八年级下册数学【人教版】
2025-11-18 22:59:16 4 举报AI智能生成
八年级下册数学教科书【人教版】深入探讨了几何图形的性质与证明，立体图形的三视图转化，还有各种统计图表的理解和应用。这部分内容为学生提供了探究平面向量基础的宝贵机会，让他们理解和应用向量的基本性质以及在二维和三维空间的应用。对代数部分则着重讲解了一元二次方程的求解技巧，包括配方法、公式法、因式分解法，以及解与实际问题结合的应用题。此外，还介绍了数据的收集、整理、描述、分析和概率等基本统计知识。重点突出，由浅入深的编排方式有助于学生巩固基础知识、开阔思维，并促进逻辑推理与创新能力的培养。书中丰富的图表和示例，增加了对知识点理解的直观性，使内容显得生动而不枯燥。本教材适用于八年级学生系统学习和掌握数学知识，有助于进一步提高数学解题技能。
作者其他创作
大纲/内容
第十六章 二次根式
二次根式的基本概念与性质
定义
(a ≥0)
读作“根号a”
称为二次根号
性质
非负性
平方与开方互为逆运算
二次根式的乘除运算
乘法法则
正向法则
两个非负二次根式相乘，等于被开方数相乘的算术平方根
逆向法则（化简依据）
积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积
除法法则
正向法则
两个非负二次根式相除，等于被开方数相除的算术平方根，除数的被开方数不为 0
逆向法则（化简依据）
商的算术平方根等于被开方数算术平方根的商
最简二次根式
同时满足以下两个条件的二次根式
被开方数不含分母（分母中不含根号）
被开方数不含能开得尽方的因数或因式（即被开方数的每个因数的指数都小于2）
化简二次根式的步骤
去分母
提平方
分母有理化
二次根式的加减运算
具体步骤
化简
将每个二次根式化为最简二次根式；
查找
找出其中的同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）；
合并
合并同类二次根式，合并方法与合并同类项类似。
同类二次根式的合并规则
合并时，把根号外的系数（或字母）相加，根指数和被开方数保持不变
第十七章 勾股定理
勾股定理及其逆定理
勾股定理（直角三角形的性质定理）
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a² + b² = c²
勾股定理的逆定理（直角三角形的判定定理）
命题2：如果一个三角形的三边长 a、b、c ，满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形
勾股定理的证明方法
方法 1：图形拼接法（基于面积关系）
拼接原理：将直角三角形拼成一个直角梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和推导。
方法 2：正方形与三角形组合法
构图方式：以直角三角形的三边为边向外作正方形，大正方形面积等于4个直角三角形面积与中间小正方形面积之和。
方法 3：内外正方形面积差法
构图方式：以直角三角形斜边为边作大正方形，内部包含4个全等直角三角形和一个小正方形。
经典题目
第十八章 平行四边形
平行四边形的性质
定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质定理
边的性质
对边相等（AB = CD，AD = BC）
角的性质
对角相等，邻角互补
对角线性质
对角线互相平分（OA = OC，OB = OD）
平行线间距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离，且平行线间的距离处处相等
平行四边形的判定
判定定理
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三角形的中位线
定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
图 DE 是中位线
一个三角形有三条中位线
中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
DE = ½ BC
DE // BC
矩形（特殊的平行四边形）
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）
性质
角的性质
矩形的四个角都是直角
对角线性质
矩形的对角线相等（AC = BD）
对称性
矩形是轴对称图形（有两条对称轴），也是中心对称图形（对称中心是对角线交点）
直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
BO = ½ AC
判定定理
有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形（特殊的平行四边形）
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
边的性质
菱形的四条边都相等（AB = BC = CD = DA）
对角线性质
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对称性
菱形是轴对称图形（两条对角线所在直线是对称轴），也是中心对称图形（对称中心是对角线交点）
面积公式
常规公式
菱形的面积 = 底×高
特殊公式
菱形的面积 = 两条对角线乘积的一半
判定定理
有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义判定）
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
正方形（特殊的矩形与菱形）
定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
与其他图形的关系
正方形是特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形）
正方形是特殊的菱形（有一个角是直角的菱形）
正方形是特殊的平行四边形（兼具矩形和菱形的所有性质）
性质
边
对边平行，四条边都相等
角
四个角都是直角
对角线
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性
既是轴对称图形（4条对称轴），又是中心对称图形（对称中心是对角线交点）
第十九章 一次函数
变量与函数的基本概念
变量
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量
如行驶过程中汽车的路程和时间
常量
在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量
如汽车匀速行驶时的速度
函数的定义
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数
例如：汽车以60km/h的速度行驶，路程 s 与时间 t 的关系 s = 60t 中，t 是自变量，s 是 t 的函数
函数的图像
定义
对于一个函数，如果把自变量 x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像
画函数图像的步骤
列表：给出自变量 x 的一些值，计算出对应的函数 y 的值，列出表格
例如：s = 60t 中，t = 1 时 s = 60，t = 2 时 s = 120 等
描点：在坐标平面内，根据表格中的对应值描出相应的点
连线：用平滑的曲线（或直线）把所描出的点连接起来，得到函数的图像
正比例函数
定义
形如 y = kx , k 是常数，且 k ≠ 0的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数
图像特征
正比例函数 y = kx 的图像是一条经过原点 (0,0) 的直线，可简称为“直线 y = kx ”
性质
当 k > 0 时，直线 y = kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即 y 随 x 的增大而增大
当 k < 0 时，直线 y = kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即 y 随 x 的增大而减小
一次函数
定义
形如 y = kx + b , k、b是常数，且 k ≠ 0 的函数，叫做一次函数
当 b = 0 时，y = kx（正比例函数）是一次函数的特殊形式
图像特征
一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线，可简称为“直线 y = kx + b”
直线 y = kx + b 与 y 轴的交点坐标是 (0, b)，与 x 轴的交点坐标是 (-b/k,0)
图像经过的象限由 k 和 b 的符号决定
第二十章 数据分析
数据的集中趋势
平均数
加权平均数
中位数（数据排序后，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均值 ）
先排序，再找中间位置
中位数的作用是 “分割数据”
它能将排序后的数据集分为两部分
其中一半数据小于或等于中位数，另一半数据大于或等于中位数
众数（出现次数最多的数据，可多个 ）
众数是一组数据的原数据，而不是出现的次数
数据的波动程度
方差
衡量波动大小
方差越大，波动越大
数据越 “分散”（比如 1、10、20），波动大，方差大
方差越大，波动越大
数据越 “集中”（比如 10、11、12），波动小，方差小
怎么衡量 “波动”？
本质：看每个数据与 “平均值” 的差距有多大 —— 差距越大，波动越大
推导
步骤 1：先算 “平均值”
例：数据 3、5、7 的平均数 (3+5+7)/3 = 5
步骤 2：算每个数据与平均值的 “差距”
例：3-5=-2，5-5=0，7-5=2（这三个数就是 “偏差”）
步骤 3：解决 “偏差正负抵消” 的问题
如果直接把偏差加起来，正负会抵消（比如 - 2+0+2=0），无法反映总波动
给每个偏差 “平方”（平方后都是非负数，不会抵消）
例：(-2)²=4，0²=0，2²=4
步骤 4：算 “平均波动”—— 方差公式诞生
把平方后的偏差加起来，再除以数据个数n，得到 “平均波动大小”，这就是方差S²
表示
S²
标准差
方差的算数平方根
英文：Standard deviation
常用S（或s）表示
极差
一组数据中的最大值减去最小值的差
反映数据的变化范围或变化幅度
课题学习 - 体质健康测试中的数据分析
步骤
收集数据
整理数据
描述数据
分析数据
撰写报告
交流
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