（如不同班级人数 ）
<br>
跟【频数分布直方图】明显区别：横坐标不是连续的<br>
数据的分析：根据统计的数据信息作出合理的判断和决策
频数与频率
<b>频数：</b>是指每个对象出现的<font color="#e74f4c"><b>次数</b></font>
<b>频率：</b>是指每个对象出现的次数与总次数的<b><font color="#e74f4c">比值(</font></b>或者百分比)，(频率 = 频数/总数)
频数分布表
定义：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组个个数称为<b><font color="#e74f4c">组数</font></b>，每一组两个端点的差称为<font color="#e74f4c"><b>组距</b></font>，称这样画出的统计图表为频数分布表
计算<b><font color="#e74f4c">极差</font></b>，即计算<b><font color="#e74f4c">最大值与最小值的差</font></b>
决定组距与组数
频数分布直方图
定义：用长方形高度表示频数（每个对象出现的次数 ）的统计图，清晰反映数据分布（集中、离散 ）
绘制步骤
计算最大值与最小值的差（极差 ）
决定组距和组数（组距：每组两个端点的差；组数 = 极差÷组距，取整 ）
确定分点（使数据不重不漏，如数据10 - 20，分点可设9.5 - 19.5 ）
列频数分布表（统计每组频数 ）
画直方图（横轴表分组，纵轴表频数，长方形高度对应频数 ）
频率分布与频率分布直方图的区别与联系
频率分布在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势
从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容
课题学习：从数据谈节水，建立数据分析观念，提高对数据信息的分析能力
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