线性代数复习总结
2021-07-06 10:07:06 456 举报AI智能生成
线性代数是一门研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性映射（也叫线性变换）的数学学科。它的抽象概念是建立在实数和复数等具体数字的基础上的，是现代数学的一个重要分支。线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，包括解微分方程、图像处理、计算机图形学、机器学习等。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和掌握这些领域的基本概念和方法。总之，线性代数是一门具有广泛应用前景且非常重要的学科。
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大纲/内容
m 个 n 维列向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
m 个 n 维行向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
矩阵行列向量组表示
向量与向量组
定义
向量组B能由向量组A线性表示
充要条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
必要条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量组表示
向量组 A和 向量组 B能够互相表示
向量组等价
线性表示(出)
特征
秩判断【充要条件】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"R(A)
存在某个方程可以由其余方程进行线性组合
线性方程组
线性相关
秩判断【充要条件】
化简为 形式
秩判断 r(BA) = r(B)
证明方式
线性无关
维数决定矩阵大小，矩阵大小决定秩范围，秩范围决定线性相关性
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
延申组即例如 原向量为 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量组线性相关性
线性组合
线性相关性
定义span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
推论span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
极大线性无关组
定义
秩等价
解集的秩
秩
交换结果不变span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
数乘span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
加法可拆span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
结果非负性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
性质
内积/点积/数量积关系
Schwaz 不等式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
内积/点积
非负性
齐次性
长度(范数)
由Schwaz不等式得到范围证明
n维向量夹角
单位化span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
单位向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
单位
定义一组两两正交的非零向量
正交向量组线性无关
正交向量组
标准正交基向量空间的基两两正交，且都是单位向量
施密特正交化【递推计算】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
解析span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
标准正交化
标准正交
n 阶矩阵A
正交矩阵每个列向量都是单位向量，且两两正交
正交矩阵逆矩阵和转置相等，且均为正交阵
正交矩阵乘积仍为正交阵
正交矩阵/正交阵
正交变换线段长度不变【相当于换坐标系表示】
正交变换
正交
相关概念
向量
基本关系式
特征多项式
特征方程
特征值
特征向量
迹
坐标变换
概念
前提
矩阵多项式的特征值
特征值性质
特征值不相等，特征向量线性无关假设 为 的 个特征值， 为依次对应特征向量，各 λ 不相等，则 线性无关
推论
特征向量性质
特征向量/特征值
行列式相等
秩相等
特征多项式相同
迹相等span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
相似矩阵
充要条件A 有 n 各线性无关的特征向量
推论A 的 n 个特征值互不相等
相似对角化
相似
合同定义
合同对角化
对称矩阵特征值为实数
对称矩阵特征值不同，对应的特征向量正交
正交变换二次型矩阵 合同且相似
求出 A 全部不相等特征值
对每个 k 重特征值，求解方程 (A-λiE)x=0 的基础解系
将这个 ki 个线性无关的特征向量，正交化、单位化，得到两两正交单位特征向量
步骤
对称矩阵对角化
称为二次型 的矩阵，A的秩叫做 二次型 f 的秩，记为r(A)span class=\"equation-text\" data-index=\"2\" data-equation=\
求解 二次型矩阵 A
二次型
只含平方项的二次型(混合项系数全为零)
负惯性指数
正惯性指数
惯性指数
标准型
在标准型中，若平方项系数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
规范型
正定二次型
形式
对于一个二次型，无论选取怎样的坐标变换使其化为仅含平方项的标准型其中正平方项个数 、负平方项个数 都是由所给二次型唯一确定的
设二次型span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\" f =x^TAx \" contenteditable=\"false\
定理
的正惯性指数为 n
合同，即存在可逆矩阵C，使得
A 的所有特征值 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
A 的各阶顺序主子式均大于 0
n 元二次型正定充分必要条件
0\" contenteditable=\"false\"
必要条件
正定
惯性定理
相似及二次型
齐次
非齐次
类型
齐次零解
非齐次唯一解
唯一
无穷多
存在
无解
解
定义齐次线性方程组的解集的最大无关组
基础解系
非齐次方程通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次特解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
解向量/通解表式
基础解析形式
解结构
解向量的任意线性组合仍是方程组的解
向量方程的两个解相加，仍为其解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量方程的解乘以某实数，仍为其解
向量方程的两个解相减，为其齐次线性方程组对应解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量方程的齐次解+非齐次解仍为非齐次方程的解
解向量性质
方程组的秩
方程组解集的秩
n 元齐次线性方程组同解 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
其他性质
方程组
矩阵【分块法】 -> 向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
线性表示 -> 基础解系
方程组的表示
写出对应向量组的矩阵形式
化简为最简形矩阵
利用解向量进行线性表示
计算步骤
线性表示
Gauss-Jordan 高斯消元
解法
线性方程
封闭
n 元齐次方程组解集【解空间】
子空间
r 维向量空间 V
基
线性运算
向量组等价，向量空间相等
向量空间
列向量与平面空间
基变换公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
坐标变换公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
基变换与坐标变换
定义假设 分别是n维和m维线性空间，T是一个从到的映射，如果映射T满足：span class=\"equation-text\" data-index=\"3\" data-equation=\
线性变换的矩阵表示式
线性变换/线性映射
线性空间与线性变换
逆序排列中，大的数排在小的前，两个数构成一个逆序
逆序数一个排列的逆序总数为这个排列的逆序数
逆序/逆序数
奇排列排列逆序数为偶数
偶排列排列逆序数为奇数
对换
全排列
余子式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
代数余子式
余子式/代数余子式
前置概念
全排列求和运算(n! 项之和)
n阶行列式(nn的方阵) 完全展开式
k 行展开公式
方阵行列式
对角线法则主对角线元素乘积之和 - 副对角线元素乘积之和
三阶内行列式计算
三阶以上：完全展开式
性质定理
公式【两行或两列交换，值为相反数】
推论
交换
公式【提取某行/列公因子，值乘以公因子】
推论某行全为 0，则行列式值为 0
公因式
行列式某行或某列相加减，对应行列加减【和矩阵加减运算区分】
加减可拆
两行对应成比例
展开
某行列的各元素乘以同一个数加到另一行。行列式不变
k乘加
基本运算
对角线法则
二阶与三阶
上下三角
向上或则向左求和
爪对称型【构造上/下三角行列式】
爪型
数学归纳法证明【每行减去前行的xi倍，然后展开】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\begin{vmatrix}1&...&1\\\\x_1&...&x_n\\\\ \\vdots &...&\\vdots\\\\x_1^n&...&x_n^n\\end{vmatrix}=\\begin{vmatrix}1&...&1\\\\0&...&x_n-x_1\\\\ \\vdots &...&\\vdots\\\\0&...&x_n^{n-1}(x_n-x_1)\\end{vmatrix}=\\prod_{1\\leq i
范德蒙德
拉普拉斯[分块]
对称型
转置不变
k 乘
矩阵乘法
伴随矩阵
特征值与行列式
相似矩阵
逆行列式为原矩阵倒数
多项式矩阵行列式
利用单位矩阵恒等变形
相似矩阵span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分块行列式恒等变形(抽象矩阵)
的两行元素对应成比例
中由一列元素全为 0
方程有非零解
充分条件
中必有一行为其余行的线性组合
方阵行列式为 0
通过归纳法/化为上三角进行计算span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
三对角矩阵
特殊行列式
思路利用行列式计算非齐次方程的解
唯一
Di 为把系数 矩阵D 中的第 j 列元素用常数项替换所得
解的表示
矩阵推导证明
计算
克拉默法则
行列式
mn个数的数表
定义【n阶方阵A】
E 单位矩阵
性质
纯量阵 λE
diag 对角矩阵
对称矩阵A的特征值全为正
对称矩阵A的各阶主子式均为正(赫尔维茨定理)
正定矩阵
二次型 f 的矩阵
对称矩阵
反对称矩阵
正交矩阵逆=转置
行列式平方为1
正交矩阵
矩阵 A 的 m 次多项式
A 与某对角矩阵相似时span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
矩阵多项式
伴随矩阵的行列式值
伴随与逆的关系
证明
伴随求逆
伴随求转置
证明span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
伴随矩阵的伴随矩阵
分块伴随矩阵
伴随矩阵的秩span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二阶伴随矩阵span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
伴随矩阵
定义对于 n阶 矩阵A，存在 n阶 矩阵B 使得 AB=BA=E
非奇异性
秩为阶数n
A 的 列/行 向量组线性无关
A 可以通过 E 初等变换得到 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
A 与 单位矩阵 E 等价【初等变化】
0 不是 A 的特征值
A 的逆矩阵 存在且唯一
初等变换
伴随矩阵公式
多项式移项配凑
求逆矩阵
可逆/非奇异/满秩矩阵
不可逆/奇异/降秩矩阵
合同矩阵
n阶方阵
相等
同型矩阵
分块加减，即把子矩阵看作系数来运算
数乘同理
分块矩乘【注意小块满足矩乘型式要求】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
转置【对角线上矩阵不动，对称位置调换，最后全部求转置】
分块对角
分块对角逆矩阵
分块运算
形状相关
系数矩阵
未知数矩阵/解向量
常数项矩阵
增广矩阵
行 / 列向量(矩阵)
线性方程相关
可逆矩阵/满秩矩阵
行等价
列等价
A 经过有限次初等变化为 B
反身性
对称性
传递性
等价矩阵
初等矩阵
行阶梯【非零矩阵】
行最简
外框
初等变换相关
充要条件【方阵A】
零矩阵
单位矩阵
实矩阵/副矩阵
数值相关
初等行变换
充要条件【可逆矩阵即非奇异矩阵】
可逆则
系数乘矩阵的逆
逆矩阵的幂次
转置求逆
二阶矩阵求逆
分块求逆span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
逆矩阵的行列式
单位矩阵
运算性质
逆运算
矩阵对角化
同型矩阵加减，对应位置元素加减【注意和行列式区分】
同型矩阵加减
结合律
交换律
加减
λA
数乘
定义法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
列向量组合【分块思想】
行向量组合
αTβ 列 x 行 = 矩阵span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
αβT 行 x 列 = 数 【记忆：行列式是数】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
线性组合【优化计算】
分配律
结果为数
结果为矩阵
结果值
运算律
方阵A由某 列向量 x 行向量得到span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方阵幂运算
方阵与对角矩阵矩乘
矩阵乘积为0矩阵
AB = AC
三角矩阵
对角矩阵span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分块矩阵
特殊矩阵n次幂
矩乘
转置
加法
乘法
转置 【内外均转】
求逆span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分块对角 n 次幂
分块
两行对换
第 i 行乘 k
某行所有元 k 倍加导另一行
初等行变换
列变换
增广矩阵span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
初等变换
左侧矩阵可逆
判秩
表示解
求解
无解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
唯一解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
无穷多解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
解的个数
有解
运算
线性变换
k 阶子式
最高阶非零子式
矩阵大小与秩的关系span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
矩阵和的秩 ≤ 矩阵秩的和
数乘不改变秩大小span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分块矩阵的秩
矩乘乘积的秩小于最小秩span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
转置秩 = 原矩阵秩
矩阵运算
AB = 0矩阵的秩小于 n (同边)span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
初等变换秩保持不变【乘以可逆秩不变】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
等价矩阵秩相等span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方程
方程组无解时 增广矩阵的秩 = 系数矩阵秩 + 1
线性方程组相关
矩阵
向量\\矩阵\\方程
矩阵中行/列间关系【两行对应成比例】
矩阵的秩 r(A)< n 【秩为最高阶非零子式，|A|=0说明，n阶子式为0，因此其秩必然小于 n】
A 存在某行向量为其余线性组合 【线性组合使得两行相等】
A 对于的 n 个 n 维向量组线性相关
线性关系
矩阵 A 不可逆
可逆性
高斯消元：某个方程能够由其他方程组进行消除
方程组的解：齐次方程 Ax = 0 有非零解 【多出一个未知向量】
在向量空间中表示 变换后的图形的面积 S = 0
矩阵的秩为阶数n
A 与 单位矩阵 E 等价
【初等变换】
方程组的解：齐次零解 ， 非齐次唯一解
充要条件
可逆/非奇异/满秩矩阵
n 阶矩阵 A 行列式的值
等价变换
相似变换
正交变换
相关变换
非齐次有解
齐次方程组有非零解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量组的秩 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"r(A)
关系线梳理
线性代数
代数
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