线性代数复习总结

2021-07-06 10:07:06   563  举报

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线性代数是一门研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性映射（也叫线性变换）的数学学科。它的抽象概念是建立在实数和复数等具体数字的基础上的，是现代数学的一个重要分支。线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，包括解微分方程、图像处理、计算机图形学、机器学习等。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和掌握这些领域的基本概念和方法。总之，线性代数是一门具有广泛应用前景且非常重要的学科。

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大纲/内容

向量

向量与向量组

矩阵行列向量组表示

m 个 n 维列向量

m 个 n 维行向量

线性相关性

线性表示(出)

定义

向量组表示

向量组B能由向量组A线性表示

充要条件

必要条件

向量组等价

向量组 A和向量组 B能够互相表示

充要条件

线性组合

线性相关

定义

特征

秩判断【充要条件】

线性方程组

存在某个方程可以由其余方程进行线性组合

充要条件

线性无关

秩判断【充要条件】

证明方式

化简为 形式

秩判断 r(BA) = r(B)

向量组线性相关性

维数决定矩阵大小，矩阵大小决定秩范围，秩范围决定线性相关性

延申组即例如原向量为 <span class="equation-text" data-index="1" data-equation="原向量组\bold {A:a_1,...,a_n}线性相关,则延申向量组\bold {B:\hat{a_1},...,\hat{a_n},\hat{a_{n+1}}}线性相关\\延申向量组\bold {B:a_1,...,a_n,a_{n+1}}线性无关,则原向量组\bold {A:a_1,...,a_n}线性无关" contenteditable="false">

秩

极大线性无关组

定义

推论

定义

秩等价

解集的秩

相关概念

内积/点积

定义

性质

交换结果不变

数乘

加法可拆

结果非负性 0" contenteditable="false">

内积/点积/数量积关系

Schwaz 不等式

长度(范数)

定义

性质

非负性

齐次性

n维向量夹角

由Schwaz不等式得到范围证明

单位

单位化

单位向量

正交

正交向量组

定义 一组两两正交的非零向量

性质

正交向量组线性无关

标准正交

标准正交基 向量空间的基两两正交，且都是单位向量

标准正交化

施密特正交化【递推计算】 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="b_1=a_1\\b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1,\\.......\\b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-...-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}." contenteditable="false">

解析

正交矩阵/正交阵

n 阶矩阵A

性质

正交矩阵每个列向量都是单位向量，且两两正交

正交矩阵逆矩阵和转置相等，且均为正交阵

正交矩阵乘积仍为正交阵

正交变换

定义

正交变换线段长度不变【相当于换坐标系表示】

相似及二次型

特征向量/特征值

概念

基本关系式

特征多项式

特征方程

特征值

特征向量

迹

坐标变换

特征值性质

前提

矩阵多项式的特征值

特征向量性质

特征值不相等，特征向量线性无关 假设 为 的 个特征值， 为依次对应特征向量，各 λ 不相等，则 线性无关

推论

相似

相似矩阵

定义

A,B,P 为 n 阶矩阵

性质

行列式相等

秩相等

特征多项式相同

迹相等

相似对角化

充要条件 A 有 n 各线性无关的特征向量

推论 A 的 n 个特征值互不相等

合同对角化

合同定义

性质

A为对称矩阵时, 对应合同矩阵也为对称矩阵

对称矩阵对角化

性质

对称矩阵特征值为实数

对称矩阵特征值不同，对应的特征向量正交

正交变换二次型矩阵 合同且相似

推论

步骤

求出 A 全部不相等特征值

对每个 k 重特征值，求解方程 (A-λiE)x=0 的基础解系

将这个 ki 个线性无关的特征向量，正交化、单位化，得到两两正交单位特征向量

将这 n 个两两正交单位向量构成正交矩阵 P,求出对应的对角矩阵

形式

二次型

定义

称为二次型 的矩阵，A的秩叫做二次型 f 的秩，记为r(A) <span class="equation-text" data-index="2" data-equation="f=X^TAX;A=\begin{pmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&...&a_{nn}\end{pmatrix},x=\begin{pmatrix}x_1 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}" contenteditable="false">

求解二次型矩阵 A

标准型

只含平方项的二次型(混合项系数全为零)

惯性指数

负惯性指数

正惯性指数

规范型

在标准型中，若平方项系数

正定二次型

惯性定理

定理

对于一个二次型，无论选取怎样的坐标变换使其化为仅含平方项的标准型 其中正平方项个数 、负平方项个数 都是由所给二次型唯一确定的

设二次型的秩为 r ,且有两个可逆变换 则其对应的二次型正/负系数个数相等

正定

定义 0(f(0)=0)\\则称f为正定二次型，并称矩阵A为正定的,反之同理" contenteditable="false">

n 元二次型正定 充分必要条件

的正惯性指数为 n

合同，即存在可逆矩阵C，使得

A 的所有特征值 均为正数

A 的各阶顺序主子式均大于 0

必要条件

0(i=1,...,n)" contenteditable="false">

0" contenteditable="false">

线性方程

类型

齐次

非齐次

解

存在

唯一

齐次零解

非齐次唯一解

无穷多

无解

解结构

基础解系

定义 齐次线性方程组的解集的最大无关组

解向量/通解表式

非齐次方程通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次特解

基础解析形式

解向量性质

解向量的任意线性组合仍是方程组的解

向量方程的两个解相加，仍为其解

向量方程的解乘以某实数，仍为其解

向量方程的两个解相减，为其齐次线性方程组对应解

向量方程的齐次解+非齐次解仍为非齐次方程的解

秩

方程组的秩

方程组解集的秩

其他性质

n 元齐次线性方程组同解 ，秩相等

解法

线性表示

方程组的表示

方程组

矩阵【分块法】 -> 向量

线性表示 -> 基础解系 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x_1a_1+...+x_na_n=b \iff \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}x_1+...+\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}x_n=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots \\b_m\end{pmatrix}" contenteditable="false">

计算步骤

写出对应向量组的矩阵形式

化简为最简形矩阵

利用解向量进行线性表示

Gauss-Jordan 高斯消元

线性空间与线性变换

向量空间

概念

定义

封闭

n 元齐次方程组解集【解空间】

子空间

r 维向量空间 V

基

线性运算

性质

向量组等价，向量空间相等

列向量与平面空间

基变换与坐标变换

基变换公式

坐标变换公式

线性变换/线性映射

定义 假设 分别是n维和m维线性空间，T是一个从到的映射，如果映射T满足：

线性变换的矩阵表示式

行列式

前置概念

逆序/逆序数

逆序 排列中，大的数排在小的前，两个数构成一个逆序

逆序数 一个排列的逆序总数为这个排列的逆序数

全排列

奇排列 排列逆序数为偶数

偶排列 排列逆序数为奇数

对换

余子式/代数余子式

余子式

代数余子式

定义

全排列求和运算(n! 项之和)

n阶行列式(nn的方阵) 完全展开式 <span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} &...& a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &...& a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\a_{n1} & a_{n2} &...& a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2..j_n} (-1)^{\tau(j_1...j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}" contenteditable="false">

k 行展开公式

方阵行列式

性质定理

三阶内行列式计算

对角线法则 主对角线元素乘积之和 - 副对角线元素乘积之和

三阶以上：完全展开式

基本运算

交换

公式【两行或两列交换，值为相反数】 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}...&...&...\\a_{i1}&...&a_{in}\\a_{j1}&...&a_{jn}\\...&...&...\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}...&...&...\\a_{j1}&...&a_{jn}\\a_{i1}&...&a_{in}\\...&...&...\end{vmatrix}" contenteditable="false">

推论

公因式

公式【提取某行/列公因子，值乘以公因子】 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}...&...&...\\ka_{i1}&...&ka_{in}\\...&...&...\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}...&...&...\\a_{i1}&...&a_{in}\\...&...&...\end{vmatrix}" contenteditable="false">

推论 某行全为 0，则行列式值为 0

加减可拆

行列式某行或某列相加减，对应行列加减【和矩阵加减运算区分】 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}...&...&...\\a_{i1}+b_1&...&a_{in}+b_n\\a_{j1}&...&a_{jn}\\...&...&...\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}...&...&...\\a_{i1}&...&a_{in}\\a_{j1}&...&a_{jn}\\...&...&...\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}...&...&...\\b_1&...&b_n\\a_{j1}&...&a_{jn}\\...&...&...\end{vmatrix}" contenteditable="false">

展开

两行对应成比例

k乘加

某行列的各元素乘以同一个数加到另一行。行列式不变

特殊行列式

二阶与三阶

对角线法则

上下三角

爪型

向上或则向左求和

爪对称型【构造上/下三角行列式】

范德蒙德

数学归纳法证明【每行减去前行的xi倍，然后展开】 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}1&...&1\\x_1&...&x_n\\ \vdots &...&\vdots\\x_1^n&...&x_n^n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&...&1\\0&...&x_n-x_1\\ \vdots &...&\vdots\\0&...&x_n^{n-1}(x_n-x_1)\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i< j\leq n}(a_j-a_i)" contenteditable="false">

拉普拉斯[分块]

对称型

方阵行列式

转置不变

k 乘

矩阵乘法

伴随矩阵

特征值与行列式

相似矩阵

逆行列式为原矩阵倒数

多项式矩阵行列式

利用单位矩阵恒等变形

相似矩阵

分块行列式恒等变形(抽象矩阵) <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}E&*\\O&E\end{vmatrix}\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}\begin{vmatrix}E&O\\*&E\end{vmatrix}" contenteditable="false">

方阵行列式为 0

充分条件

的两行元素对应成比例

中由一列元素全为 0

方程有非零解

必要条件

中必有一行为其余行的线性组合

三对角矩阵

通过归纳法/化为上三角进行计算

特征多项式

克拉默法则

思路 利用行列式计算非齐次方程的解

计算

解

存在

唯一

齐次零解

非齐次唯一解

无穷多

无解

解的表示

Di 为把系数矩阵D 中的第 j 列元素用常数项替换所得 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="D_i=\sum_{i=0}^n b_iA_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11}&...&a_{1j}&b_1&...&a_{1n}\\a_{21}&...&a_{2j}&b_2&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{21}&...&a_{2j}&b_2&...&a_{2n}\end{vmatrix}" contenteditable="false">

矩阵推导证明

矩阵

定义

mn个数的数表

类型

形状相关

n阶方阵

对称矩阵

定义【n阶方阵A】

diag 对角矩阵

E 单位矩阵

纯量阵 λE

性质

正定矩阵

对称矩阵A的特征值全为正

对称矩阵A的各阶主子式均为正(赫尔维茨定理)

二次型 f 的矩阵

反对称矩阵

正交矩阵

定义

性质

正交矩阵逆=转置

行列式平方为1

矩阵多项式

矩阵 A 的 m 次多项式

A 与某对角矩阵相似时

相似矩阵

定义

A,B,P 为 n 阶矩阵

性质

行列式相等

秩相等

特征多项式相同

特征值

迹相等

伴随矩阵

定义

性质

伴随矩阵的行列式值

伴随与逆的关系

证明

伴随求转置

伴随求逆

伴随矩阵的伴随矩阵

证明

分块伴随矩阵 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A=\begin{bmatrix}B&O\\O&C\end{bmatrix}，A^*=\frac{1}{|A|}A^{-1}=\frac{1}{|B||C|}\begin{bmatrix}C^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{bmatrix}" contenteditable="false">

伴随矩阵的秩

二阶伴随矩阵

可逆/非奇异/满秩矩阵

定义 对于 n阶 矩阵A，存在 n阶矩阵B 使得 AB=BA=E

性质

非奇异性

秩为阶数n

A 的列/行向量组线性无关

A 可以通过 E 初等变换得到

A 与单位矩阵 E 等价【初等变化】

0 不是 A 的特征值

A 的逆矩阵 存在且唯一

求逆矩阵

初等变换

伴随矩阵公式

多项式移项配凑

不可逆/奇异/降秩矩阵

合同矩阵

同型矩阵

相等

分块运算

分块加减，即把子矩阵看作系数来运算

数乘同理 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lambda A=A\lambda=\begin{bmatrix}\lambda A_{11}&...&\lambda A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\\lambda A_{s1}&...&\lambda A_{sr}\end{bmatrix}" contenteditable="false">

分块矩乘【注意小块满足矩乘型式要求】

转置【对角线上矩阵不动，对称位置调换，最后全部求转置】

分块对角

分块对角逆矩阵

线性方程相关

系数矩阵

未知数矩阵/解向量

常数项矩阵

增广矩阵

行 / 列向量(矩阵)

初等变换相关

可逆矩阵/满秩矩阵

等价矩阵

秩相等

定义 A,B 为mn 矩阵

行等价

列等价

A 经过有限次初等变化为 B

性质

反身性

对称性

传递性

初等矩阵

行阶梯【非零矩阵】

行最简

标准型

数值相关

零矩阵

充要条件【方阵A】

单位矩阵

实矩阵/副矩阵

运算

逆运算

初等行变换

运算性质

充要条件【可逆矩阵即非奇异矩阵】

可逆则

系数乘矩阵的逆

转置求逆

伴随求逆

逆矩阵的幂次

二阶矩阵求逆

分块求逆 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A=\begin{bmatrix}0&C\\D&0\end{bmatrix},A^{-1}=\begin{bmatrix}0&D^{-1}\\C^{-1}&0\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}C&O\\O&D\end{bmatrix},A^{-1}=\begin{bmatrix}D^{-1}&O\\O&C^{-1}\end{bmatrix}" contenteditable="false">

逆矩阵的行列式

单位矩阵

矩阵对角化

加减

同型矩阵加减，对应位置元素加减【注意和行列式区分】

性质

同型矩阵加减

结合律

交换律

数乘

λA <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lambda A=A\lambda=\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&...&\lambda a_{1m}\\ \vdots&&\vdots\\\lambda a_{n1}&...&\lambda a_{nm}\end{bmatrix}" contenteditable="false">

矩乘

定义法

线性组合【优化计算】

列向量组合【分块思想】 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="AB=\begin{bmatrix}2&3&5\\1&2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&2\\1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&2\\1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}&a_1+2a_2+3a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}6+6+5\\3+4+6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}23\\23\end{bmatrix}\end{bmatrix}" contenteditable="false">

行向量组合 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="AB=\begin{bmatrix}2&3&5\\1&2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&2\\1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3&5\\1&2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}" contenteditable="false">

αTβ 与 αβT , ab 默认列向量

αTβ 列 x 行 = 矩阵

αβT 行 x 列 = 数【记忆：行列式是数】

性质

运算律

结合律

分配律

结果值

结果为数

结果为矩阵

方阵幂运算

方阵A由某列向量 x 行向量得到

方阵与对角矩阵矩乘

矩阵乘积为0矩阵

AB = AC

特殊矩阵n次幂

三角矩阵

对角矩阵

分块矩阵

相似矩阵

转置

分块

加法

乘法 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X&Y\\Z&W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\CX+DZ&CY+DW\end{bmatrix}" contenteditable="false">

转置【内外均转】

求逆 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}A&O\\O&D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\O&D^{-1}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}O&A\\D&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&D^{-1}\\A^{-1}&O\end{bmatrix}" contenteditable="false">

分块对角 n 次幂

分块伴随矩阵 <span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}O&A\\C&O\end{bmatrix}^*=\begin{vmatrix}O & A \\C & O\end{vmatrix}\begin{bmatrix}O&A^{-1}\\C^{-1}&O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}O&|X|A^{-1}\\|X|C^{-1}&O\end{bmatrix}" contenteditable="false">

初等变换

初等行变换

两行对换

第 i 行乘 k

某行所有元 k 倍加导另一行

列变换

增广矩阵

左侧矩阵可逆

求解

初等行变换 Ax=b 把（A,b）化为行最简矩阵

判秩

表示解