力学

机械振动

简谐振动

什么是振动？什么是波？（广义）一个物理量在一定值附近作循环往复（不一定是周期性的）的运动就是振动，振动在空间的传播就是波

举例：

定义为描述空间位置的物理量随时间的演化满足余弦函数。做简谐振动的物理体系称为谐振子

机械能守恒，动能和势能交替变换

物理本质：体系仅受准弹性力。准弹性力有两个特征，其一是弹性力，即指向平衡位置；其二是力的大小与偏离平衡位置的偏移量成正比，比例系数称为倔强系数。

保守力在稳定平衡点附近可以近似为准弹性力

简谐振动的表示方法

1 三角函数表示

2 旋转振幅矢量表示：同方向才适用

3 复数表示

振动的合成

举例几种常见的情况

1 同方向、同频率、有恒定相位差（干涉）：采用旋转振幅矢量来求取

2 同方向、不同频率：在振幅相同的情况可用和差化积公式计算。引出拍的概念：出现大的周期

3 方向垂直、频率相同（偏振的基础）：使用描述质点轨迹的含t的参量方程来描述，消去t可得到轨迹方程，

4 方向垂直、频率不同：得到李萨如图形，当两频率成整数比时，曲线闭合

普遍的振动分解、谐波分析——傅里叶分析：粗浅的描述，任何一个周期性振动都可以（非简谐）分解为分立谱；任何一个非周期振动，都可分解为连续谱

阻尼振动

引入与位移一阶导成正比、比例系数为负数的项，比例系数记为span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

容易在解的过程中定义临界阻尼系数和过阻尼

阻尼振动的品质因素，物理含义为一个周期损耗的能量占总能量的比值，体现储存能量的效率

受迫振动

前提是有阻尼有外力

数学上来说是解二阶线性非齐次ODE，通解为上述弱阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况，特解（若外力也是谐振形式且同频率）是另一个谐振，在弱阻尼的情况下采用旋转矢量法可求解。

物理上来说，当策动力的频率与振子本征频率相近时，数学的求解告诉我们振幅将放大地很显著，这就是共振要理解共振的放大是对结果的描述而非对演化的描述。

品质因素Q的另两个物理含义：共振曲线的锐度（峰值比向根号二分之一的全宽）和放大倍数

机械波

机械波的一般认知

什么叫机械波：在空间中传播着的机械扰动(振动)就是波

产生的条件：波源或称振动源和弹性介质

特点

波传播的只是运动状态，并非物质或质点本身

波具有时间周期性：指的是每一个质点都在做振动，都有着同样的振动周期，这个周期就是波的时间周期

波具有空间周期性：指的是任意时刻质点之间的运动状态具有空间周期性，换言之，对于每一个质点，它的相位在一定的空间距离（波长）后都会复现。

波的传播速度是通过时间周期性和空间周期性定义出来的，是相位的传播速度，称为相速度应理解为某一特定振动状态（包括它的振幅和速度）的传播速度，或者盯着波前看，总之不要盯着全局不放。

行波与纵波

行波：能传播能量和相位，每一个质点的机械能都相同

驻波：不能传播能量和相位，不同点的机械能不同，波节能量为0，波腹最高

波函数

移动的照片（横坐标为空间位置）是比较好的物理模型，随时间变化，波形将向传播方向平移

为方便理解，应将波函数理解为一种很特殊的二元函数，它的函数值的物理含义为，某时刻，在某空间点的振幅。不要求谋求数学上的理解了，就只要记住，ω和k符号相反就是往事先规定的正方向传播，符号相同就是往负方向传播。

波动方程

波动方程建立的关键点一是应力（弹力）正比正应变/切应变，比例系数为杨氏模量/切变模量，二是考虑空间位置x处质元两侧的方向相反的应力

驻波

驻波是由两列传播方向相反的机械波产生的，而传播方向相反的机械波一般是由波的反射导致的。反射的条件是碰到“端点”，比如一根绳子的右端点。端点分为两类，分别是自由端点和固定端点。

自由端点反射波形式为，应理解为原本该向前传播的波折回来了，2l-x表示返回的波所走的路程。叠加后可发现自由端点一定是波腹。在物理上应理解为自由端点并不对波产生相位上的改变，因为“自由”本就不该引入什么影响

固定端点反射波的形式为，在自由端点反射波理解的基础上多加了一个“半波损”，至于为什么要加，我认为逻辑上是先有着固定端点导致的波节出现，再从相位上引入半波损来解释它，所以半波损不是因，端点固定才是因。

需要认识到，驻波的形成并不对波长提出任何要求，只要有端点（反射的依据）存在即可，至于谐振腔中只存在特定频率的驻波，这是因为相干、干涉的缘故

多普勒效应

两种情况

波源不动，接收器动，此时相当于周期改变，

波源动，接收器不动，此时相当于波长改变，

两者都动，，注意u为波速，v_r为接收器速度，v_s为波源速度，面对面对着冲的时候速度取正

关键是要关注接收端的情况而非波源：接收端收到的信号的周期变了（周期的变化可通过“追击”加“对比”的模型求出），也即频率变了，但波的传播速度是仅与介质有关，是不会变化的。

相对论下，情况不同

其他

刚体力学、质心力学在分析力学中总结狭义相对论在电动力学中总结

《力学》

质点运动学

三种常用坐标系

注意选用不同形式的坐标系并和是否使用非惯性系是两码事，并不会因选用某种坐标系而直接引入赝力、导致牛二失效。

伽利略变换

根据几年来的学习经验，我们假定一个并不真实存在的绝对静止的参考系，或者将一个参考系赋予“初始惯性系”，并将与它无相对加速度的体系称为惯性系，这样做是方便且合理的。合理是因为本就不存在绝对静止的参考系，所以谁都可以被视为绝对静止的参考系

定义是惯性系之间的变换，核心是绝对时空观

思路：由空间变换（即x，y，z，t怎么变）到速度变化到加速度变换

质点动力学

牛顿三定律

牛一、牛二需在惯性系中才成立

那么也可以由“服从牛顿第一、第二定律”来判定是否为惯性系

不存在超距作用，力都是以有限速度传播

需要认识到的是，力的非超距作用特性显著与否不取决于两物体的距离，而取决于两物体的相对速度。

牛二并非线性PDE，不具备类似波叠加原理那一套

四种基本作用力

强力在10^-15m的距离以内才有作用

弱力更短，10^-18，只与放射性衰变有关，存在于中微子的产生与消灭之中

四种力的强度：强力（胶子）>电磁相互作用(光子)>>弱力（中间玻色子）>>引力（引力子）

动力学问题的求解

三类问题

研究质点何以做某种运动（动→力）

研究质点的运动情况（力→动）

已知运动和受力的某些方面，求未知的那些方面（动、力→动、力）

信念

决定论：知道了力随时空的变化（i.e.知道所有的作用规律），给一个初始条件我就能把它的前世今生全部推出来

步骤

隔离物体（因为牛顿定律的基础是质点）；受力分析；运动分析；选定坐标系，使用牛二；结合定解条件求解PDE

关于赝力

没必要记住赝力的各种公式，而应该以这样一种思维去看待赝力问题：首先在惯性系里一定可以求出真实的力的，其次在非惯性系中也可以求出一个表观力，记作Feff，表观力减去真实的力就是赝力（定义而已，也可以反过来的），那么我如果能知道非惯性系的运动状况，就可以推出赝力的规律来

当你谈及赝力时，你就处在非惯性系了；所有非惯性系中的物体都应加上赝力，之后后便遵循牛一、牛二了

当然科氏力总是值得提一下的：

第一、它是在匀速转动的参考系中做匀速直线运动的质点碰到的效应

第二、它不等于非惯性力，而是它和惯性离心力一起构成非惯性力

第三、它总是垂直于速度的方向，其实用一个叉乘就完全看出来了，可惜打不了公式

守恒定律

动量守恒定律

Fdt定义为冲量（Fdx定义为功），冲量等于动量的变化量，此即动量定理

合外力为零，总动量不变

不得不提到变质量体系的运动

只要细心地写出体系的动量定理就可推导出变质量质点的运动方程。（从这个实例可以看到动量定理是不完全等价于牛二的）

引申

1、相对论动量：只需将质量进行修正即可，其他定义不变

2、电磁场的动量（这里只提是如何引入的）：是由于电磁相互作用的非超距性所导致的，如两个电荷相距很远时，第一个电荷突然移动（施与它一定动量），它因受电场的作用，会获得某些动量，但第二个电荷却不会瞬时的受到影响，（这是因为电磁场的传播需要时间），这样的话动量在短时间内动量是不守恒的，但第二个电荷感受到第一个电荷的变化时，动量守恒又恢复了。为了使得动量守恒在任何时刻都成立，我们就引入了电磁场的动量的概念。这样的定义会在后面体现出作用的。本质上场作为物质，的确具备动量，光子的动量的定义也说了明这一点。

3、量子力学的动量是另一回事，尽管动量守恒的经典力学推导通过修正也成立不了，但动量守恒却还是神奇般的成立着

机械能守恒定律

动能是定义出来的

动能定理可以通过牛二或动量定理简单证明。它说的是：外力和内力对体质点系做的总功等于质点系动能的改变量

有心力∈保守力

保守力

定义为做功只与始末位置有关的力，另有一个特性是闭合路径做功为零是一个无旋场

保守力可以定义势函数，本质上是某函数的变上限曲线积分。从物理上来讲是定义了势能差：a到b点（沿任意路径）做的功定义为a点的势能减去b点的势能。

有心力定义为：力的方向始终指向或背向某一中心，力的大小只与离该中心的距离有关

可以通过曲线积分再加上一点点几何等效来证明有心力属于保守力

此后的物理学习中基本上在于保守力和势场打交道，举一些正例和反例是有助理解的

保守力：引力、库仑力、弹性力（谐振子）

非保守力：摩擦力、各种难以描述的力（实际上都是机械能和其他能量之间转换的场景，如炸药爆炸）

通过任意电荷分布场都可以定义电势函数可以看出由多个有心力场组成的力场仍然是保守场

机械能

定义为动能和势能的总和，注意电势能肯定是机械能的一部分，不要认为它不“机械”

功能原理和机械能守恒

功能原理讲的是外力做的功和非保守内力做的功之和等于机械能的改变量

易知机械能守恒定律是功能原理的特殊情况

功能原理可以由动能定理推导出，所以功能原理和机械能守恒定律都是“定理”而非“定律”

逻辑链条是：牛二/动量定理→动能定理→功能原理，中间需要一些必要的数学。所以这些定理都只在惯性系中成立，在非惯性系中必须引入惯性力

要理解一个体系（不单单指解题），原来那套动力学问题研究的步骤依然适用

碰撞问题

是一个典型的由结果反推过程的物理情景

一维时联立的两个方程为动量守恒方程和牛顿碰撞定律

二维时联立动量守恒方程和动能定理方程

角动量守恒定律

角动量定理

力矩：M=r×F，r是力的作用点，与参考点的选取有关

重要理解：参考系、坐标系和参考点三者的区别和联系。参考系的选取考虑的是把谁（可以是单个物体，也可以是一群相对静止的物体）视作静止的问题；坐标系是在参考系选定的基础上，建立一个描述空间位置的符号语言，会选定一个原点和空间维数个变量；而此处的参考点就是坐标系的原点。参考系之间是可以进行变换的，坐标系之间的变换可以视为两个相对静止参考系之间的变换。一个问题中出现几个参考系、几个坐标系不重要，重要的是定律定理必须在一个坐标系下才能用数学语言表达出来。

角动量：L=r×mv，r是质点的位矢

角动量定理：作用于质点系的合外力矩等于对同一参考系点（在有了上述的讨论后看起来有点多余，但是确实很重要）的总角动量的时间变化率

本身是牛顿第二定律的简单推论（两边同时叉乘位矢r即可），但是在角动量这一物理量被发现非常重要之后，这一定理也变得非常实用

注意，合外力为零，合外力矩不一定为0，如力偶

同样，合外力矩为零，合外力不一定为零，如作用力在同一点时，选择该点为参考点

还有，重力场中，选择质心为参考点则合外力矩为零

角动量守恒定理

本身很简单，合力矩为零，角动量不随时间改变。

内涵一：参考点或者坐标系的选择很重要，应当考虑尽可能让力矩为零的参考点

内涵二：引出一个对于角动量这一部分而言很有代表性的物理模型——圆锥摆

引出一个常用关系：一个大小恒定的矢量随时间变化的唯一方式是转动，将该矢量称为A，则|dA/dt|=|A|(dθ/dt)，(dθ/dt)是A的瞬时转动速率。

物理常识：对星系的圆盘型结构的解释。无外力，总角动量守恒；假定最初呈均匀球状分布，我们假定存在一个凝聚中心，以它作为参考点，但由于某种原因（如与其他星系的相互作用）具有初始角动量；在惯性参考系中，星系在因引力作用在凝聚。在凝聚过程中，角动量守恒意味着，所以r减小意味着ω增大；现在以凝聚中心为原点的匀速转动圆盘参考系中来考虑，考虑离心力，所以r减小，离心力会增大，直到离心力与引力平衡，凝聚无法继续进行；要注意到，上述讨论只是在垂直转轴方向（垂直初始角动量）进行，而在平行转轴方向，角动量守恒并不妨碍塌缩，所以最终星系演化为稳定的圆盘状。