线性代数学习总结
2021-10-18 16:14:05 54 举报AI智能生成
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作者其他创作
大纲/内容
范德蒙行列式
拉普拉斯公式
如果行列式某行(列)元素都写成两数之和，则该行列式可以写成两个行列式之和
行列式
同型矩阵：行、列数相等的矩阵
性质
逆矩阵：AA^(-1)=E(A是方阵)
与D同行左除(乘逆)，与D同列右除;0在副对角线，分块方式不变;0在主对角线，分块方式对调
分块矩阵求逆
分块矩阵
矩阵的最高阶非零子式的阶数
秩越乘越小，越拼越大，分开加最大
伴随矩阵的秩
分块矩阵的秩=所有的子矩阵的秩相加
满秩矩阵等价命题
矩阵的秩的性质
矩阵的秩
2阶矩阵求伴随：主对角线交换，副对角线变号
伴随矩阵
初等变换
定义
结论
初等矩阵
基本概念
矩阵
计算
向量正交：内积=0
内积
向量的运算
向量组的等价
向量组的秩可以看作向量组中\"有效\"向量的个数
向量组线性表示的等价命题
向量不能由向量组线性表示
向量组用向量组线性表示
向量组的线性表示
含有0向量的向量组必线性相关
2个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例
向量组的线性相关与线性无关
向量组不满秩(行列式 = 0)
向量组线性相关
向量组满秩(行列式 != 0)
向量组中的每一个向量都不能由其余向量线性表示
向量组线性无关
向量组线性相关/无关的等价命题
n个n维向量线性相关的充要条件是行列式=0
n+1个n维向量一定线性相关
推论
线性相关
重要定理和结论1
将向量浓缩到没有\"多余\
向量组中任选r个无关向量即为线性无关组
极大线性无关组
向量组的极大无关组中含有的向量的个数称为向量组的秩
向量组的秩
向量组与自己的极大无关组等价
向量组的任意2个极大无关组等价
等价向量组的极大无关组等价
重要定理和结论2
维数:向量空间的基所含向量个数r为该空间的维数
过渡矩阵
称其为向量在不同基下的坐标变换公式
坐标变换公式
向量空间
也是Ax=b的解
齐次通解+非齐次特解
非齐次方程组求通解
非齐次线性方程组解的性质
向量
解的性质
非齐次方程组解的判定
齐次方程组解的判定
Ax=0的基础解系含有n-r(A)个线性无关的解向量
Ax=0的任何n-r(A)个线性无关的解向量都可以构成基础解系(基础解系不唯一)
是否为方程的解
是否线性无关
是否为n-r(A)个
验证向量组是否为基础解系
齐次线性方程组的基础解系(非齐次无基础解系)
线性方程组解的判定
2.1写出同解方程
1.将行列式化为行最简型
线性方程组的基础解系
将所有的自由未知量全取0，剩下的未知量将常数列顺抄即可
求非齐次方程组的特解
矩阵方程
线性方程组
特征多项式和特征方程
一个结论
特征值和特征向量的有关性质
4相似
4必要
相似矩阵
矩阵相似对角化的充要条件
矩阵相似对角化的充分条件
相似对角化
实对称矩阵的特性
实对称矩阵
正交矩阵
正交矩阵&实对称矩阵
替代方法
施密特正交化
1.求A的所有特征值和对应的特征向量
3.写出Q和Λ(Q是P的列向量的正交单位化)
实对称矩阵的正交相似对角化
特征值与特征向量
二次型的矩阵表示
正交变换法化二次型为标准型
可逆线性变换
重要定理
惯性指数
惯性定理
二次型的规范形
惯性定理&规范型
关于合同的命题
合同
正定二次型
顺序主子式是二次型正定的充要条件
二次型f(实对称矩阵A正定)的充要条件
二次型f(实对称矩阵A正定)的必要条件
正定
二次型
线性代数
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