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线性代数基本概念

2021-06-24 11:32:14   0  举报

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线性代数基本概念

学习笔记

线性代数

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大纲/内容

1、行列式

砖

1.1 行列式长什么样

1.2 行列式的本质

1.3 行列式的基本计算方法

1.3.1 特殊行列式的计算

1.3.2 一般行列式的计算

1.4 行列式的五条性质

1.5 克拉默法则

1.6 矩阵

1.7 矩阵的运算

1.7.1 矩阵与矩阵相加

1.7.2 矩阵与矩阵相乘

1.7.3 数字与矩阵相乘

1.8 矩阵的转置

1.9 方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵

1.9.1 方阵

1.9.2 对角矩阵

1.9.3 单位矩阵

1.9.4 逆矩阵

1.10 矩阵的向量表示法

房间

101 关于代数余子式的三句话

102 克拉默法则的推论（4）

103 关于行列式的两种计算题

1.13.1 抽象行列式的计算（7个公式）

1.13.2 具体行列式的计算

计算不带省略号的行列式（6种方法）

就算带省略号的行列式（7种方法）

104 贯穿考研试题的思维定势（矩阵-列向量表示法-矩阵乘法）

2、矩阵

砖

2.1 矩阵的初等变换

初等行变换

初等列变换

2.2 初等矩阵

2.3 矩阵的秩

2.3.1 矩阵的子式的定义

2.3.2 矩阵的秩的定义

2.3.3 利用初等行变换来求矩阵的秩

房间

201 第一个大总结-方阵A

A满秩

A不满秩

202 第二个大总结-AxB=C-六个结论

203 矩阵乘法的两条规律

结合律

分配律

204 可交换的矩阵相乘特例

205 关于矩阵转置的四个公式

206 关于矩阵可逆的六个公式

207 可逆矩阵、初等矩阵、初等变换、矩阵的秩之间的关系以及等价矩阵

1 可逆矩阵与初等矩阵的关系

2 初等矩阵与初等变换的关系

3 初等变换与矩阵的秩的关系

4 初等矩阵的逆矩阵

5 等价矩阵

208 分块矩阵以及一些知识点的深化

1 分块矩阵

2 证明反对称矩阵（2种方法）

3 求一个矩阵的逆矩阵（4种方法）

4 特殊分块矩阵的逆矩阵（3种）

5 求一个矩阵的若干次幂（4种）

3、向量

砖

3.1 向量与向量组的基本概念

3.2 线性表出的概念

3.3 线性相关与线性无关的概念

3 .4 最大无关组

3.5 &quot; 向量组的秩&quot;的概念

3.6 “向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系

3.7 线性表出的推广

3.8 等价向量组

房间

301 关于线性相/无关要记得几个结论

302 方程组的求解

1 求齐次方程组的通解

2 求非齐次方程组的通解

303 五个重要的定理

304 线性表出的本质

305 初等行变换前后的列向量组具有相同的线性相关性

306 与秩有关的八个公式

307 向量空间

1 向量空间、基、维数、坐标

2 基变换公式

3 正交向量，正交矩阵，正交化

308 线性相/无关的证明题

1 向量组的秩

2 线性相/无关的定义

4、解线性方程组

房间

401 求两个方程组的公共解

402 同解方程组的证明

1 互推法

2 只从一侧推另一侧，并证明n-r 相等

403 已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组

404 线性方程组解的性质（5句话）

405 通过讨论方程组中的参数的取值，判断解的类型（2种讨论）

406 已知方程组解的类型，求方程组中的参数

5、特征值、特征向量、相似矩阵

砖

5.1 特征值、特征向量的基本概念

5.2 特征值、特征向量的计算方法

5.3 对称矩阵、正交矩阵的复习

5.4 矩阵有多少个特征值为零

5.5 相似矩阵

5.6 对角化

5.7 合同矩阵

房间

501 如何证明两个矩阵有相同的特征值（4个方法）

502 几个需要记住的结论（4个结论）

503 与特征向量有关的证明题通常会用到反证法

504 通过A的特征值、特征向量来推关于A的多项式的特征值、特征向量

505 什么样的方阵可以对角化

506 若方阵可以对角化，那么 Λ以及P怎么求

507 关于相似矩阵的五个小结论

508 实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交

509 实对称矩阵一定可以相似于对角矩阵

510 实对称矩阵一定可以合同于对角矩阵

分支主题 6

砖

6.1 二次型的定义

6.2 二次型的对应矩阵

6.3 利用矩阵乘法来表示二次型

6.4 标准形

6.5 规范形

6.6 化二次型为标准形

6.7 合同二次型

6.8 正定二次型、正定矩阵

房间

601 用正交变换法化二次型为标准形（2种方法）

602 用配方法化二次型为标准形

603 两个对称矩阵合同的充分必要条件

604 正定二次型、正定矩阵的证明方法

正定矩阵（5种）

正定二次型（3种）

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