自考概率论与数理统计（二）(02197) 思维导图模板

第一章随机事件与概率

随机事件

随机事件与关系运算

事件的包含与相等

和事件

积事件

差事件

事件A发生且B不发生的事件，记作A-B

互不相容事件

对立事件

A的逆的逆 = A

全集的逆 = 空集，空集的逆 = 全集

A-B = A∩B的逆 = A - AB

运算律

交换律

结合律

分配律

对偶律

概率

古典概型

概率的定义和性质

性质1

0≤P(A)≤1,P(∅)=0

性质2

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A与B互不相容时，P(A∪B)=P(A)+P(B)

性质3

P(B-A) =P(B)-P(AB)

当B包含A时，P(B)-P(A)=P(B)-P(A)，P(B)≥P(A)

条件概率

条件概率与乘法公式

条件概率公式

P(A|B)=P(AB)/P(B)

乘法公式

P(B)P(A|B)=P(AB)

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

贝叶斯公式

事件的独立性

性质4

若P(AB) = P(A)P(B)，则称A与B相互独立

性质5

设P(A)＞0，A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A)

设P(B)＞0，A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B)

性质6

若A与B相互独立，则A与，与B，和的逆都相互独立

P(A∪B)=1-P(A逆)-P(B逆)

n重伯努利实验

第二章随机变量及其概率分布

离散型随机变量

离散型随机变量及其分布律

性质

Pk≥0,k=1,2,3,4,....

0-1分布

0<p<1，q=1-p，称x服从0-1分布

二项分布

0<p<1，p+q=1，称X服从参数为n,p的二项分布，X~B(n,p)，n为次数，p为概率

n = 1时，X服从0-1分布，0-1分布式二项分布的特例

泊松定理

λ = np

泊松分布

λ＞0，X服从参数为λ的泊松分布，X~P(λ)

随机变量的分布函数

分布函数的概念

F(x)=P{X≤x}

分布函数的性质

性质

0≤F(x)≤1

F(x)是不减函数，即对任意的x1<x2有F(x1)<F(x2)

F(-∞) = 0，F(+∞) = 1

F(x)右连续

 分布函数F(x)重要事件概率

F(b) = P{X≤b}

F(b) -F(a) = P{a < X ≤ b}，其中a < b

1-F(b)  = P{X > b}

连续型随机变量及其概率密度

定义

若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负数f(x)，使得对任意实数x，有， 则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的的概率密度函数，简称概率密度

性质

f(x)≥0

设x为f(x)的连续点，则F'(x) = f(x)

均匀分布

X服从区间[a,b]的均匀分布X~U(a,b)

概率密度

分布函数

概率公式

X~U(a,b)，a≤c＜d≤b，即

指数分布

＞0为常数，则称X服从参数为的指数分布，简记为X~E()

概率密度

0 \\0,x\le 0\end{matrix}\right.">

分布函数

0 \\0,x\le  0\end{matrix}\right.">

正态分布

0,则称X服从参数为\mu ，\sigma ^2的正态分布,简记为X\sim U(\mu,\sigma ^2)">

概率密度

分布函数

性质

曲线关于直接x = μ 对称，任何h>0有 P{μ-h＜X≤μ} = P{μ＜X≤μ+h}

x = μ时，取到最大值

当σ给定时，μ1＜μ2时，两条曲线沿着x轴平移

当μ给定时，σ1＜σ2时，σ小图形变尖且分散程度小,σ大图形平缓且分散程度大

标准正态分布

当μ = 0，σ = 1时的正态分布称为标准正态分布N(0,1)

概率密度

性质

关于y轴对称，x = 0取得最大值

分布函数

性质

一般正态分布的分布函数与标准正态分布的关系

a\}= P\{X\ge a\}= 1-\Phi( \frac{a-\mu }{\sigma })">

随机变量函数的概率分布

离散型随机变量函数的概率分布

把满足g(xk) = y的xk所对应的概率相加即可

连续型随机变量函数的概率分布

定理

设X为连续型随机变量，其概率密度为fx(x)，要求Y = g(X)是一个严格单调的可导函数， 其值域为（α，β），且g'(x) ≠ 0。记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y = g(X)的概率密度为

一定要记住求导后是绝对值

第三章多维随机变量及其概率分布

多维随机变量的概念

二维随机变量及其分布函数

联合分布函数

设(X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y,二元函数称为X与Y的联合分布函数或二维随机变量(X,Y)的分布函数

二元函数

边缘分布函数

X与Y各自的分布函数分别称为(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数，记为Fx(x)与Fy(y)

性质

单调性

有界性

右连续性

非负性

二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律

分布律

pij = P{X=xi,J = yj},i,j = 1,2,···为二维离散型随机变量（x,y）的分布律

X的边缘分布律

Y的边缘分布律

二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度

概率密度

设二维连续型随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对任意的x,y有F(x,y)， 则称（X,Y）是二维连续型随机变量，并称f(x,y)为（X,Y）的概率密度

性质

非负性

规范性

若f(x,y)在点(x,y)出连续，则有

设D使XOY平面上的一个区域，则二维随机变量（X,Y）落在D内的概率为

均匀分布

设D是平面上的一个有界区域，其面积为S＞0，如果二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)，则称（X,Y）在区域D上服从均匀分布， 记作（X,Y）~Ud。

边缘概率密度

对于二维连续型随机变量（X,Y）,其分量X与Y各自的概率密度分别称为（X,Y）关于X与关于Y的边缘概率密度，记为fx(x)与fy(y)

随机变量的独立性

两个随机变量的独立性

设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，边缘分布函数分别为Fx(x)，Fy(y)，若对任意x,y有 ，则称随机变量X和Y相互独立

二维离散型随机变量的独立性

设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为

边缘分布律为

对于（X,Y）的所有的取值xi,yi有

即对应的边缘概率分布相乘

二维连续型随机变量的独立性

二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)，关于X与关于Y的边缘概率密度为fx(x)和fy(y)，若

几乎处处成立，则随机变量X和Y是相互独立的

两个随机变量的函数的分布

两个离散型随机变量的函数的分布

两个相互独立的连续型随机变量之和的概率分布

第四章随机变量的数字特征

随机变量的数学期待

离散型随机变量的数学期望

0-1分布

二项分布

泊松分布

连续型随机变量的数学期望

定义

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若广义积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望（简称为期望或均值），记为E(X)

均匀分布

指数分布

正态分布

二维随机变量的数学期望

离散型随机变量的数学期望

连续型随机变量的数学期望

二维随机变量函数的数学期待

离散型随机变量函数的数学期待

连续型随机变量函数的数学期待

数学期望的性质

设c是常数，则E(c) = c

设X是随机变量，c是常数，则E(cX) = cE(x)

设X,Y均为随机变量，则E(X+Y) = E(X)+E(Y)

设X,Y均为相互独立的随机变量，E(XY) = E(X)·E(Y)

方差

方差的概念

方差公式

不论X为离散型还是连续型随机变量，通常采用下式计算方差

常见的随机变量的方差

0-1分布

二项分布

泊松分布

均匀分布

指数分布

正态分布

方差的性质

设X是随机变量，c是常数

设X是随机变量，c是常数

设X,Y相互独立的随机变量

协方差与相关系数

协方差

随机变量X与Y的协方差记为

离散型随机变量协方差

连续型随机变量协方差

不论X为离散型还是连续型随机变量，通常采用下式计算方差

如果X = Y

协方性质

Cov(X,C) = 0，C为常数

Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

Cov(aX,bY) = abCov(X,Y),a,b为任意常数

Cov(X+Y,Z) = Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0