初中数学二次函数图像性质
2025-07-27 10:09:43 0 举报AI智能生成
初中数学二次函数图像性质
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大纲/内容
二次函数定义
一般形式
y=ax^2+bx+c
a、b、c为常数
a≠0
顶点式
y=a(x-h)^2+k
h、k为顶点坐标
a决定了开口方向和宽度
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
x1、x2为与x轴交点的横坐标
a决定了开口方向和宽度
图像特征
开口方向
a>0时，开口向上
a<0时，开口向下
对称轴
x=h的直线
顶点式中h即为对称轴的x坐标
一般式中对称轴x=-b/(2a)
顶点位置
顶点式直接给出顶点坐标(h,k)
一般式通过对称轴和顶点公式求得顶点坐标
顶点坐标为(-b/(2a), c-b^2/(4a))
图像变换
平移变换
图像沿x轴或y轴平移
顶点式中h、k值变化
一般式中b、c值变化
伸缩变换
图像沿y轴方向伸缩
a值的绝对值大小决定图像宽度
a值正负决定开口方向
零点问题
求零点方法
因式分解法
将一般式转化为交点式
求解x1、x2
配方法
将一般式转化为顶点式
求解顶点x坐标
使用求根公式
解一元二次方程ax^2+bx+c=0
得到零点x1、x2
零点与图像关系
零点为图像与x轴交点
零点实数时，图像与x轴相交
零点虚数时，图像不与x轴相交
值域问题
开口向上
顶点为最小值
值域为k, +∞)
开口向下
顶点为最大值
值域为(-∞, k
图像与x轴、y轴的关系
与x轴的关系
零点个数决定图像与x轴交点个数
零点两个，图像与x轴有两个交点
零点一个，图像与x轴有一个交点
零点无实数解，图像不与x轴相交
与y轴的关系
y轴截距为c
图像与y轴交点为(0,c)
图像的应用
解决实际问题
抛物线运动
描述物体在重力作用下的抛物线轨迹
最大利润问题
通过顶点确定最大利润点
图像分析
分析函数增减性
开口向上，函数在顶点左侧递减，在右侧递增
开口向下，函数在顶点左侧递增，在右侧递减
分析函数极值
顶点为函数的极值点
图像的绘制
确定关键点
顶点坐标
与x轴、y轴的交点
描点连线
根据关键点描出图像大致形状
连接点绘制平滑曲线
图像的检验
检验对称轴、顶点位置
检验图像的开口方向和宽度
检验图像是否与x轴、y轴正确相交
二次函数与一元二次方程的关系
图像与方程根的关系
方程的根对应图像与x轴的交点
图像与方程解的性质
图像的对称性反映方程解的对称性
图像的开口方向反映方程解的性质
开口向上，方程有两个实数解或无解
开口向下，方程有两个实数解
二次函数的性质总结
对称性
图像关于对称轴对称
单调性
开口向上时，图像在顶点左侧单调递减，在右侧单调递增
开口向下时，图像在顶点左侧单调递增，在右侧单调递减
极值性
顶点为函数的极大值或极小值点
值域
开口向上时，值域为顶点y值以上的所有实数
开口向下时，值域为顶点y值以下的所有实数
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