高等数学
2020-12-13 17:10:59 0 举报AI智能生成
专插本数学学习笔记
作者其他创作
大纲/内容
函数、极限、连续
函数
求函数的定义域？
判断相同函数？
先看定义域，再看值域是否相同（定义域+对应法则相同就是相同函数）
求函数表达式？
已知简单的求复杂的
直接代入
已知复杂的求简单的
凑或换元
已知复杂的求复杂的
先转化为简单的，再求复杂的
函数的四种性质
单调性
奇偶性
有界性
周期性
反函数
极限
极限的定义
极限存在：左、右极限存在且相等
极限不存在
左≠右
∞
极限计算
直接代入
抓大头
∞/∞型
重要极限
（1+0）^∞ = e
凑"1"，凑"+"，凑"互倒关系"
等价无穷小代换
洛必达
∞/∞型或0/0型
∞-∞型：通分合并
根式有理化
0×∞型
幂指函数求极限
单边取对数
无穷小×有界函数=无穷小
连续
函数的连续性
函数间断点及类型的判定
利用零点定理判断方程根存在性
一元函数微分学
导数与微分
导数定义式极限
可导与连续
导数公式与求导法则
复合函数求导
隐函数求导
参数方程求导
对数法求导
单边取对数
双边取对数
求高阶导
求切线方程和法线方程
微分
中值定理及导数的应用
微分中值定理
罗尔定理
定义
在闭区间[a,b]上连续
在开区间(a,b)内可导
f(a) = f(b)
证明题
步骤
构造函数
验证3个条件
由罗尔定理可知，∃ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0
拉格朗日定理
定义
在闭区间[a,b]上连续
在开区间(a,b)内可导
证明题
步骤
构造函数
验证2个条件
由拉格朗日定理可知，∃ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a).
函数的单调性、极值与最值
单调性
讨论单调性(单调区间)的步骤
求定义域
求出f'(x)=0和f'(x)不存在的点，将定义域划分若干个子区间
列表，根据f'(x)在子区间内的符号，确定单调性
极大值、极小值
第一判定定理
x<x0时，f'(x)>0; x>x0时，f'(x)<0，则x=x0为极大值点；反之
第二判定定理
f'(x0)=0时，f''(x0)>0，则x=x0为极小值点；
f'(x0)=0时，f''(x0)<0，则x=x0为极大值点.
f'(x0)=0时，f''(x0)<0，则x=x0为极大值点.
大小小大
求极值点和极值的步骤
确定f(x)定义域
求导f'(x),并求出f'(x)=0和f'(x)不存在的点
列表
驻点
若f'(x0)=0，则x=x0为f(x)的驻点.
极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
若x=x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0或f'(x0)不存在
最值
步骤
求出所有f'(x)=0和f'(x)不存在的点；
求出1中所有点的函数值和端点处的函数值
最大值=max[极值，端点值]
最小值=min[极值，端点值]
最小值=min[极值，端点值]
函数的凹凸性与拐点
f''(x)>0, 凹
f''(x)<0, 凸
f''(x)<0, 凸
大凹小凸
拐点
凹凸性的转折点称为拐点
凹凸区间及拐点的求解步骤
求出定义域
求出f''(x)=0以及f''(x)不存在的点
列表，由f''(x)符号得出凹凸区间，凹凸区间的分界点即为拐点
渐近线
水平渐近线
lim(x->∞) f(x)=C
垂直渐近线
lim(x->x0) f(x)=∞
利用单调性证明不等式和根的存在性
不等式的证明
构造函数f(x)
求导判断单调性
大于最低点，小于最高点
唯一根的证明
利用零点或罗尔定理证明至少有一个跟
求判断函数单调，得唯一根
恒等式的证明
构造函数f(x)
求导验证f'(x)=0
f(x)=f(x0)=C
一元函数积分学
不定积分
知识点
原函数与不定积分的定义
F'(x)=|(x~a) f(t)dt = f(x), F(x)是f(x)的原函数，|(x~a) f(t)dt变上限积分是F(x)的具体形式
（考研）|(x~0) f(t)dt <- f(x) ->f'(x)
奇<- 偶 -> 奇
偶<- 奇 ->偶
T <--|(0~T) f(x)dx=0-- T -> T
奇<- 偶 -> 奇
偶<- 奇 ->偶
T <--|(0~T) f(x)dx=0-- T -> T
lim(n->)S(n)(i=1) f(i/n)(1/n) = |(0~1)f(x)dx
1)先提出1/n 2)凑出i/n 3)写出 |(0~1) f(x)dx
不定积分的性质
基本积分公式
基本公式
三角恒等变换
多项式除法
换元积分法
凑微分法（第一换元积分法）
凑原函数
换元法（第二换元积分法）
换元导数
换元->回代
题型
带根号
举重若轻
分部积分法
反对幂三指
|udv = uv - |vdu
推广公式
积分再现
判段选择：1. 里面的积分可以求 2.外面微分函数的导数是能够化简的
题型
|幂函数*指数函数（或三角函数）dx
求导到幂函数为0
|指数函数*三角函数dx
求导n次，积分n次，出现“积分循环”"积分再现"，见方程求解
|幂函数*对数函数（反三角函数）dx
求导1次，积分1次，直接求解
有理函数积分法
考点
不定积分的计算
1. 直接套用公式
（1）乘积
1
展开(乘积变加减)
（2）同指
1
合并
（3）根式
1
指数化
（4）三角函数公式
(三角函数相关公式和积分公式不熟练)
(三角函数相关公式和积分公式不熟练)
0.5
降次公式*2
0
sin^(2)X +cos^(2)X = 1
0.5
倍角公式*4
2. 凑微分
常用的凑微分
1
1
3. 有理分式积分
（1）分子次数≥分母次数 <最高次数>
1
对分子加减项，和分母相消
（2）分子次数<分母次数 <最高次数>
0
凑微分
（3）分母可因式分解
0.5
0
草稿纸（多项式裂开）
（4）分母不可因式分解
1
1
4. 第二换元法
（1）含有√￣、e^(x)，令√￣、e^(x)=t
0.5
0
（了解）（2）含有两种或两种以上(n1)√￣、(n2)√￣
方法：令x=t^n（其中n为n1，n2的最小公倍数）
方法：令x=t^n（其中n为n1，n2的最小公倍数）
（3）三角代换
0
5. 分部积分（适用两类函数相乘）
0
0.5
定积分
定积分的定义及其几何意义，可积条件
几何意义
1
定积分的性质
性质
0
0
0
性质
积分区间原点对称
被积函数f(x)为奇函数
牛顿-莱布尼茨公式
定积分的计算
直接法
第一换元法（凑微分）
第二换元法（换元必换限）
0.5
分部积分
1
1
含有绝对值、分段函数求定积分
1
含有定积分的方程求定积分
1
变限积分
无穷区间的广义积分收敛和发散的概念
1
定积分的应用
求平面图形的面积
1
0.5
0
求旋转体的体积
pi*8/3
0.5
求平面曲线的弧长
0.5
0.5
多元函数微积分学初步
多元函数微分学
知识点
二元函数
二元函数的几何意义
二元函数的极限
二元函数的连续
偏导数
全微分
考点
偏导数
简单函数
复合函数
抽象复合函数
隐函数
全微分
多元函数积分学
知识点
二重积分
二重积分的概念
二重积分的性质
考点
直角坐标系下二重积分的计算
极坐标下二重积分的计算
交换二次积分次序
常微分方程初步
知识点
微分方程的基本概念
考点
线性微分方程的判断
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
一阶线性微分方程
二阶常系数线性齐次方程
常数项级数
常数项级数的概念
概念
性质
级数收敛的必要条件
常数项级数的审敛法
几何级数和P-级数收敛性的判定
正项级数敛散性的判定
交错级数敛散性的判定
绝对收敛与条件收敛
中学知识
其他
f(t)+f(-t) 必为偶函数
不等式
三角函数
极坐标和参数方程
自由主题
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