首页  思维导图  详情

《高等数学》读书笔记

2021-08-16 09:45:01   0  举报





AI智能生成

数学二考研高数部分知识框架

高等数学

学霸笔记

考研高等数学

详细

学习笔记

数学二

数学类

考研

大学教育

作者其他创作

大纲/内容

第1讲函数极限与连续

第2讲数列极限

第3讲一元函数微分学的概念

第4讲一元函数微分学的计算

一、基本求导公式

二、符号写法

三、复合函数求导

四、隐函数求导

设函数是由方程确定的可导函数，则 ①方程两边对自变量求导，注意,即将看作中间变量，得到一个关于的方程 ②解该方程便可求出

例4.5

五、反函数求导

六、分段函数求导(含绝对值)

七、多项乘除、开方、乘方(对数求导法)

八、幂指函数求导法

九、参数方程确定的函数求导

十、高阶导数

第5讲一元函数微分学的应用(一) ——几何应用

一、研究对象

1."祖孙三代"

2.分段函数(含绝对值)

3.参数方程

4.隐函数F(x,y)=0

二、研究内容

1.切线、法线、截距

2.极值、单调性

3.拐点、凹凸性

4.渐近线

1）铅锤渐近线 若，则(一般为函数的无定义点)为一条铅锤渐近线

2）水平渐近线 若，则为一条水平渐近线；若，则为一条水平渐近线； 若，则为一条水平渐进线

3）斜渐近线 若，则是曲线的一条斜渐进线； 若，则是曲线的一条斜渐进线； 若，则是曲线的一条斜渐进线；

例5.17、例5.18

5.最值(值域)

6.曲率与曲率半径

7.相关变化率

第6讲一元函数微分学的应用(二) ——中值定理、微分等式与微分不等式

中值定理

十大定理

定理1  有界与最值定理： f(x)在[a,b]上连续，m≤f(x)≤M

定理2  介值定理： f(x)在[a,b]上连续，当m≤≤M时，，使得

定理3  平均值定理： 当时，使得

定理4  零点定理： 当f(a)·f(b)<0时，使得

※定理5  费马定理(区分度最高)： 若f(x)在点处满足①可导，②取极值，则

定理6  罗尔定理： 若f(x)满足①[a,b]上连续，②(a,b)内可导，③f(a)=f(b)，则，使得

定理7  拉格朗日中值定理(无条件成立)： 若f(x)满足①[a,b]上连续，②(a,b)内可导，则使得 ，或者写成

定理8  柯西中值定理(2020数二考过大题)： 若f(x)(抽象),g(x)(具体)满足①[a,b]上连续，②(a,b)内可导，③ 则使得

定理9  泰勒公式：

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式： 设f(x)在点的某个邻域内n＋1阶导数存在，则对该邻域内的任一点x，有 其中介于之间

带佩亚诺余项的n阶泰勒公式： 设f(x)在点处n阶可导，则存在的一个邻域，对该邻域内的任一点x，有 <span class="equation-text" data-index="2" data-equation="f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2+…+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)" contenteditable="false">

定理10  积分中值定理： 若f(x)在[a,b]上连续，则使得

辅助函数： (除2016年都是简单辅助函数f(x))

①乘积求导公式的逆用 见到令F(x)=f^2(x)" contenteditable="false"> 见到令F(x)=f(x)f^\prime(x)" contenteditable="false"> 见到令F(x)=f(x)e^{\phi(x)}" contenteditable="false">

例6.2 习题6.5

②商的求导公式的逆用 a.见到F(x)=\frac{f(x)}{x}" contenteditable="false"> b.见到F(x)=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}" contenteditable="false"> c.，故"b"为

例6.30

见到F(x)=\int_a^xf(t)\ \mathrm{d}t">

例6.5

题目中给出"F(x)"或"F(a)"，可令F(x)做辅助函数

例6.15

微分等式问题 (方程的根、函数的零点)

理论依据

1.零点定理及其推广

零点定理：，则f(x)=0在(a,b)内至少一个根

推广的零点定理： 若f(x)在(a,b)内连续，，，且 则f(x)=0在(a,b)内至少一个根

2.用导数工具研究函数性态

3.罗尔定理的推论 若 至多有k个根，则至多有k＋n个根

4.实系数奇次方程至少有一个实根

考法

1.证明恒等式

例6.19

※2.函数的零点个数(方程根的个数、曲线交点的个数)

例6.20

导数中不含参数

例6.21、习题6.7

导数中含参数

例6.22

3.方程(列)问题(见第2讲)

例2.15

4.区间(列)问题(见第2讲).

例2.16

微分不等式问题

单调性

例6.23、例6.24、例6.33 习题6.9、习题6.10

最值

例6.25、例6.27

凹凸性

例6.30、习题6.10

拉格朗日中值定理

例6.26、例6.28、例6.31、习题6.10

柯西中值定理

例6.7

带拉格朗日余项的泰勒公式

例6.29、例6.30、例6.32

能推出与0的关系，在适当的处展开

第7讲一元函数微分学的应用(三) ——物理应用与经济应用

物理应用(数一、数二)

以A对B的变化率为核心，写出的表达式

经济应用(数三)

第8讲 一元函数积分学的概念与性质

"祖孙三代"的奇偶性、周期性

奇偶性： ① ②

例8.1、例8.4

周期性： ① ②

例8.2、例8.3

积分比大小

几何意义 ① ※②(注意物理应用为速度则为位移) ③

例8.4、例8.5 习题8.1

保号性 ①推出正负，如|x|≥0；当时， ②作差，，再换元(常用)8个诱导公式

例8.6、例8.7

定积分定义

基本型(能凑成)

若数列通项中以下形式 ①;         ②; ③；       ④； 可直接写定积分定义(，) ，或

例8.8、例8.9 习题8.2

放缩型(凑不成)

夹逼准则： 如通项中含 ，则凑不成，考虑放缩用夹逼准则(见第2讲)

放缩后再凑: 如通项中含 ，虽凑不成，但放缩：，则可凑成

习题8.3

变量型

若通项中含，则考虑以下式子：

例8.10

※反常积分的判敛 (比阶的问题)

概念

无穷区间上的反常积分：

无界函数的反常积分： ，且，即a为瑕点

奇点：统称为奇点

判别

判别时要求每个积分有且仅有一个奇点

尺度

例8.11、例8.12、例8.13、例8.14、例8.15 习题8.4

①

②1时，收敛}">

③广义P积分：1时，收敛}">

例8.13、例8.14

④1且0<b<1">

习题8.4

第9讲一元函数积分学的计算

基本积分公式

④

⑤ 0)">

⑥ 0)">

⑦ |a|)">

⑧

※⑨|x|≥0)">

⑩

例9.3

不定积分的计算

凑微分法

思想：

简单情形： 常用的凑微分公式

复杂情形： 找

※换元法

思想：当被积函数不容易积分(比如含有根式，含有反三角函数)时，可以通过换元的方法从d后面拿出一部分放到前面来 注：必须是单调可导函数，计算完后要用回代

方法

三角函数代换——被积函数含有如下根式(a>0) ① ② ③0，则0<t<\frac{\pi}{2} }_{若x＜0，则\frac{\pi}{2}<t<\pi }">

恒等变形后作三角函数代换——当被积函数中含有根式时， 可化为以下三种形式，再作三角函数代换.

根式代换——当被积函数中含有根式等时 一般令根式(因为根式内难以凑成平方，根号无法去掉)， 对既含有，也含有的函数，一般取m，n的最小公倍数，令

倒代换——当被积函数分母的幂次比分子高两次及两次以上时， 可作倒代换，如令

复杂函数的直接代换——当被积函数中含有等时，可考虑直接令复杂函数等于t 当与(x的n次多项式)或做乘除时，优先考虑分部积分法

分部积分法

思想： ，这个方法主要适用于求比较困难，而比较容易的情形

方法

u，v选取原则：反、对、幂、指、三

推广公式 (表格法)

可能会创造出积分再现或者积分抵消的情形

例9.6

有理函数的积分

例9.6、例9.7

定义：形如的积分称为有理函数的积分，其中分别是x的n次多项式和m次多项式

思想：先将因式分解，再把拆分成若干项最简有理分式之和

方法

①的一次单因式产生一项

②的k重一次因式产生k项，分别为

例9.7

③的二次单因式产生一项

④的k重二次因式产生k项，分别为

定积分的计算

1.区间再现公式——(被积函数中出现三角函数考虑区间再现公式) ① ②两边等式相加再除以2有：  ③令，则， 故以为对称轴，故又有

例9.8、例9.9、例9.10

2.华里士公式(点火公式)

①<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\ \mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\ \mathrm{d}x=\{_{\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·...·\frac{1}{2}·\frac{\pi}{2},n为正偶数}^{\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·...·\frac{2}{3}·1,n为正奇数}">

②

③

子主题

其他

①0)">

例9.16

②(9)

例9.17

③(10)

例9.18

3.诱导公式

4.区间简化公式

①将变为令，有 <span class="equation-text" data-index="3" data-equation="\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sin t)·\frac{b-a}{2}\cos t\ \mathrm{d}t" contenteditable="false">

例9.22

②将变为令，有

例9.23

5.对称性下的积分问题

例9.24、例9.25

对于型的积分，可利用对称性解决问题

6.定积分分部积分法中的"升阶""降阶"问题

例9.26、例9.27、例9.28

对其积分，谓之降阶；对其求导，谓之升阶

7.分段函数的定积分

例9.29

变限积分的计算

1.分段函数的变限积分

例9.30、例9.31

2.直接求导型

例9.32、例9.33

Ⅰ) Ⅱ)

3.换元求导型

例9.34、例9.35

4.拆分求导型

例9.36、例9.37

被积函数中含有绝对值如等，需先拆分区间化成若干个积分

5.换序型

后交先定限，线内画条线 先交写下限，后交写上限

反常积分的计算

①，其中

例9.39

②若a为瑕玷，则，其中

例9.40

③换元后，可能可以化成定积分

例9.40

第10讲一元函数积分学的应用(一) ——几何应用

研究内容

1)面积

例10.1~例10.12

直角坐标系下的面积公式：

极坐标系下的面积公式：

子主题

螺线

阿氏螺线，取

对数螺线，如

双曲螺线，如

2)旋转体体积

例10.13~例10.17

①绕x轴：.

②绕y轴：.(柱壳法)

3)平均值

例10.18

公式：.

4)平面曲线的弧长

例10.19~例10.25

直角坐标方程：.

参数方程：.

极坐标方程：

5)旋转曲面的面积(侧面积)

例10.26、例10.27

曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积

曲线在区间上的曲线弧绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积

6)"平面上的曲边梯形"的形心坐标公式

例10.28、例10.29

设在[a,b]上连续，D的形心坐标为 <span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\overline{x}=\frac{\iint_Dx\ \mathrm{d}\sigma}{\iint_D\ \mathrm{d}\sigma}=\frac{\int_a^b\ \mathrm{d}x\int_0^{f(x)}x\ \mathrm{d}y}{\int_a^b\ \mathrm{d}x\int_0^{f(x)}\ \mathrm{d}y}=\frac{\int_a^bxf(x)\ \mathrm{d}x}{\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x}" contenteditable="false"> <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="3" data-equation="\overline{y}=\frac{\iint_Dy\ \mathrm{d}\sigma}{\iint_D\ \mathrm{d}\sigma}=\frac{\int_a^b\ \mathrm{d}x\int_0^{f(x)}y\ \mathrm{d}y}{\int_a^b\ \mathrm{d}x\int_0^{f(x)}\ \mathrm{d}y}=\frac{\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)\ \mathrm{d}x}{\int_a^bf(x)\ \mathrm{d}x}">

质量均匀分布时：质心=形心

7)平行截面面积为已知的立体体积

例10.30

在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体o所得到的截面面积为x的连续函数S(x),则o的体积为

第11讲一元函数积分学的应用(二) ——积分等式与积分不等式

积分等式

常用积分等式(见第9讲"三、定积分的计算").

通过证明某特殊积分等式求某特殊积分

例11.1、例11.2

积分形式的中值定理

例11.3、例11.4、例11.5

积分不等式

※1)用函数的单调性(主流考点)： 首先将某一限(上限或下限)变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证明不等式。 此方法多用于所给条件为"f(x)在[a,b]上连续"的情形。

例11.6、例11.7

2)处理被积函数

①用积分保号性 已知f(x)≤g(x)，用积分保号性证得

例11.8

②用拉格朗日中值定理 用拉格朗日中值定理处理被积函数f(x)，再做不等式，进一步，用积分保号性 此方法多用于所给条件为"f(x)一阶可导"且题中由较简单的函数值(0,1等)的题目

例11.9

③用泰勒公式 将f(x)展开成泰勒公式，再做不等式，进一步，用积分保号性。 此方法多用于所给条件为"f(x)二阶(或更高阶)可导"且题中由较简单的函数值(0,1等)的题目

例11.10

④用放缩法 利用常见不等关系处理被积函数，进一步用积分保号性 常见不等关系：， 闭区间上连续函数f(x)有0)，\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)">等

例11.11

⑤用分部积分法 利用分部积分法处理被积函数，再利用已知条件进一步推证

例11.12

⑥用换元法 见到复合函数的积分，可考虑换元法

例11.13

3)用夹逼准则求解一类积分的极限问题

例11.14

4)曲边梯形面积的连续化与离散化问题

例11.15

第12讲一元函数积分学的应用(三) ——物理应用与经济应用

物理应用(微元法) (仅数一、数二)

1.总路程： 其中v(t)为时间到上的速度函数，积分即得总位移(路程)S

例12.1

2.变力沿直线做功 设方向沿x轴正向的力函数F(x)(a≤x≤b)，则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为 ，功的元素

例12.2

3.提取物体做功 将容器中的水全部抽出所做的功为，其中为水的密度，g为重力加速度 功的元素为位于x处厚度为dx，水平截面面积为A(x)的一层水被抽出(路程为x)所做的功

例12.3~例12.6

4.静水压力 垂直浸没在水中的平板ABCD的一侧受到水压力为，其中为水的密度，g为重力加速度 压力元素是图中矩形条所受到的压力，x是水深，f(x)-h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度

例12.7

5.细杆质心 设直线段上的线密度为的细直杆，则其质心为

例12.8

6.其他重要应用(微元法总结)

例12.9

第13讲多元函数微分学

一、概念

在点处，的概念关系图

1.极限： (洛必达法则、单调有界准则不能用)

例13.1、例13.2

2.连续： 若则称在点处连续

例13.3、例13.4

3.偏导数：

一阶偏导数： 设函数z=f(x,y)在点的某领域内有定义， 若极限存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数， 记作或。 于是<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="f_x^\prime(x_0,y_0)=\lim_{\triangle\to0}\frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}" contenteditable="false"> <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="6" data-equation="f_y^\prime(x_0,y_0)=\lim_{\triangle y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)}{\triangle y}=\lim_{y\to y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}">

二阶偏导数：        如果函数在区域D内的偏导数仍具有偏导数，则它们的导数称为函数的二阶偏导数，按照对变量的求导次序不同，有如下四个二阶偏导数： ① ②<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=f^{\prime\prime}_{yx}(x,y)" contenteditable="false"> ③<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f^{\prime\prime}_{xy}(x,y)" contenteditable="false"> ④ 其中称为二阶混合偏导数，同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

★4.可微：

全微分：

判断函数是否可微，步骤如下： ①写出全增量; ②写出线性增量，其中; ③若极限<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="\lim_{(\triangle x\to 0,\triangle y\to 0)}\frac{\triangle z-(A\triangle x+B\triangle y)}{\sqrt{(\triangle x)^2+(\triangle y)^2}}=0" contenteditable="false">，则在点可微，否则不可微.

例13.4、例13.7、例13.8

※(考研重点)5.偏导连续： 对于，讨论其在某特殊点(比如二元分段函数的分段点)处偏导数是否连续，其步骤为： ①用定义法求; ②用公式法求; ③计算; 若满足则在点处偏导数连续

例13.7

二、复合函数求导法

1.链式求导规则

例13.9、例13.10、例13.11

2.全导数

例13.3

3.全微分形式不变性

例13.4、例13.5

三、隐函数求导法

1.一个方程的情形 设，若满足①；②，（隐函数存在定理） 则在的某邻域内可确定，且有