分析力学

为了方便，我们在描述任何运动的时间零点都认为两个坐标系重合，<br>为什么方便？举个例子，在描述定轴转动的角位移时，我们就只要<br>说是Ox轴与Ox_0轴的夹角，而不用说Ox轴与前某一时刻的Ox轴的<br>夹角。

把随动坐标系理解为小车的车头指示器就好了

注意平面平行运动不等于平动+定轴转动，因为平动是可以沿z轴运动的

第二对于总的（指非微分的）平面平行运动，可以有无数种描述方式，<b>平动时<br>是不需要指定“以哪个点为基准平动”，但转动时必须规定转轴，在这里二维情况<br>就得指定一个转动点。</b>

定点转动也一样，只要是总的运动，总是有无数种描述方式（或者说无数种实现方式），这不奇怪<br>，就好像质点的运动，我从邵阳到上海有无数种方式一样

<font color="#ff0000">有一定必须理解：刚体的转动的精髓在于“自转”，就好比一个车头朝东的小车，<br>它进行典型的刚体运动后车头一般不再朝东，若它在运动过程中车头一直朝东<br>，那就仍是一个质点运动，<b>哪怕它这是还绕一个点转动，这也只不过不是质点<br>的圆周运动罢了，一个曲线的平动</b></font>

平动、定轴转动、平面平行运动、定点转动和一般运动。<br>一般运动最常用的描述方式是平动加定点转动

8、角位移和角速度是如何定义的？角位移是矢量吗？

切记，圆周运动的角速度和刚体运动的角速度是不能完全等而视之的

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="9、做原点在轴上的定轴角位移\Delta \vec n后，任意位置矢量\vec r会发生什么变化？"><span></span><span></span></span>

10、如何描述定点转动的角速度

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r} \quad \\\vec{a}=\frac{d \vec{\omega}}{d t} \times \vec{r}+\vec{w} \times(\vec{\omega} \times \vec{r}) ."><span></span><span></span></span><br>

固定基点法

瞬时转轴法

若采用经典力学，则对应三个质心动量定理和三个角动量定理<br>若采用拉格朗日方程，则需要写出体系的动能和势能

转动惯量与转轴的选取有关，<br>任何轴的转动惯量都可以写为质心的转动惯量加上这两轴之间的距离平方乘以质量的和的形式<br><br>

垂直轴定理：对于薄片，垂直薄片的轴对应的转动惯量等于平行于薄片的轴的转动<br>惯量之和

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="H=H(p, q, t)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \, \overset{\frown}{q}_{\alpha}-\overset{\frown}{L}, 头上带着弯弯表示它们是p,q,t的函数\\"><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial H}{\partial p_{a}}=\dot{q}_{a} \\\frac{\partial H}{\partial q_{a}}=-\dot{p}_{a} \\\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\end{array}\right."><span></span><span></span></span>

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}"><span></span><span></span></span>

将所有的“速度项”都用动量项替代

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="势能：U=q\varphi -q\vec A \cdot \vec v\\拉格朗日函数：L=\frac{1}{2}mv^2-q\varphi +q\vec A\cdot \vec v\\正则动量\vec \mathcal P=m\vec v+q\vec A\\哈密顿量H=\frac{1}{2m}(\vec \mathcal P-q\vec A)^2+e\varphi"><span></span><span></span></span>

指的某些物理过程会选择是某种作用量（两个为Js）取极值的方式发生<br>它可以作为力学体系的第一性原理，甚至可以推广到非机械运动的<br>物理体系，成为整个物理学的第一性原理。

h函数的函数就是泛函，比如对任意函数取固定上下限的定积分；<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="J[y(x)]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f\left(y, y^{\prime}, x\right) d x"><span></span><span></span></span><br>泛函取极值要求变分为零，变分为零等价于函数y满足欧拉方程：<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial f}{\partial y}=0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>当泛函的形式满足一定要求，简单来说是不含x时，欧拉方程有初积分：<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="f-y^{\prime} \cdot \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}=常数" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>

对于2s个正则，可以进行如下变化<br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\left\{\begin{array}{l}Q_{\alpha}=Q_{\alpha}\left(q_1, q_{2} \cdots q_{s}, p_{1}, p_{2}, \cdots p_s, t\right) \\P_{\alpha}=P_{\alpha}\left(q_1, q_2, \cdots, q_{s}, p_1, p_{2}, \cdots, p_{s}, t\right)\end{array}\right."><span></span><span></span></span><br>若变化后的哈密顿函数仍然满足正则方程，则称这个变换为正则变换

它的意义在于尽可能简化哈密顿函数，使正则坐标尽可能为可遗坐标

是用来推导正则变换形式的辅助函数，有两类，其中第一类是变换前后正则坐标和时间的函数；<br>第二类是变换前的正则坐标和变换之后正则动量以及时间的函数

是指两个乘积具有作用量量纲的物理量如时间与能量

<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="[f, g]=\sum_{\alpha}\left[\frac{\partial f}{\partial p_{a}} \cdot \frac{\partial g}{\partial q_{\alpha}}-\frac{\partial f}{\partial q_{\alpha}} \cdot \frac{\partial g}{\partial p_{\alpha}}\right]" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>它的意义在于，<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+[H, f]"><span></span><span></span></span>,即若f不显含t，力学量f守恒的要求为与哈密顿量对易

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="雅可比恒等式：[f,[g,h]]+[g,[h, f]]+[h,[f, g]]=0"><span></span><span></span></span>

是用来解出特殊的第二类正则变换母函数的方程，这个<br>母函数可以进行正则变换，使得哈密顿函数为0；<br>方程形如：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q} , t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0，在这里S即为第二类母函数加任意常数"><span></span><span></span></span>，<br>S又称为哈密顿主函数、哈密顿作用函数（积分限不确定的哈密顿作用量）

这里自然而然引出一个实验：不带电的空腔导体内放入电荷，<br>将外表面接地，之后先去除接地，再取出内部电荷，此时空腔<br>导体将带上与最初放入的电荷同等异号的电荷

<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\nabla \cdot \vec A =0只有在稳恒磁场中满足"><span></span><span></span></span>